Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB, AC ив точках C 1 , и A 1 соответственно. Пусть Q — точка пересечения этой окружности и биссектрисы угла лежащая внутри треугольника а) Докажите, что C 1 Q — биссектриса угла б) Найдите расстояние от точки O до центра окружности, вписанной в треугольник AB 1 C 1 , если BC = 15, AB = 13, AC = 14. . Отрезок, соединяющий середины M и N оснований соответственно и AD трапеции ABCD, разбиваете на две трапеции, в каждую из которых можно вписать окружность. а) Докажите, что трапеция ABCD равнобедренная. б) Известно, что радиус этих окружностей равен 2, а меньшее основание исходной трапеции равно 6. Найдите радиус окружности, касающейся боковой стороны AB, основания AN трапеции ABMN и вписанной вне окружности. Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Из вершины A опущены перпендикуляры AF, AH, AP и AQ на прямые DE, BE, CD и BC соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите AH, если AF = a, AP = b и AQ = c. Диагностическая работа . В трапецию ABCD с основаниями AD > BC можно вписать окружность. Биссектрисы углов при вершинах B и C пересекают основание AD в точках M и N соответственно. а) Докажите, что четырёхугольник ABCN равновелик треугольнику б) Точка касания окружности, вписанной в трапецию ABCD, делите основание BC в отношении 2 : 1, считая от вершины B, ∠ABC = В каком отношении прямая CN делит площадь трапеции. На отрезке AB взята точка C. На отрезках AB и BC как на диаметрах построены окружности. Прямая, проходящая через точку касается меньшей окружности в точке K, а прямая, проходящая через точку C перпендикулярно AB, пересекает большую окружность в точке а) Докажите, чтоб) Пусть луч AK пересекает большую окружность в точке P. Найдите, если AC = 13 и BC = 6. . Диагональ BD параллелограмма ABCD перпендикулярна стороне середина стороны AD, прямые BM и CD пересекаются в точке K. В треугольники ABM и BCK вписаны окружности с центрами и O 2 соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника BO 1 MO 2 , если AB = 6 и = 10. . Дана прямоугольная трапеция ABCD с основаниями BC и Окружность с центром O, построенная на большей стороне CD как на диаметре, касается боковой стороны AB в точке P и второй раз пересекает основание AD в точке а) Докажите, чтоб) Найдите отношение AH : DH, если ∠ADC = 60 ◦ . На стороне AB и диагонали AC квадрата ABCD отмечены точки и N соответственно, причём AM : MB = 1 : 4 и AN : NC = 3 : а) Докажите, что точки A, M, N и D лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёх- угольника AMND до прямой MN, если сторона квадрата равна 30. . Четырёхугольник ABCD вписан в окружность, причём сторона — диаметр этой окружности. Продолжение перпендикуляра AH Диагностическая работа к диагонали BD пересекает сторону CD в точке E, а окружность — в точке F, причём H — середина а) Докажите, что четырёхугольник BCFE — параллелограмм. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что = 5 и AH = 4. Приложение . Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC. На продолжении отрезка AO заточку отмечена точка K. Известно, что ∠BAC + ∠AKC = а) Докажите, что четырёхугольник OBKC вписанный. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольни- ка OBKC, если известно также, что cos ∠BAC = 3 и BC = Решение. а) Обозначим ∠BAC = α рис. ). Тогда = ∠AKC = 90 ◦ − Поскольку BOC — центральный угол окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, а угол BAC вписанный, получаем, что ∠BOC = 2α. Из равнобедренного треугольника BOC находим, что = 90 ◦ − Из точек B и K, лежащих по одну сторону от прямой OC, отрезок виден под одними тем же углом 90 ◦ − α. Значит, точки O, B, K и лежат на одной окружности. Следовательно, четырёхугольник OBKC вписанный. α A B C O K Рис. б) Поскольку cos α = 3 5 , получаем, что sin α = 4 5 , атак как OC радиус окружности, описанной около треугольника ABC, по теореме синусов находим = BC 2 sin ∠BAC = 48 2 sin α = 24 4 5 = 30. Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ Пусть R — искомый радиус описанной окружности четырёхуголь- ника OBKC. Применяя теорему синусов к треугольнику OCK, находим, что = OC 2 sin ∠OKC = OC 2 sin(90 ◦ − α) = OC 2 cos α = 30 2 · 3 Ответ 25. . Около остроугольного треугольника ABC описана окружность с центром O. На продолжении отрезка AO заточку отмечена точка так, что ∠BAC + ∠AKC = а) Докажите, чтоб) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольни- ка OBKC, если cos ∠BAC = 5 13 , а BC = Ответ 84,5. . Высоты и остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите BC, если AH = 21 и ∠BAC = Решение. а) Высоты треугольника пересекаются водной точке, поэтому точка H лежит на высоте, проведённой из вершины рис. ). Значит, AH ⊥ CB, атак как HB 1 ⊥ CA, получаем, что углы AHB 1 и ACB равны как острые углы с соответственно перпендикулярными сторонами. A B C B 1 C 1 H Рис. б) Из точек и отрезок AH виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AH. По теореме синусов sin ∠B 1 AC 1 = 21 sin 30 ◦ = 21 2 Приложение Треугольник подобен треугольнику ABC с коэффициентом cos ∠BAC = cos 30 ◦ = p 3 2 . Следовательно = B 1 C 1 cos Ответ 7 p 3. . В остроугольном треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки на стороны AB и BC опустили перпендикуляры HK и HM соот- ветственно. а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику б) Найдите отношение площади треугольника MBK к площади че- тырёхугольника AKMC, если BH = 2, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен Ответ 1 : 15. . Медианы AA 1 , и треугольника ABC пересекаются в точке. Точки A 2 , и C 2 — середины отрезков MA, MB и MC соответ- ственно. а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 8 и AC = Решение. а) Обозначим S ∆ ABC = S. Тогда площадь каждого из треугольников, на которые медианы разбивают треугольник равна 6 S. Заметим, что C 1 A 2 — медиана треугольника AC 1 M рис. поэтому 2 S ∆ AMC 1 = 1 2 · 1 6 S ∆ ABC = 1 Аналогично для остальных пяти треугольников, составляющих шестиугольник. Следовательно, площадь этого шестиугольника равна 6 · 1 12 S = 1 б) Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. По формуле для квадрата медианы находим, что 1 = 1 4 (2b 2 + 2c 2 − a 2 ), BB 2 1 = 1 4 (2a 2 + 2c 2 − b 2 ), CC 2 1 = 1 4 (2a 2 + 2b 2 − Медианы треугольника делятся их точкой пересечения в отношении : 1, считая от вершины, поэтому = 2 3 AA 1 , BM = 2 3 BB 1 , CM = 2 3 CC 1 Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M Рис. Стороны и A 1 B 2 — средние линии треугольников AMC и поэтому A 2 B 1 = A 1 B 2 = 1 2 CM, A 2 B 2 1 = A 1 B 2 2 = 1 4 CM 2 = 1 4 · 4 9 CC 1 = 1 36 (2a 2 + 2b 2 − Аналогично 1 = C 1 A 2 2 = 1 36 (2a 2 + 2c 2 − b 2 ), B 2 C 2 1 = B 1 C 2 2 = 1 36 (2b 2 + 2c 2 − Следовательно, сумма квадратов всех сторон шестиугольника равна 1 + 2C 2 A 2 1 + 2B 2 C 2 1 = = 1 18 (2a 2 + 2b 2 −c 2 + 2a 2 + 2c 2 −b 2 + 2b 2 + 2c 2 −a 2 )= = 1 18 (3a 2 + 3b 2 + 3c 2 )= 1 6 (a 2 + b 2 + c 2 )= 1 6 (64+100+16)= 180 6 = 30. Ответ 30. . Медианы AA 1 , и треугольника ABC пересекаются в точке. Точки A 2 , и C 2 — середины отрезков MA, MB и MC соответ- ственно. а) Докажите, что площадь шестиугольника вдвое меньше площади треугольника б) Найдите сумму квадратов всех сторон этого шестиугольника, если известно, что AB = 4, BC = 7 и AC = Ответ 2 . Две окружности касаются внешним образом в точке K. Прямая касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Пря- Приложение мая BK пересекает первую окружность в точке D, прямая AK пересекает вторую окружность в точке а) Докажите, что прямые AD и BC параллельны. б) Найдите площадь треугольника AKB, если известно, что радиусы окружностей равны 4 и Решение. а) Обозначим центры окружностей и соответственно (рис. ). Пусть общая касательная, проведённая к окружностям в точке K, пересекает AB в точке M. По свойству касательных, проведённых к окружности из одной точки, AM = KM и KM = Треугольнику которого медиана равна половине стороны, к которой она проведена, прямоугольный. Вписанный угол AKD прямой, поэтому он опирается на диаметр AD. Значит, AD ⊥ AB. Аналогично AB. Следовательно, прямые AD и BC параллельны. O 1 O 2 A