Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Вспомогательные подобные треугольники Решение задачи из диагностической работы. На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D, причём ∠BCD = ∠BAC. Известно, что BC = a, AC = b, AB = c. Найдите CD. A B C D Ответ: ab c Р е ш е ни е. Треугольники CBD и подобны по двум углам, так как ∠BCD = = ∠BAC по условию, а угол при вершине общий. Значит, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны, те. Следовательно, CD = = BC · В некоторых, часто непростых, задачах ключевая идея состоит в отыскании пары подобных треугольников. Как правило, водном из треугольников этой пары либо есть два известных отрезка, либо их легко найти, а в другом — один известный отрезок. Из соответствующей пропорции находят нужный отрезок. Пример . В трапеции ABCD меньшая диагональ BD перпендикулярна основаниями, а сумма острых углов при вершинах и C равна 90 ◦ . Известно, что AD = a, BC = b. Найдите боковые стороны трапеции. Ответ: p a(a + b), p b(a + Решение. Каждый из углов BCD ив сумме с углом составляет 90 ◦ , поэтому ∠BCD = ∠ABD, значит, треугольники и DCB подобны по двум углам. Тогда BC BD = BD AD A B C D a b Отсюда находим, что BD = p BC · AD = p ab. Следовательно = p BC 2 + BD 2 = p b 2 + ab = p b(a + b), AB = p BD 2 + AD 2 = p a 2 + ab = p a(a + b). Ã § . Вспомогательные подобные треугольники Пример . К окружностям радиусов r и R (r < R), касающимся внешним образом, проведены общие внешние касательные. Одна из них касается первой окружности в точке A, а второй — в точке B. Касательные пересекаются в точке O. Найдите Ответ Решение. Из центра первой окружности опустим перпендикулярна радиус O 2 B второй окружности. Тогда = Æ O 1 O 2 2 − O 2 F 2 = p (r + R) 2 − (R − Прямоугольные треугольники и подобны, поэтому O 1 A OA = O 2 F O 1 F , или r OA = R − Следовательно, OA = 2r p rR R − Пример . Из точки M, лежащей вне окружности, проведены к этой окружности две касательные. Расстояния от точки C, лежащей Подготовительные задачи на окружности, до касательных равны a и b. Найдите расстояние от точки C до прямой AB, где A и B — точки касания. Ответ: p ab. Р е ш е ни е. Пусть P, Q, N — основания перпендикуляров, опущенных из точки C на прямые MA, MB, AB соответственно. Докажем, что треугольник PCN подобен треугольнику Действительно, отрезок AC виден из точек P и N под прямым углом. Значит, точки P и N лежат на окружности с диаметром Аналогично точки N и Q лежат на окружности с диаметром BC. Поэтому, а из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что ∠CAB = ∠CBQ = ∠CNQ, значит, ∠CPN = Аналогично ∠CNP = Значит, треугольники PCN и NCQ подобны по двум углам. Тогда, поэтому CN 2 = CP · CQ = ab. Следовательно, CN Подготовительные задачи. Боковая сторона треугольника разделена на пять равных частей через точки деления проведены прямые, параллельные основа § . Вспомогательные подобные треугольники нию. Найдите отрезки этих прямых, заключённые между боковыми сторонами, если основание равно 20. .. Точка M расположена на боковой стороне AB трапеции, причём AM : BM = 2 : 1. Прямая, проходящая через точку параллельно основаниями, пересекает боковую сторону в точке N. Найдите MN, если AD = 18, BC = 6. .. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD отмечены точки и N соответственно, причём AM MB = DN NC = 3 2 . Найдите MN, если = a и AD = b. .. На диагоналях AC и BD трапеции ABCD с основаниями и BC взяты соответственно точки M и N, причём AM : MC = DN : NB = = 1 : 4. Найдите MN, если AD = a, BC = b (a > b). .. В прямоугольный треугольник с катетами 6 и 8 вписан квадрат, имеющий с треугольником общий прямой угол. Найдите сторону квадрата. В прямоугольном треугольнике ABC катет AB равен 21, а катет равен 28. Окружность, центр O которой лежит на гипотенузе, касается обоих катетов. Найдите радиус окружности. Точка M лежит на боковой стороне AC равнобедренного треугольника с основанием BC, причём BM = BC. Найдите MC, если = 1 и AB = 2. .. Точка D лежит на стороне AC треугольника ABC, причём ∠ ABD = ∠BCA. Найдите отрезки AD и DC, если AB = 2 и AC = 4. .. Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD равны 12 и и пересекаются в точке O. Найдите стороны четырёхугольника с вершинами в точках пересечения медиан треугольников AOB, BOC, и Тренировочные задачи. В круге проведены две хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M; K — точка пересечения биссектрисы угла BMD с хордой. Найдите отрезки BK и KD, если BD = 3, а площади треугольников и AMD относятся как 1 : 4. .. В прямоугольной трапеции основания равны 17 и 25, а большая боковая сторона равна 10. Через середину M этой стороны про- ведён к ней перпендикуляр, пересекающий продолжение второй боковой стороны в точке P. Найдите MP. Тренировочные задачи. В трапеции ABCD даны основания AD = 12 и BC = 8. На продолжении стороны BC отложен отрезок CM = 2,4. В каком отношении прямая AM делит площадь трапеции ABCD? .. Через точку пересечения диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри трапеции, если основания трапеции равны и b. .. В угол вписаны касающиеся внешним образом окружности радиусов r и R (r < R). Первая из них касается сторон угла в точках и B. Найдите AB. .. Основания трапеции равны a и b. Прямая, параллельная основаниям, разбивает трапецию на две трапеции, площади которых относятся как 2 : 3. Найдите длину отрезка этой прямой, заключён- ного внутри трапеции. Около окружности описана равнобедренная трапеция. Боковая сторона трапеции равна 4, отрезок, соединяющий точки касания боковых сторон с окружностью, равен 1. Найдите диаметр окружности. В некоторый угол вписана окружность радиуса 5. Хорда, соединяющая точки касания, равна 8. К окружности проведены две касательные, параллельные хорде. Найдите стороны полученной трапеции. Расстояние от центра O окружности, описанной около треугольника, до стороны BC равно 1. Найдите расстояние от точки пересечения высот до вершины A. .. Через точку C проведены две прямые, касающиеся заданной окружности в точках A и B. На большей из дуг AB взята точка D, для которой CD = 2 и sin ∠ACD · sin ∠BCD = 1 3 . Найдите расстояние от точки до хорды AB. .. В трапеции ABCD даны основания AB = a и CD = b (a < Окружность, проходящая через вершины A, B и C, касается стороны. Найдите диагональ AC. .. Точка пересечения медиан треугольника ABC, вершина и середины сторон AB и AC лежат на одной окружности. Найдите медиану, проведённую из вершины A, если BC = a. .. Из вершины тупого угла A треугольника ABC опущена высота. Проведена окружность с центром в точке D и радиусом, равным. Она пересекает стороны треугольника AB ив точках M § . Вспомогательные подобные треугольники и N соответственно. Найдите сторону AC, если известно, что AB = c, AM = m и AN = n. .. В треугольнике ABC угол C тупой, D — точка пересечения прямой DB, перпендикулярной к AB, и прямой DC, перпендикулярной к AC. Высота треугольника ADC, проведённая из вершины C, пересекает в точке M. Известно, что AM = a, MB = b. Найдите AC. .. Через центр окружности, описанной около треугольника, проведены прямые, перпендикулярные сторонами. Эти прямые пересекают высоту CH треугольника или её продолжение в точках P и Q. Известно, что CP = p, CQ = q. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. .. Через центр O окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, проведена прямая, перпендикулярная BO и пересекающая отрезок AB в точке P и продолжение отрезка BC заточку в точке Q. Найдите BP, если известно, что AB = c, BC = a и BQ = p. .. