Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
119002, Москва, Большой Власьевский пер, 11. м. Смоленская, «Кропоткинская») Ежедневно, 10.00–20.00, кроме воскресенья абрис.рф • Москва 8 (495) 229-67-59 Санкт-Петербург: 8 (812) 327-04-50 e-mail: Оптовые заказы Розничные заказы: Интернет-магазин UMLIT.RU www.umlit.ru e-mail: zakaz@umlit.ru 8 (495) ОПТОВЫЕ И РОЗНИЧНЫЕ ЗАКАЗЫ В МОСКВЕ И РЕГИОНАХ – В МАГАЗИНЕ МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КНИГА» в здании Московского центра непрерывного математического образования (МЦНМО) biblio.mccme.ru • e-mail: biblio@mccme.ru ИНТЕРНЕТ-МАГАЗИН biblio.mccme.ru 8 (499) 241-72-85 • 8 (495) ГЕОМЕТРИЯ. ПЛАНИМЕТРИЯ МАТЕМАТИКА Р. К. Гордин ЕГЭ 2019 ОПТОВЫЕ И РОЗНИЧНЫЕ ЗАКАЗЫ В РЕГИОНАХ – КНИГОТОРГОВАЯ КОМПАНИЯ АБРИС Профильный 16 МА ТЕМА ТИК А ЕГЭ ПРОФИЛЬНЫЙ УР ОВЕНЬ МА ТЕМА ТИК А ЕГЭ Под редакцией ИВ. Ященко ГОТОВИМСЯ К ЕГЭ Р. К. Гордин ЕГЭ . Математика Геометрия. Планиметрия Задача (профильный уровень) Под редакцией ИВ. Ященко Издание соответствует новому Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС) Москва Издательство МЦНМО УДК : ББК .я Г Г Гордин Р. К. ЕГЭ . Математика. Геометрия. Планиметрия. Задача (профильный уровень) / Под ред. ИВ. Ящен- ко. — М МЦНМО, . — с Пособия по математике серии «ЕГЭ . Математика ориентированы на подготовку учащихся старшей школы к успешной сдаче Единого государственного экзамена по математике. В данном учебном пособии представлен материал для подготовки к решению задачи профильного уровня. На различных этапах обучения пособие поможет обеспечить уров- невый подход к организации повторения, осуществить контроль и самоконтроль знаний по планиметрии. Пособие предназначено для учащихся старшей школы, учителей математики, родителей. Издание соответствует новому Федеральному государственному образовательному стандарту (ФГОС). ББК .я Приказом № Министерства образования и науки Российской Федерации Московский центр непрерывного математического образования включён в перечень организаций, осуществляющих издание учебных пособий, допущенных к использованию в образовательном процессе ---- © Гордин Р. К, . © МЦНМО, . Предисловие Это учебное пособие предназначено для подготовки к решению задачи ЕГЭ по математике на профильном уровне. Предполагается, что школьник освоил школьный курс планиметрии с оценкой не ниже . Перед работой с этим задачником необходимо повторить основные определения и теоремы из школьного учебника. Это также полезно делать ив процессе работы с книгой. Пособие начинается с диагностической работы. В ней задач на различные темы. Если в течение двух-трёх часов вы решите не менее половины задач этой работы, то можно приступать к работе с основными разделами задачника. Если же большинство задач окажется вам не по силам, то, скорее всего, за оставшееся до экзамена время вам не удастся достигнуть уровня, необходимого для успешного решения задачи . В этом случае разумнее использовать это время для подготовки к другим задачам ЕГЭ по математике. По какому принципу устроены разделы задачника Прежде всего рассматриваются геометрические конфигурации, наиболее часто встречающиеся в задачах школьного курса касающиеся окружности, пересекающиеся окружности, вписанные и описанные окружности треугольника и четырёхугольника и т. д, способы нахождения различных элементов геометрических фигур — медиан, высот, биссектрис треугольника, радиусов вписанных и описанных окружностей и т. да также некоторые методы решения геометрических задач метод площадей, метод вспомогательной окружности, удвоение медианы и т. п. Каждый из разделов начинается с разбора соответствующей задачи диагностической работы (если вы решили эту задачу не тем способом, который приводится нами, это тоже хорошо главное, что задача решена правильно. Затем формулируются некоторые утверждения, помогающие решить задачи данного раздела. Во многих случаях это факты, которые не рассматриваются в школьных учебниках в качестве основных, но часто содержатся после соответствующих глав учебника в качестве задач. После этого приводятся примеры решения задач с использованием этих