B C D H K M Рис. б) Пусть радиусы окружностей с центрами и равны 4 и соответственно. Линия центров касающихся окружностей проходит через точку касания, поэтому + KO 2 = 4 + 1 = Опустим перпендикуляр O 2 H из центра второй окружности на диаметр первой. Из прямоугольного треугольника O 2 HO 1 находим, что O 2 H = Æ O 1 O 2 2 − O 1 H 2 = p (1 + 4) 2 − (4 − 1) 2 = p 25 − 9 = 4, Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работа так как ABO 2 H — прямоугольник, получаем, что AB = O 2 H = 4. Тогда 2 AB · BC = 1 2 · 4 · 2 = Треугольники AKD и BKC подобны, поэтому. Значит 5 . Следовательно 5 · 4 = Ответ 3,2. . Окружности с центрами и касаются внешним образом в точке C. К окружностям проведена общая внешняя касательная AB и B — точки касания). а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите радиусы окружностей, если известно, что AC = 10 и = Ответ 12 , 156 5 . В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 7, BC = 24, CD = 15, AD = 20 и AC = а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный. б) Найдите косинус угла между его диагоналями. Р е ш е ни е. а) Поскольку 2 = 7 2 + 24 и 2 = 15 2 + 20 треугольники ABC и ACD прямоугольные с прямыми углами при вершинах ирис. Из точек B и D отрезок AC виден под прямым α γ γ A B C D P Рис. Приложение углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром AC. Следовательно, четырёхугольник ABCD вписанный. б) Обозначим ∠CAD = α, ∠ACB = γ. Вписанные углы ADB и опираются на одну и туже дугу, поэтому ∠ADB = ∠ACB = γ. Из прямоугольных треугольников ACD и ABC находим, что cos α = AD AC = 20 25 = 4 5 , sin α = 3 5 , cos γ = BC AC = 24 25 , sin γ = 7 Пусть диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD пересекаются в точке P. По теореме о внешнем угле треугольника = ∠PAD + ∠ADP = α + следовательно ∠CPD = cos(α + γ) = cos α cos γ − sin α sin γ = 4 5 · 24 25 − 3 5 · 7 25 = 3 5 . Ответ 5 . В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 2, BC = 21, CD = 18, AD = 11 и AC а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный. б) Найдите угол между его диагоналями. Ответ: arccos 39 89 . На гипотенузу AB прямоугольного треугольника ABC опустили высоту CH. Из точки H на катеты опустили перпендикуляры HK и а) Докажите, что точки A, B, K и E лежат на одной окружности. б) Найдите радиус этой окружности, если AB = 12, CH = Решение. Первый способа) Предположим для определённости, что точка E лежит на катете BC, а точка K — на катете AC рис. Обозначим ∠BAC = α. Тогда = ∠HCE = ∠BAC = α, ∠ AKE = ∠AKH + ∠HKE = атак как ∠ABC = 90 ◦ − α, получаем, что AKE + ∠ABE = ∠AKE + ∠ABC = 90 ◦ + α + 90 ◦ − α = Значит, четырёхугольник ABEK вписанный. Следовательно, точки A, B, K и E лежат на одной окружности, что и требовалось доказать. б) Обозначим BC = a, AC = b, AB = c, CH = h. Тогда sin α Поскольку ∠CEK = ∠CHK = α, прямоугольный треугольник подобен прямоугольному треугольнику ACB по двум углам. Поэтому Избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ α α α A B C E H K Рис. CK BC = KE AB , атак как CKHE — прямоугольник, имеем KE = CH, значит = KE · BC AB = CH · BC AB = ah c , BK Пусть R — радиус окружности, описанной около четырёхугольника ABEK. По теореме синусов из треугольника ABK находим, что = BK 2 sin ∠BAK = a p h 2 + c 2 c 2 · a c = p h 2 + c 2 2 = p 5 2 + 12 2 2 = 13 Второй способ. б) Пусть P, Q и M — середины сторон соответственно и AB четырёхугольника ABEK рис. ). Центр Рис. Приложение окружности радиуса R, описанной около четырёхугольника есть точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонами этого четырёхугольника. Пусть L и N — точки пересечения отрезков OP и OQ с гипотенузой. Тогда PL и QN — средние линии треугольников AKH и значит, L и N — середины отрезков AH и BH. Поэтому = LH + HN = 1 2 AH + 1 2 BH = 1 2 AB = Следовательно, прямоугольный треугольник NLO подобен прямоугольному треугольнику ABC с коэффициентом 2 . Тогда высота треугольника NLO вдвое меньше высоты CH треугольника те Из прямоугольного треугольника AOM находим, что = p AM 2 + OM 2 = q 36 + 25 4 = 13 Ответ 2 |