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Диагональ является биссектрисой угла BAD и пересекается с диагональю в точке K. Найдите KC, если BC = 4, а AK = 6. .. Продолжение медианы треугольника ABC, проведённой из вершины A, пересекает описанную около треугольника ABC окружность в точке D. Найдите BC, если AC = DC = 1. .. Радиус окружности, описанной около треугольника равен R. Через вершину L проведена прямая, перпендикулярная стороне KM. Эту прямую пересекают в точках A и B серединные перпендикуляры к сторонами соответственно. Известно, что = a. Найдите BL. .. В окружности проведены диаметр MN и хорда AB, параллельная диаметру MN. Касательная к окружности в точке M пересекает прямые NA и NB соответственно в точках P и Q. Известно, что = p, MQ = q. Найдите MN. .. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC диагонали и BD пересекаются в точке E. Около треугольника ECB описана окружность, а касательная к этой окружности, проведённая в точке E, пересекает прямую AD в точке F таким образом, что точки A, D и лежат последовательно на этой прямой. Известно, что AF = a, AD = Найдите EF. . ∗ . Боковая сторона AB трапеции ABCD перпендикулярна основаниями. Прямая, перпендикулярная стороне CD, пересекает Задачи на доказательство и вычисление сторону AB в точке M, а сторону CD — в точке N. Известно также, что MC = a, BN = b, а расстояние от точки D до прямой MC равно Найдите расстояние от точки A до прямой BN. . ∗ . В треугольник ABC со сторонами AB = 6, BC = 5, AC = 7 вписан квадрат, две вершины которого лежат на стороне AC, одна на стороне и одна на стороне BC. Через середину D стороны AC и центр квадрата проведена прямая, которая пересекается с высотой BH треугольника в точке M. Найдите площадь треугольника DMC. . ∗ . Две окружности касаются друг друга внутренним образом в точке A. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке. Прямая AD вторично пересекает большую окружность в точке. Найдите MB, если MA = a, MD = b. . ∗ . Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, DC и DE равны соответственно a, b и c. Найдите расстояние от вершины A до прямой Задачи на доказательство и вычисление. Две стороны треугольника равны 6 и 12, косинус угла между ними равен 4 . В треугольник вписан ромб, имеющий с треугольником общий угол, заключённый между данными сторонами (вершина ромба, противоположная вершине этого угла, лежит на третьей стороне треугольника). а) Докажите, что данный треугольник равнобедренный. б) Найдите сторону ромба. Две стороны треугольника равны 25 и 30, косинус угла между ними равен а) Докажите, что треугольник равнобедренный. б) Найдите сторону квадрата, две вершины которого лежат на основании треугольника, а две другие — на боковых сторонах. Первая окружность, вписанная в равнобедренный треугольник, касается боковой стороны AB в точке P, а основания — в точке M. Вторая окружность, касающаяся основания BC и продолжений боковых сторон, касается прямой AB в точке а) Докажите, что треугольник PMQ прямоугольный. б) Найдите радиус второй окружности, если высота треугольника, проведённая из вершины A, равна 45, а точка P делит боковую сторону в отношении 9 : 8, считая от вершины A. § . Вспомогательные подобные треугольники. Первая окружность с центром O, вписанная в равнобедренный треугольник KLM, касается боковой стороны KL в точке B, а основания ML — в точке A. Вторая окружность с центром касается основания ML и продолжений боковых сторона) Докажите, что треугольник OLO 1 прямоугольный. б) Найдите радиус второй окружности, если радиус первой равен и AK = 16. ... Высота CH, проведённая из вершины прямого угла прямоугольного треугольника ABC, пересекает биссектрису AD в точке а) Докажите, чтоб) Найдите острые углы треугольника ABC, если + p 2. ... Высота PH прямоугольного треугольника PQR, проведён- ная к гипотенузе, пересекает биссектрису QM в точке а) Докажите, чтоб) Найдите