Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Некоторые свойства высот и точки их пересечения Решение задачи из диагностической работы. Углы при вершинах A и C треугольника ABC равны и соответственно AM, BN и CK — высоты треугольника. Найдите отношение Решение. Из прямоугольных треугольников BNC и AMC находим, что = BC cos 60 ◦ = 1 2 BC, CM = AC cos 60 ◦ = 1 поэтому 2 BC 1 Значит, треугольник CMN подобен треугольнику CAB по двум сторонами углу между ними (угол C общий, причём коэффициент подобия равен 2 . Следовательно, MN = 1 Аналогично получим, что треугольник AKN подобен треугольнику, причём коэффициент подобия равен p 2 2 . Значит, KN = p 2 По теореме синусов 60 ◦ sin 45 ◦ = p 3 2 : p 2 Следовательно 2 AB p 2 2 BC = p 2 2 · AB BC = p 2 2 · p 3 p 2 = p 3 2 Ã § . Некоторые свойства высот и точки их пересечения * Известно, что серединные перпендикуляры к сторонам треугольника пересекаются водной точке. Отсюда можно вывести, что прямые, на которых лежат высоты треугольника, также пересекаются водной точке. Это можно сделать так. Через вершины данного треугольника провёдем прямые, параллельные противолежащим сторонам. Рассмотрим треугольник с вершинами в точках пересечения проведённых прямых. Высоты исходного треугольника лежат на серединных перпендикулярах построенного. Поэтому содержащие их прямые пересекаются водной точке. Отметим некоторые важные свойства высот и точки их пересечения ортоцентра треугольника (AA 1 , и CC 1 — высоты непрямоугольного треугольника ABC, H — ортоцентр треугольника) точки B, C, и лежат на одной окружности, причём BC — её диаметр; ) треугольник подобен треугольнику ACC 1 ; ) ∠AB 1 C 1 = ∠ ABC; ) треугольник подобен треугольнику ABC, причём коэффициент подобия равен cos ∠A|; ) расстояние от точки H до вершины треугольника вдвое больше расстояния от центра O описанной окружности до стороны, противоположной этой вершине) ∠BAH = ∠CAO; ) OA ⊥ B 1 C 1 ; ) точки, симметричные ортоцентру H относительно сторон треугольника, лежат на описанной окружности треугольника. Докажем эти свойства для остроугольного треугольника. С некоторыми несущественными изменениями это доказательство годится и для тупоугольного. Д ока за тел ь ст во. Рассмотрим остроугольный треугольник. Из точек и сторона BC видна под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC. Решение задачи из диагностической работы Прямоугольные треугольники и подобны по двум уг- лам. Противоположные углы и вписанного четырёхуголь- ника BC 1 B 1 C в сумме составляют 180 ◦ , поэтому ABC = ∠C 1 BC = 180 ◦ − ∠CB 1 C 1 = ∠ Треугольник подобен треугольнику ABC по двум углам. Пусть k — коэффициент подобия. Тогда = AC 1 AC = cos ∠BAB 1 = cos и AC — соответствующие стороны подобных треугольников AB 1 C 1 и ABC, так как они лежат против равных углов, а AC 1 AC — отношение прилежащего к углу катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике Перпендикуляры OM и ON, опущенные из центра O описанной окружности на стороны BC и AC соответственно, проходят через середины этих сторон. Тогда MN — средняя линия треугольника ABC. A B C B 1 H M N O § . Некоторые свойства высот и точки их пересечения Значит, MN k AB и MN = 1 2 AB, атак как OM ⊥ BC и AH ⊥ BC, то AH. Аналогично ON k BH. Треугольник AHB подобен треугольнику по двум углам, причём коэффициент подобия AB MN равен Следовательно, AH = Пусть лучи и AO пересекают описанную окружность в точках и Q соответственно. Тогда ∠APQ = 90 ◦ , поскольку точка P лежит на окружности с диаметром AQ. Хорды PQ и BC параллельны, так как они перпендикулярны одной и той же прямой AP, значит, заключён- ные между ними дуги CQ и BP равны. Тогда равны и опирающиеся на эти дуги вписанные углы CAQ и BAP. Следовательно, ∠BAH = На касательной к описанной окружности треугольника ABC, про- ведённой через точку A, отметим такую точку K, что точки K и лежат по разные стороны от прямой AC. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠KAC = ∠ABC. По ранее доказанному ABC = ∠AB 1 C 1 , значит, ∠KAC = ∠AB 1 C 1 . Следовательно, AK k а поскольку OA ⊥ AK, получаем OA ⊥ B 1 C 1 A B C B 1 C 1 H P(P 1 ) Решение задачи из диагностической работы Заметим, что ∠BHC = ∠B 1 HC 1 = 180 ◦ − ∠BAC. Пусть P 1 — точка, симметричная ортоцентру H относительно прямой BC. Тогда ∠BP 1 C = = ∠BHC, поэтому ∠BP 1 C = ∠BHC = 180 ◦ − ∠BAC. Значит, четырёх- угольник ABP 1 C вписанный. Тогда точка лежит на описанной окружности треугольника ABC, а значит, совпадает сточкой, что и требовалось доказать. Пример . В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и опущены высоты AP и CQ на стороны BC и AB. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна, а PQ = 2 p 2. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника Ответ Решение. Треугольники BPQ и BAC подобны по двум углам. Поскольку отношение их площадей равно 18 = 1 9 , то коэффициент подобия равен 3 . Значит, AC = 3PQ = С другой стороны, коэффициент подобия равен ∠B. Поэтому. Тогда sin ∠B = 2 p 2 3 . Если R — радиус описанной окружности треугольника ABC, то по теореме синусов = AC 2 sin ∠B = 6 p 2 : 2 · 2 p 2 3 = 9 Пример . Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, образуют прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной 10. Найдите радиус окружности, описанной около исходного треугольника. Ответ: Решение. Пусть H — точка пересечения высот AA 1 , BB 1 , треугольника ABC, ∠A 1 C 1 B 1 = 90 ◦ , A 1 B 1 = 10; A 2 , B 2 , C 2 — точки пересечения продолжений высот соответственно AA 1 , BB 1 , с окружностью, описанной около треугольника ABC. § . Некоторые свойства высот и точки их пересечения A B C A 1 B 1 C 1 A 2 B 2 C 2 H Тогда A 1 , B 1 , C 1 — середины отрезков HA 2 , HB 2 , HC 2 . Значит, A 1 B 1 , B 1 C 1 , A 1 C 1 — средние линии треугольников A 2 HB 2 , B 2 HC 2 , поэтому стороны треугольника соответственно параллельны сторонам треугольника A 1 B 1 C 1 , причём A 2 B 2 = 2A 1 B 1 , A 2 C 2 = 2A 1 C 1 , B 2 C 2 = 2B 1 C 1 . Следовательно, треугольник также прямоугольный, а его гипотенуза вдвое больше A 1 B 1 , те. равна 20. Следовательно, радиус окружности, описанной около треугольника а значит, и около треугольника ABC), равен Пример . В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и CN, O — центр описанной около треугольника ABC окружности. Известно, что ∠ABC = β , а площадь четырёхугольника NOMB равна Найдите Ответ 2 p S tg Решение. Пусть OB = R — радиус описанной окружности треугольника. Тогда OB ⊥ MN и OB = R = AC 2 sin β A B C M N O Подготовительные задачи Следовательно, S = 1 2 MN · OB = 1 2 AC cos β · AC 2 sin β = 1 4 AC 2 ctg Отсюда находим, что AC = 2 p S tg Подготовительные задачи. Сторона треугольника равна p 2, углы, прилежащие к ней, равны и 60 ◦ . Найдите отрезок, соединяющий основания высот, проведённых из вершин этих углов. На стороне BC треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AB ив точках M и N соответственно. Найдите площадь треугольника AMN, если площадь треугольника равна S, а угол BAC равен α. .. Точка M, лежащая вне круга с диаметром AB, соединена с точками A и B. Отрезки MA и MB пересекают окружность в точках и D соответственно. Площадь круга, вписанного в треугольник в четыре раза больше, чем площадь круга, вписанного в треугольник. Найдите углы треугольника AMB, если известно, что один из них в два раза больше другого. Отрезок AB — диаметр окружности, а точка C лежит вне окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках и M соответственно. Найдите угол CBD, если площади треугольников и ABC относятся как 1 : 4. .. В треугольнике ABC на средней линии DE, параллельной как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны ив точках M и N. Найдите MN, если BC = a, AC = b, AB = c. .. В треугольнике ABC известно, что AB=c, BC =a, ∠ABC Найдите расстояние между основаниями высот, проведённых из вершин и C. .. В треугольнике ABC проведены высоты AD и CE. Найдите если BC = a, AB = b, DE AC = k. .. Высоты BM и CN остроугольного неравнобедренного треугольника пересекаются в точке H. Сторону BC продолжили до пересечения с прямой MN в точке K. Сколько пар подобных треугольников при этом получилось § . Некоторые свойства высот и точки их пересечения Тренировочные задачи. В остроугольном треугольнике ABC с углом C, равным высоты пересекаются в точке M. Найдите площадь треугольника, если расстояния от центра окружности, описанной около треугольника, до сторон BC и AC соответственно равны p 2 и p 3 3 .. В треугольнике ABC проведены высоты BM и CN, O — центр вписанной окружности. Известно, что BC = 24, MN = 12. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника BOC. .. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что отрезок CH равен радиусу окружности, описанной около треугольника. Найдите угол ACB. .. Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H. Известно, что CH = AB. Найдите угол ACB. .. В треугольнике ABC известно, что AB = 2, AC = 5, BC = Найдите расстояние от вершины B до точки пересечения высот. На стороне AB треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая стороны AC ив точках D и E соответственно. Прямая DE делит площадь треугольника пополам и образует с прямой AB угол 15 ◦ . Найдите углы треугольника ABC. .. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и AN. Известно, что AC = 2, а площадь круга, описанного около треугольника, равна. Найдите угол между высотой CM и стороной. В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C на стороны и AB опущены высоты AP и CQ. Найдите сторону AC, если известно, что периметр треугольника ABC равен 15, периметр треугольника равен 9, а радиус окружности, описанной около треугольника, равен 5 .. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 5, 12 и 13. Найдите радиус описанной около треугольника окружности. Отрезки, соединяющие основания высот остроугольного треугольника, равны 8, 15 и 17. Найдите площадь треугольника. Продолжения высот AM и CN остроугольного треугольника пересекают описанную около него окружность в точках P и Найдите радиус описанной окружности, если AC = a, PQ = 6a 5 Задачи на доказательство и вычисление. В остроугольном треугольнике PQR (PQ > QR) проведены высоты PT и RS; QN — диаметр окружности, описанной около треугольника. Известно, что острый угол между высотами PT и равен, PR = a. Найдите площадь четырёхугольника NSQT. . ∗ . В треугольнике ABC проведены высота AH, равная h, медиана, равная m, и биссектриса AN. Точка N — середина отрезка Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника Задачи на доказательство и вычисление. В треугольнике ABC с тупым углом при вершине A проведены высоты BM и а) Докажите, чтоб) Найдите радиусы окружностей, описанных около треугольников и AMN, если cos ∠BAC = − 1 3 , а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен 6. ... Высоты AP и CQ остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Радиусы окружностей, описанных около треугольников PBQ и, равны 6 и 8 соответственно. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. ... Точки D и E — середины сторон соответственно AC и треугольника ABC. На отрезке DE как на диаметре построена окружность, пересекающая продолжения сторон AC ив точках M и N соответственно. а) Докажите, что биссектрисы углов MEN и NDM пересекаются на этой окружности. б) Найдите MN, если AB = 14, BC = 10, AC = 6. ... Точки P и Q — середины сторон соответственно AB и остроугольного треугольника ABC. На отрезке AQ как на диаметре построена окружность, пересекающая отрезок AP в его середине а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Пусть N — точка пересечения построенной окружности с отрезком точка пересечения прямых MN и BC, AH — высота треугольника. Найдите ME, если PH = 4. § . Некоторые свойства высот и точки их пересечения. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты и CE, H — точка пересечения высота) Докажите, что точки B, D, H и E лежат на одной окружности. б) Известно, что радиус этой окружности равен 1 p 3 и AC = 2. Найдите угол между высотой CE и стороной BC. ... В треугольнике ABC проведены две высоты BM и CN, прич ми а) Докажите, что угол ABC тупой. б) Найдите отношение площадей треугольников BMN и ABC. ... Высота остроугольного треугольника ABC продолжена до пересечения с описанной окружностью в точке P, H — точка пересечения высот, O — центр описанной окружности. а) Докажите, что A 1 — середина отрезка б) Найдите OH, если AH = 3, A 1 H = 2, а радиус окружности равен. Высота остроугольного треугольника KLM продолжена до пересечения с описанной окружностью в точке A, H — точка пересечения высот, O — центр описанной окружности. а) Докажите, что треугольник AKH равнобедренный. б) Найдите радиус окружности, если AM 1 = 2, MH = 7, OH = 6. ... Пусть AA 1 , и CC 1 — высоты остроугольного треугольника с углом при вершине а) Докажите, что треугольник A 1 B 1 C 1 прямоугольный. б) Найдите отношение, в котором высота делит отрезок если BC = 2B 1 C 1 ... Пусть AA 1 , и CC 1 — высоты остроугольного треугольника, а) Докажите, что треугольник A 1 B 1 C 1 прямоугольный. б) Найдите отношение, в котором высота делит отрезок если tg ∠ACB = 2. ... Пусть AA 1 , и CC 1 — высоты треугольника ABC, O центр его описанной окружности. а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника ABC, если A 1 B 1 = 21, A 1 C 1 = 17, B 1 C 1 = 10. ... Пусть AA 1 , и CC 1 — высоты остроугольного треугольника а) Докажите, что ∠AA 1 B 1 = ∠ AA 1 C 1 Задачи на доказательство и вычисление б) Известно, что A 1 B 1 = 26, B 1 C 1 = 28, A 1 C 1 = 30. Найдите площадь треугольника ABC. ... Высоты и остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите расстояние от центра описанной окружности треугольника до стороны BC, если B 1 C 1 = 12 и ∠BAC = 60 ◦ |