фактов. Раздел заканчивается списком задач для самостоятельного решения. Первая часть списка — подготовительные задачи — состоит из относительно простых задач, решаемых в два-три хода. Вторая часть — тренировочные задачи — состоит из более сложных задач, уровень которых, за исключением задач со звёздочкой, примерно Предисловие соответствует уровню задачи . Задачи со звёздочкой выше этого уровня. В третьей части (задачи на доказательство и вычисление) собраны задачи, формат и уровень которых согласован с демоверсией экзамена на профильном уровне в г. В эту часть каждая задача входит в двух вариантах (например, задачи .. и ..). Решив по таких задач, вы можете приступать к диагностическим работам, расположенным в конце пособия. В каждой работе задач. Работа рассчитана примерно на часа. Если за это время вы решаете не менее пяти задач — это отличный результат. Если менее четырёх, рекомендуем ещё порешать тренировочные задачи, а после этого возвратиться к диагностическим работам. Напомним, что задача считается решённой, если найдены все её решения и даны обоснования всех использованных утверждений. Разумеется, при этом можно ссылаться на теоремы из школьного учеб- ника. Ко всем задачам даются ответы, а к некоторым наиболее трудными указания. В приложении приводятся избранные задачи тренировочных и экзаменационных работ с решениями. Тут же даны аналогичные задачи, нос ответами, чтобы вы могли проверить себя. В приложении собраны различные интересные и полезные факты элементарной геометрии. Их можно использовать при решении задач на экзамене, но при этом если они не входят в школьный учебник, тов экзаменационной работе необходимо привести их доказательства Диагностическая работа. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна и ∠ABC = α. Найдите все медианы в этом треугольнике. В треугольнике ABC проведена медиана BM. Известно, что sin ∠ ABM sin ∠CBM = 1 2 . Найдите отношение. В выпуклом четырёхугольнике ABCD отрезки, соединяющие середины противоположных сторон, пересекаются под углом 60 ◦ , а их длины относятся как 1 : 3. Чему равна меньшая диагональ четырёх- угольника ABCD, если большая равна p 39? . Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и 4. . Стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. Точки M и N — середины сторон соответственно BC и CD параллелограмма. Отрезки AM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношение. В треугольнике ABC медиана AD и биссектриса BE перпендикулярны и пересекаются в точке F. Известно, что площадь треугольника равна 5. Найдите площадь треугольника ABC. . Из точки M, лежащей вне окружности с центром O и радиусом проведены касательные MA и MB (A и B — точки касания. Прямые и MB пересекаются в точке C. Найдите OC, если известно, что отрезок OM делится окружностью пополам. Окружности с центрами и касаются внешним образом в точке C. Прямая касается этих окружностей в различных точках и B соответственно. Найдите угол AO 2 B, если известно, что tg ∠ABC = 1 2 . На катетах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены окружности. Найдите их общую хорду, если катеты равны и 4. . Найдите радиусы вписанной и описанной окружностей треугольника со сторонами 13, 13, 24 и расстояние между центрами этих окружностей Диагностическая работа. На продолжении диаметра AB окружности отложен отрезок равный диаметру. Прямая, проходящая через точку C, касается окружности в точке M. Найдите площадь треугольника ACM, если радиус окружности равен R. . Окружность проходит через центр окружности и пересекаете в точках A и B. Хорда AC окружности касается окружности в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится окружностью S 1 . На стороне AB треугольника ABC отмечена точка D, причём ∠BCD = ∠BAC. Известно, что BC = a, AC = b, AB = c. Найдите CD. . Углы при вершинах A и C треугольника ABC равны и соответственно AM, BN и CK — высоты треугольника. Найдите отношение. Медиана прямоугольного треугольника Решение задачи из диагностической работы. В прямоугольном треугольнике ABC гипотенуза AB равна и ∠ABC = α. Найдите все медианы в этом треугольнике. Ответ: c 2 , c 2 · p 1 + 3 cos 2 α, c 2 · p 1 + 3 Решен и е. Поскольку медиана прямоугольного треугольника, прове- дённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы, медиана CM равна Пусть K — середина BC. Тогда CK = = 1 2 BC = 1 2 AB cos α = 1 2 c cos α. По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника находим, что = p AC 2 + CK 2 = Ç (AB sin α) 2 + 1 2 AB cos α 2 = = c 2 p 4 sin 2 α + cos 2 α = c 2 p 4 sin 2 α + 1 − sin 2 α = c 2 p 1 + 3 Аналогично находим медиану BN. Ã * * Теорема. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы. Д ока за тел ь ст во. Пусть ABC — прямоугольный треугольник с прямым углом при вершине C. Обозначим ∠BAC = α, ∠ABC = β Тогда + β = От луча CA в полуплоскость, содержащую точку B, отложим угол, равный α. Тогда луч CE проходит между сторонами угла так как = ∠ACE < ∠ACB = 90 ◦ . Поэтому сторона CE этого угла пересекает гипотенузу AB в некоторой точке M. A B C M E α α β β § . Медиана прямоугольного треугольника Треугольник AMC равнобедренный, поскольку ∠ACM = значит, CM = AM. С другой стороны, треугольник BMC также равнобедренный, поскольку = 90 ◦ − ∠ACM = 90 ◦ − α = β = Значит, CM = BM. Следовательно, M — середина гипотенузы AB, те медиана треугольника ABC и CM = 1 2 AB, что и требовалось до- казать. Теорема обратная. Если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный. Рассмотрим несколько примеров применения доказанного выше свойства медианы прямоугольного треугольника, проведённой из вершины прямого угла. Пример . Найдите гипотенузу прямоугольного треугольника с острым углом 15 ◦ , если известно, что высота треугольника, опущенная на гипотенузу, равна Ответ Решение. Пусть CH — высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла C, ∠A = 15 ◦ . Прове- дм медиану CM. Тогда ∠CMH — внешний угол равнобедренного треугольника AMC, поэтому ∠CMH = 30 ◦ . Из прямоугольного треугольника находим, что CM = 2CH = 2. Следовательно, AB = = 2CM = Пример . Через основание биссектрисы AD равнобедренного треугольника ABC с вершиной B проведён перпендикуляр к этой биссектрисе, пересекающий прямую AC в точке E. Найдите отрезок, если известно, что CD = Ответ Решение. Отметим середину M отрезка AE. Отрезок DM — медиана прямоугольного треугольника ADE, проведённая из вершины прямого угла, поэтому AM = DM = ME. Подготовительные задачи A B C M D E α α α/2 α/2 Обозначим ∠BAC = ∠BCA = α. По теореме о внешнем угле треугольника значит, треугольник CDM равнобедренный. Следовательно, AE = = 2DM = 2DC = Подготовительные задачи. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна 4. Найдите радиус описанной окружности. Медиана, проведённая к гипотенузе прямоугольного треугольника, равна m и делит прямой угол в отношении 1 : 2. Найдите стороны треугольника. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами 8 и 9. Найдите стороны треугольника. В треугольнике ABC к стороне AC проведены высота BK и медиана, причём AM = BM. Найдите косинус угла KBM, если AB = 1, BC = 2. .. Окружность, построенная на катете прямоугольного треугольника как на диаметре, делит гипотенузу в отношении 1 : 3. Найдите острые углы треугольника. Точка D — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника. Окружность, вписанная в треугольник ACD, касается отрезка в его середине. Найдите острые углы треугольника ABC. .. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла проведены биссектриса CL и медиана CM. Найдите площадь треугольника, если LM = a, CM = b. § . Медиана прямоугольного треугольника. Вне прямоугольного треугольника ABC на его катетах и BC построены квадраты ACDE и BCFG. Продолжение медианы треугольника ABC пересекает прямую DF в точке N. Найдите отрезок, если катеты равны 1 и 4. .. Высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна a и образует угол α с медианой, проведённой из той же вершины. Найдите катеты треугольника. Тренировочные задачи. Медиана прямоугольного треугольника, проведённая к гипотенузе, разбивает его на два треугольника с периметрами m и n. Найдите стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90 ◦ ) проведены высота CD и медиана CE. Площади треугольников ABC и CDE равны соответственно 10 и 3. Найдите AB. .. В прямоугольном треугольнике ABC катеты AB и AC равны и 3 соответственно. Точка D делит гипотенузу BC пополам. Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники и ABD. .. Катет прямоугольного треугольника равен 2, а противолежащий ему угол равен 30 ◦ . Найдите расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники, на которые данный треугольник делится медианой, проведённой из вершины прямого угла. В четырёхугольнике ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны и пересекаются в точке P. Отрезок, соединяющий вершину с серединой M отрезка AD, равен 4 , AP = 1. Расстояние от точки P до отрезка BC равно 2 . Найдите AD, если известно, что вокруг четырёх- угольника ABCD можно описать окружность. Средняя линия трапеции равна 5, а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 3. Углы при большем основании трапеции равны и 60 ◦ . Найдите основания и меньшую боковую сторону трапеции. Средняя линия трапеции равна 4, углы при одном из оснований равны и 50 ◦ . Найдите основания трапеции, если отрезок, соединяющий середины оснований, равен 1. Тренировочные задачи. Диагонали трапеции перпендикулярны. Одна из них равна Отрезок, соединяющий середины оснований, равен 4,5. Найдите площадь трапеции. Прямая, параллельная гипотенузе AB прямоугольного треугольника, пересекает катет AC в точке D, а катет BC — в точке E, причём DE =2, а BE =1. На гипотенузе взята такая точка F, что BF Известно также, что ∠FCB = α. Найдите площадь треугольника ABC. .. Гипотенуза AB прямоугольного треугольника ABC является хордой окружности радиуса 10. Вершина C лежит на диаметре окружности, который параллелен гипотенузе. Угол CAB равен 75 ◦ . Найдите площадь треугольника ABC. .. Гипотенуза KM прямоугольного треугольника KMP является хордой окружности радиуса p 7. Вершина P находится на диаметре, который параллелен гипотенузе. Расстояние от центра окружности до гипотенузы равно p 3. Найдите острые углы треугольника KMP. .. В треугольнике ABC известно, что AB = c, AC = b (b > c), AD биссектриса. Через точку D проведена прямая, перпендикулярная и пересекающая AC в точке E. Найдите AE. .. Точка E лежит на стороне AC равностороннего треугольника точка K — середина отрезка AE. Прямая, проходящая через точку E перпендикулярно прямой AB, и прямая, проходящая через точку C перпендикулярно прямой BC, пересекаются в точке D. Найдите углы треугольника BKD. .. В трапеции ABCD точка K — середина основания AB, M середина основания CD. Найдите площадь трапеции, если известно, что DK — биссектриса угла D, BM — биссектриса угла B, наибольший из углов при основании AB равен 60 ◦ , а периметр трапеции равен 30. . ∗ . В треугольнике ABC известны углы ∠A = 45 ◦ , ∠B = На продолжении стороны AC заточку взята точка M, причём CM = 2AC. Найдите угол AMB. . ∗ . В треугольнике ABC известно, что AB = AC и угол BAC тупой. Пусть BD — биссектриса треугольника ABC, M — основание перпендикуляра, опущенного из точки A на сторону BC, E — основание перпендикуляра, опущенного из точки D на сторону BC. Через точку D про- ведён также перпендикуляр к BD до пересечения со стороной BC в точке. Известно, что ME=FC=a. Найдите площадь треугольника ABC. . ∗ . Острый угол при вершине A ромба ABCD равен 40 ◦ . Через вершину A и середину M стороны CD проведена прямая, на которую опущен перпендикуляр BH из вершины B. Найдите угол AHD. § . Медиана прямоугольного треугольника Задачи на доказательство и вычисление. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC известно, что = BC = CD = 1 а) Докажите, чтоб) Найдите углы трапеции. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне, а угол при основании трапеции равен а) Докажите, что одно из оснований трапеции вдвое больше дру- гого. б) Найдите стороны трапеции, если её диагональ равна 2 p 3. ... Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника с углом при вершине A. Окружность, вписанная в треугольник BMC, касается его сторон BC ив точках P и а) Докажите, чтоб) Найдите PQ, если AB = 8. ... Точка E — середина гипотенузы ML прямоугольного треугольника с углом при вершине M. Окружность, вписанная в треугольник KME, касается катета MK в точке A, а окружность, вписанная в треугольник KLE, касается катета KL в точке а) Докажите, чтоб) В каком отношении точка касания большей из этих окружностей делит гипотенузу. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадраты ACDE и BFKC. Точка M — середина гипотенузы AB, H — точка пересечения прямых CM и а) Докажите, чтоб) Найдите MH, если катеты треугольника ABC равны 30 и 40. ... На катетах KL и ML прямоугольного треугольника KLM вне треугольника построены квадраты ABKL и CDLM, LP — высота треугольника а) Докажите, что прямая PL проходит через середину E гипотенузы б) Найдите EP, если катеты треугольника KLM равны 10 и 24. ... Из вершины C тупого угла треугольника ABC проведена высота. Точку H соединили с серединами M и N сторон AC и а) Докажите, что в четырёхугольник CMHN можно вписать окруж- ность. б) Найдите её радиус, если сумма сторон AC и BC равна 20, а площадь треугольника ABC равна 24. Задачи на доказательство и вычисление. Точка P — основание высоты BP равнобедренного треугольника, опущенной на боковую сторону AC. Точки E и F середины основания BC и боковой стороны AB соответственно. а) Докажите, что в четырёхугольник BEPF можно вписать окруж- ность. б) Найдите её радиус, если BC = 12 и AB = AC = 10. ... Точка E расположена вне квадрата ABCD с центром O, причём треугольник BEC прямоугольный (∠E = 90 ◦ ) и неравнобед- ренный. Точка M — середина стороны а) Докажите, что треугольник OME равнобедренный. б) Прямая EO пересекает сторону AD квадрата в точке K. Найдите отношение AK : KD, если ∠CBE = 30 ◦ ... Точка A расположена вне квадрата KLMN с центром O, прич м треугольник KAN прямоугольный (∠A = 90 ◦ ) и AK = 2AN. Точка середина стороны а) Докажите, чтоб) Прямая AO пересекает сторону ML квадрата в точке P. Найдите отношение LP : PM. ... Две стороны треугольника равны 1 и 5, площадь треугольника равна 2. Медиана, проведённая к его третьей стороне, меньшее половины. а) Докажите, что треугольник тупоугольный. б) Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника. Две стороны треугольника равны 6 и 5, площадь треугольника равна 9. Медиана, проведённая к его третьей стороне, большее половины. а) Докажите, что треугольник остроугольный. б) Найдите его наибольшую высоту. Высоты и остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Точки M и N — середины отрезков AB и CH соответственно. а) Докажите, что треугольники и A 1 NB 1 равнобедренные. б) Найдите площадь четырёхугольника A 1 MB 1 N, если A 1 B 1 = 6 и = 4. ... Продолжения высот и треугольника PQR с тупым углом при вершине R пересекаются в точке H. Точки A и B — середины отрезков PQ и RH соответственно. а) Докажите, что P 1 Q 1 ⊥ AB. § . Медиана прямоугольного треугольника б) Найдите диагонали четырёхугольника AP 1 BQ 1 , если PQ = 10, RH = 6 и AM = 3BM, где M — точка пересечения диагоналей. Дан треугольник ABC. Точки M 1 , M 2 , M 3 — середины сторон, BC и AC, а точки H 1 , H 2 , H 3 — основания высот, лежащие на тех же сторонах. а) Докажите, что из отрезков H 1 M 2 , и можно построить треугольник. б) Найдите его периметр, если периметр треугольника ABC равен. Медианы AA 1 , и треугольника ABC пересекаются в точке M, причём BB 1 ⊥ а) Докажите, что из отрезков A 1 M, и можно построить треугольник. б) Найдите площадь этого треугольника, если BB 1 = 18 и CC 1 = 9. ... Высота AH и медиана AM треугольника ABC делят угол треугольника ABC натри равные части, причём точка H лежит между и M. Из точки M опущен перпендикулярна сторону а) Докажите, чтоб) Найдите углы треугольника ABC. ... Из вершины прямого угла C прямоугольного треугольника проведены высота CH, медиана CM и биссектриса CL, причём ∠HCM = ∠BCH + а) Докажите, чтоб) Найдите отношение HL : LM. ... Медианы AM и BN треугольника ABC перпендикулярны и пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 3 и BC = 4. ... Медианы LP и MQ треугольника KLM перпендикулярны и пересекаются в точке а) Докажите, что отрезок PQ равен медиане GE треугольника б) Найдите PQ, если KL = 22 и KM = 31. |