острые углы треугольника, если + 2 p 3. ... Диагонали вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке M, а AB = а) Докажите, что треугольник BMC подобен треугольнику б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если радиус исходной окружности равен R, AB = BC = a, BD = m. ... Четырёхугольник MNPQ вписан в окружность. Диагональ является биссектрисой угла PNM и пересекается с диагональю в точке а) Докажите, что прямая PS отсекает от треугольника PNQ подобный ему треугольник. б) Найдите NS, если PQ = 12, SQ = 9. ... Биссектриса угла ADC параллелограмма ABCD пересекает прямую AB в точке E. В треугольник ADE вписана окружность, касающаяся стороны AE в точке K и стороны AD в точке T а) Докажите, чтоб) Найдите угол BAD, если AD = 6 и KT = 3. ... Из вершины прямого угла прямоугольного треугольника проведена медиана CM. Окружность, вписанная в треугольник, касается его сторон AM ив точках P и а) Докажите, чтоб) Найдите угол ABC, если AB = 8, PQ = 2. Задачи на доказательство и вычисление. Около треугольника ABC описана окружность. Диаметр пересекает сторону BC в точке E, при этом AE = а) Докажите, чтоб) Известно, что BE : CE = 2 : 3. Найдите отношение DE : AE. ... Около треугольника ABC описана окружность. Диаметр пересекает сторону BC в точке E, при этом AC = а) Докажите, чтоб) Известно, что AE : DE = 2 : 1. Найдите отношение BE : CE. ... На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены квадраты и BCGH, расположенные вне трапеции. а) Докажите, что прямая FG проходит через точку пересечения диагоналей трапеции. б) Прямая, проходящая через центры квадратов, пересекает основание в точке M. Найдите BM, если BC = 20, AC ⊥ BD и BD : AC = = 3 : 2. ... На основаниях AD и BC трапеции ABCD построены вне трапеции прямоугольные треугольники BPC и DQA с прямыми углами при вершинах P и Q и равными углами при вершинах B и а) Докажите, что прямая PQ проходит через точку пересечения диагоналей трапеции. б) Прямая PQ пересекает основание BC в точке M. Найдите BM, если диагонали трапеции равны и перпендикулярны, BC = 12 и ∠PBC = = ∠QDA = arctg 2. ... Четырёхугольник ABCD вписан в окружность. Точка X лежит на его стороне AD, причём BX k CD и CX k а) Докажите, что прямые BX и CX разбивают четырёхугольник ABCD натри подобных треугольника. б) Найдите BC, если AX = 3 и DX = 6. ... Четырёхугольник KLMN вписан в окружность. Точка P лежит на его стороне KL, причём PM k KN и PN k а) Докажите, что прямые PM и PN разбивают четырёхугольник KLMN натри подобных треугольника. б) Найдите KP и LP, если MN = 6 и KL = 13. ... Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию касается боковых сторон AB ив точках M и N соответственно. Отрезок AN пересекает окружность в точке K, а луч MK пересекает основание AD в точке а) Докажите, что треугольник AKL подобен треугольнику б) Найдите отношение AL : LD. § . Вспомогательные подобные треугольники. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, касается боковых сторон KL ив точках P и Q соответственно. Отрезок KQ пересекает окружность в точке A, а луч PA пересекает основание KN в точке а) Докажите, что треугольник AKB подобен треугольнику б) Найдите отношение оснований трапеции, если PQ : KB = 8 : 3. ... На стороне AB и диагонали AC квадрата ABCD отмечены точки M и N соответственно, причём AM : MB = 1 : 4 и AN : NC = 3 : а) Докажите, что точки A, M, N и D лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёх- угольника AMND до прямой MN, если сторона квадрата равна 30. ... На сторонах KL и KN квадрата KLMN отмечены точки A и соответственно, причём KA : AL = NB : BK = 1 : а) Докажите, что точки A, K, B и центр O квадрата лежат на одной окружности. б) Найдите расстояние от точки пересечения диагоналей четырёх- угольника AOBK до прямой OA, если сторона квадрата равна 16. |