Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Как находить высоты и биссектрисы треугольника? Решение задачи из диагностической работы. Две стороны треугольника равны 3 и 6, а угол между ними равен. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. Ответ: Решение. Пусть AD — биссектриса треугольника ABC, в котором Первый способ. Обозначим AD = x. Тогда 2 · AB · AC · sin 60 ◦ = 1 2 · 6 · 3 · p 3 2 = 9 p 3 С другой стороны 2 AB · AD · sin 30 ◦ + 1 2 AC · AD · sin 30 ◦ = = 1 2 · 6 · x · 1 2 + 1 2 · 3 · x · 1 2 = 9 Из уравнения 4 x = 9 p 3 находим, что x = Второй способ. Заметим, что треугольник ABC прямоугольный. Тогда треугольник ACD также прямоугольный, причём ∠CAD = 30 ◦ . Следовательно Высоту прямоугольного треугольника, проведённую из вершины прямого угла, удобно находить так вычислить двумя способами площадь треугольника — как половину произведения катетов и как по § . Как находить высоты и биссектрисы треугольника? ловину произведения гипотенузы на искомую высоту — и затем из полученного равенства выразить эту высоту. Таким образом, высота прямоугольного треугольника, проведённая из вершины прямого угла, равна произведению катетов, делённому на гипотенузу. Биссектрису треугольника также можно находить, вычисляя разными способами площадь треугольника. Пример . Катеты прямоугольного треугольника равны 15 и Найдите высоту, опущенную на гипотенузу Ответ Решен и е. Гипотенуза треугольника равна p 15 2 + 8 Следовательно, искомая высота равна 8 17 = 120 Высоту равнобедренного треугольника, опущенную на боковую сторону, также удобно вычислять с помощью площадей. Пример . Дан треугольник со сторонами a, b и b. Найдите высоту, опущенную на сторону, равную Ответ a 2 Решение. Пусть d — искомая высота — высота, опущенная на основание данного равнобедренного треугольника. Тогда = Ç b 2 − a 2 2 = p 4b 2 − a 2 С одной стороны, площадь треугольника равна, с другой — 1 2 bd. Из равенства ah = находим, что = ah b = a p 4b 2 − a 2 2 : b = a p 4b 2 − a 2 2b à * * Тот же метод (метод площадей) можно применить и для произвольного треугольника. Пример . Дан треугольник со сторонами 13, 14, 15. Найдите высоту, проведённую к большей стороне. Ответ: 56 5 Решение задачи из диагностической работы Р е ш е ни е. Первый способ. Пусть AH — указанная высота треугольника со сторонами BC = 15, AC = 14, AB = 13. По формуле Герона S ∆ ABC = p 21(21 − 13)(21 − 14)(21 − 15) = p 21 · 8 · 7 · 6 = 7 · 3 · 4 = 84. A B C H x 15 − x 13 С другой стороны, S ∆ ABC = 1 2 BC · AH, откуда находим, что = 2S ∆ ABC BC = 2 · 84 15 = 56 Эту задачу можно решить также с помощью теоремы Пифагора. Второй способ. Поскольку BC — наибольшая сторона треугольника, то точка H лежит на стороне BC. Обозначим BH = x. Тогда = BC − BH = 15 − x. В прямоугольных треугольниках AHB и имеем BH 2 = 169 − и CH 2 = 196 − (15 − Из уравнения 169 − x 2 = 196 − (15 − находим, что x = 33 5 . Следовательно. Можно решить эту задачу, применяя теорему косинусов. Третий способ. Пусть AH — указанная высота треугольника со сторонами BC = 15, AC = 14, AB = 13. По теореме косинусов cos ∠ABC = 225 + 169 − 196 2 · 15 · 13 = 33 а из прямоугольного треугольника ABH находим, что = AB sin ∠ABC = 13 Ç 1 − 33 65 2 = 56 5 à § . Как находить высоты и биссектрисы треугольника? Для вычисления биссектрисы также можно использовать метод площадей. Пример . Стороны треугольника равны a и b, а угол между ними равен. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины этого угла. Ответ: 2ab cos γ 2 a + Решение. Пусть S — площадь данного треугольника, и S 2 — площади треугольников, на которые указанная биссектриса, равная l, разбивает данный треугольник. Тогда S = S 1 + S 2 , или 2 ab sin γ = 1 2 al sin γ 2 + 1 2 bl или sin γ 2 cos γ 2 = 1 2 (a + b)l Поскольку отличен от нуля, l = 2ab cos γ 2 a + b à * * Иногда удобно применить теорему косинусов и свойство биссектрисы треугольника биссектриса треугольника разбивает его сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам. Пример . Вычислите биссектрису треугольника ABC, проведён- ную из вершины A, если BC = 18, AC = 15, AB = Ответ 10. A B C K 8 10 12 Решение. Пусть AK — биссектриса треугольника ABC. Тогда 12 = 5 Поэтому BK = 4 9 BC = 4 9 · 18 = По теореме косинусов из треугольника находим, что cos ∠B = AB 2 + BC 2 − AC 2 2AB · BC = 144 + 324 − 225 2 · 12 · 18 = 9 Следовательно cos ∠B = 144+64−108 = 100, AK = 10. à Подготовительные задачи Эту же задачу можно решить, используя формулу для квадрата бис- сектрисы. Утверждение. Квадрат биссектрисы треугольника равен произведению стороне заключающих, без произведения отрезков третьей стороны, на которые она разделена биссектрисой. Д ока за тел ь ст во. Пусть M — точка пересечения продолжения биссектрисы AK треугольника ABC с описанной около этого треугольника окружностью. Тогда треугольник ACK подобен треугольнику по двум углам. Поэтому AK AB = AC AM , или AK(AK + KM) = AB · AC, AK 2 + AK · KM = AB · Следовательно AC − AK · KM = AB · AC − BK · KC (AK · KM = BK · KC по теореме о произведениях отрезков пересекающихся хорд, что и требовалось доказать. Вернёмся к примеру . Пусть уже найден отрезок BK. Тогда CK = = BC − BK = 18 − 8 = 10. По формуле для квадрата биссектрисы треугольника находим, что AC − BK · CK = 12 · 15 − 8 · 10 = 180 − 80 = Следовательно, AK = Подготовительные задачи. Катет и гипотенуза прямоугольного треугольника равны и 20 соответственно. Найдите высоту, проведённую из вершины прямого угла § . Как находить высоты и биссектрисы треугольника. Найдите высоту прямоугольного треугольника, опущенную на гипотенузу, если известно, что основание этой высоты делит гипотенузу на отрезки, равные 1 и 4. .. Высота равнобедренного треугольника, опущенная на боковую сторону, разбиваете на отрезки, равные 2 и 1, считая от вершины треугольника. Найдите эту высоту. Стороны треугольника равны 10, 17 и 21. Найдите высоту треугольника, проведённую из вершины наибольшего угла. В треугольнике ABC известно, что AB = a, AC = b, ∠BAC = Найдите биссектрису AM. .. Катеты прямоугольного треугольника равны a и b. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины прямого угла. В треугольнике ABC известно, что AB = 8, AC = 6, ∠BAC = Найдите биссектрису AM. .. Найдите высоту трапеции, боковые стороны которой равны и 8, а основания равны 4 и Тренировочные задачи. Найдите высоты треугольника, если его площадь равна S, а углы равны, β и γ. .. Расстояния от точки M, лежащей внутри треугольника до его сторон AC и BC соответственно равны 2 и 4. Найдите расстояние от точки M до прямой AB, если AB = 10, BC = 17, AC = 21. .. К окружности радиуса 7 проведены две касательные из одной точки, удалённой от центра на расстояние, равное 25. Найдите расстояние между точками касания. Найдите площадь равнобедренного треугольника, если высота, опущенная на основание, равна 10, а высота, опущенная на боковую сторону, равна 12. .. На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, которая пересекает гипотенузу в точке K. Найдите площадь треугольника CKB, если катет BC равен а катет AC равен b. .. На высоте CD, опущенной из вершины C прямоугольного треугольника ABC на гипотенузу AB, как на диаметре построена окружность, которая пересекает катет AC в точке E, а катет BC Тренировочные задачи в точке F. Найдите площадь четырёхугольника CFDE, если катет равен b, а катет BC равен a. .. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 и 20. Найдите биссектрису треугольника, проведённую из вершины угла при основании. В равнобедренном треугольнике BCD с основанием BD проведена биссектриса BE. Известно, что CE = c и DE = d. Найдите BE. .. В треугольнике ABC на стороне AC как на диаметре построена окружность, которая пересекает сторону AB в точке M, а сторону — в точке N. Известно, что AC = 2, AB = 3, AM : MB = 2 : 3. Найдите. В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса из вершины прямого угла C. Известно, что AD = m, BD = n. Найдите высоту, опущенную из вершины C. .. В треугольнике ABC угол C равен 60 ◦ , а биссектриса CD равна. Стороны AC и BC относятся как 5 : 2. Найдите тангенс угла и сторону BC. .. В треугольнике ABC на сторонах AB и BC отмечены точки и N соответственно, причём BM = BN. Через точку M проведена прямая, перпендикулярная BC, а через точку N — прямая, перпендикулярная. Эти прямые пересекаются в точке O. Продолжение отрезка пересекает сторону AC в точке P и делите на отрезки AP = и PC = 4. Найдите BP, если известно, что BC = 6. .. Окружность касается сторон AB и BC треугольника в точках D и E соответственно. Найдите высоту треугольника опущенную из вершины A, если AB = 5, AC = 2, а точки A, D, E, лежат на одной окружности. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AE и CD. Найдите длины отрезков CD, CE, DE и расстояние между центрами окружностей, вписанной в треугольники описанной около треугольника, если AC = 2, BC = 4, ∠ACB = arccos 11 16 .. В треугольнике ABC отношение стороны BC к стороне равно 3, а ∠ACB = α. Из вершины C проведены два луча, делящие угол ACB натри равные части. Найдите отношение отрезков этих лучей, заключённых внутри треугольника ABC. .. Биссектриса CD угла ACB при основании BC равнобедренного треугольника ABC делит сторону AB так, что AD = BC. Найдите биссектрису CD и площадь треугольника ABC, если BC = 2. § . Как находить высоты и биссектрисы треугольника. В треугольнике KLM проведена биссектриса KP. Окружность, вписанная в треугольник KLP, касается стороны KL в точке Q, причём LQ = a. На сторонах KL и LM выбраны точки E и R соответственно так, что прямая ER проходит через центр окружности, вписанной в треугольник. Найдите длину биссектрисы KP, если известно, что + LR = b, а отношение площадей треугольников KLP и ELR равно Задачи на доказательство и вычисление. В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C проведены медиана CM и высота а) Докажите, что биссектриса CL треугольника ABC является также биссектрисой треугольника б) Найдите CL, если CM = 10, CH = 6. ... В прямоугольном треугольнике KLM из вершины прямого угла K проведены высота KA, медиана KB и биссектриса а) Докажите, что угол BKC равен полуразности острых углов треугольника б) Найдите LM, если KA = 12, KC = 4 p 10. ... Дана трапеция ABCD. Биссектриса угла BAD пересекает продолжение основания BC в точке а) Докажите, что треугольник ABK равнобедренный. б) Найдите биссектрису BM треугольника ABK, если AD = 10, BC = 2, AB = CD = 5. ... Дан треугольник ABC, в котором AB = 2AC, AK — его биссектриса. Прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекается с прямой AK в точке а) Докажите, что треугольник ABM равнобедренный. б) Найдите KM, если AB = 4, AC = 2 и BC = 3. ... Медианы треугольника ABC пересекаются в точке а) Докажите, что треугольники AMB, AMC и BMC равновелики. б) Известно, что треугольник ABC прямоугольный, а точка M удалена от катетов на расстояния 3 и 4. Найдите расстояние от этой точки до гипотенузы. Медианы AA 1 , и треугольника ABC пересекаются в точке а) Докажите, что четырёхугольник AB 1 MC 1 равновелик треугольнику Задачи на доказательство и вычисление б) Известно, что треугольник ABC прямоугольный, а точка M удалена от гипотенузы и от одного из катетов на расстояния 6 и 10 соответственно. Найдите расстояние от этой точки до второго катета. Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной AB угол 30 ◦ . Точка E лежит вне прямоугольника, причём ∠BEC = а) Докажите, чтоб) Прямая OE пересекает сторону AD прямоугольника в точке Найдите EK, если BE = 40 и CE = 24. ... Диагональ AC прямоугольника ABCD с центром O образует со стороной BC угол 30 ◦ . Вне прямоугольника построен треугольник с углом при вершине а) Докажите, что KO — биссектриса угла б) Найдите длину отрезка прямой KO, заключённого внутри прямоугольника, если BC = 3 и CK = 2BK. ... Окружность, построенная на биссектрисе BL равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание BC в точке P. Боковая сторона треугольника вдвое больше его основания. а) Докажите, чтоб) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке Найдите BL, если ML = p 15 2 ... Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, пересекает основание BC в точке а) Докажите, чтоб) Пусть указанная окружность пересекает сторону AB в точке Найдите AB, если BK = 18 и BN = 17. ... Дан треугольник ABC со сторонами AB = 4, BC = 6 и AC = а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне б) Найдите длину биссектрисы треугольника ABC, проведённой из вершины A. ... Дан треугольник ABC со сторонами AC = 6, AB = 10 и = а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна стороне б) Найдите расстояние от вершины C до этой прямой § . Как находить высоты и биссектрисы треугольника. Высоты, проведённые из вершин A, B и C треугольника, равны 20, 15 и 12 соответственно. а) Докажите, что треугольник прямоугольный. б) Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины. Высоты, проведённые из вершин A, B и C треугольника, равны, 3 и 6 соответственно. а) Докажите, что треугольник прямоугольный. б) Найдите длину биссектрисы треугольника, проведённой из вершины. В треугольнике ABC высота CH, биссектриса CL и медиана делят угол ACB на четыре равных угла. а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите длины высоты CH, биссектрисы CL и медианы CM, если радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен R. ... В треугольнике KLM (KL 6= ML) биссектриса LA делит пополам угол между высотой LB и медианой а) Докажите, что треугольник KLM прямоугольный. б) Найдите длины медианы LC, высоты LB и биссектрисы LA, если = 6 и LM = 8. § . Отношение отрезков Решение задачи из диагностической работы. Точки M и N — середины сторон соответственно BC и CD параллелограмма. Отрезки AM и BN пересекаются в точке O. Найдите отношение MO OA Ответ: 1 Решение. Пусть продолжения отрезков BN и AD пересекаются в точке E. Обозначим BM = CM = a. Тогда AD = BC = Треугольник DNE равен треугольнику CNB по стороне и прилежащим к ней углам, поэтому DE = BC = 2a. Значит = AD + DE = 2a + 2a = Треугольник BOM подобен треугольнику EOA, следовательно 4 à * * Большинство задач этого раздела решаются либо с помощью теоремы о пропорциональных отрезках (обобщённой теоремы Фалеса), либо с помощью дополнительного построения, которое приводит к двум парам подобных треугольников. Рассмотрим это построение, решив следующую задачу. Пример . Дан треугольник ABC. На продолжении стороны заточку взята точка N, причём AC = 2CN. Точка M находится на стороне BC, причём BM : MC = 1 : 3. В каком отношении прямая делит сторону Ответ 1 : 9, считая от точки B. § . Отношение отрезков Р е ш е ни е. Через точку B проведём прямую, параллельную. Пусть прямая MN пересекаете в точке T , а прямую AB — в точке Обозначим AC = a. Тогда CN = 1 2 a, AN = 3 2 a. Из подобия треугольников и NCM коэффициент подобия равен 3 ) находим, что = 1 3 CN = 1 а из подобия треугольников TBK и NAK — BK AK = TB AN = 1 6 a : 3 2 a = 1 Решение. Через точку C проведём прямую, параллельную. Пусть эта прямая и прямая MN пересекают сторону AB в точках и K соответственно. Положим AP = 6t. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках 2 , поэтому KP = 1 2 AP = 3t, атак как 3 , то BK = 1 3 KP = t. Следовательно + AP = t 3t + 6t = 1 Пример можно легко решить с помощью теоремы Менелая, но эта теорема не входит в обязательную школьную программу. Заметим, что теорему Менелая можно доказать, используя те же рассуждения, что и при решении разобранной выше задачи Решение задачи из диагностической работы Пример . На сторонах AB и BC треугольника ABC расположены точки M и N соответственно, причём AM : MB = 3 : 5, BN : NC = 1 : Прямые CM и AN пересекаются в точке O. Найдите отношения : ON и OM : Ответ 3 : 4; 3 : Решение. Первый способ. Через точку A проведём прямую, параллельную. Пусть T — точка её пересечения с прямой MC. Положим Из подобия треугольников AMT и BMC коэффициент 5 ) находим, что AT = 3 5 BC = 3 5 (BN + NC) = 3 5 (a + 4a) = а из подобия треугольников AOT и NOC получаем Аналогично находим, что Второй способ. Через точку N проведём прямую, параллельную. Пусть эта прямая пересекает сторону AB в точке P. Положим = b. Тогда по теореме о пропорциональных отрезках поэтому = 4BP = 4b, BM = BP + PM = атак как 3 , то MA = 3b. Следовательно Аналогично находим, что 32 à § . Отношение отрезков Иногда при решении задач на отношение отрезков удобно применить метод площадей. Пример . На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки M, N итак, что AM : MB = 2 : 3, AK : KC = 2 : 1, BN : NC = 1 : 2. В каком отношении прямая MK делит отрезок Ответ 6 : 7, считая от точки Решение. Пусть P — точка пересечения прямой MK с отрезком. Обозначим и S ∆ ABC = S. Тогда S = 1 3 S, S ∆ ACN = CN BC · S = 2 3 S, S ∆ AMP = AM AB · AP AN · S ∆ ABN = 2 5 · x · 1 3 · S = 2 15 xS, S ∆ AKP = AK AC · AP AN · S ∆ ACN = 2 3 · x · 2 3 · S = 4 9 xS, S ∆ AMK = AM AB · AK AC · S = 2 5 · 2 3 · S = 4 Поскольку S ∆ AMK = S ∆ AMP + S ∆ AKP , то 15 xS + 4 9 xS = 4 Отсюда находим, что x = 6 13 . Следовательно Пример . Длины сторон треугольника различны и образуют арифметическую прогрессию. Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения медиан и центр вписанной окружности, параллельна одной из сторон треугольника. Д ока за тел ь ст во. Если числа образуют арифметическую прогрессию, то одно из них есть среднее арифметическое двух других. Пусть O — центр вписанной окружности (точка пересечения биссектрис) треугольника ABC, в котором AC = b, BC = a, AB = a + b 2 Подготовительные задачи Тогда, поскольку CQ — биссектриса треугольника ABC, получаем, значит, BQ и AQ = b 2 , атак как BO — биссектриса треугольника BCQ, то С другой стороны, если K — середина стороны AB, а M — точка пересечения медиан треугольника ABC, то. Поэтому CO OQ = CM MK , значит, OM k AB, что и требовалось доказать. Подготовительные задачи. На медиане AM треугольника ABC взята точка K, причём AK : KM = 1 : 3. Найдите отношение, в котором прямая, проходящая через точку K параллельно стороне AC, делит сторону BC. .. Дан треугольник ABC. На продолжении стороны AC заточку взята точка N, причём CN = AC; точка K — середина стороны В каком отношении прямая KN делит сторону BC? .. На стороне BC треугольника ABC и на продолжении стороны за вершину B расположены точки M и K соответственно, прич ми. Прямая KM пересекает сторону в точке N. Найдите отношение CN : AN. .. На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки и L, причём AK : KB = 4 : 7 и AL : LC = 3 : 2. Прямая KL пересекает продолжение стороны BC в точке M. Найдите отношение CM : BC. .. На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, BM : MC = 2 : Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения : OA и ON : OD. § . Отношение отрезков. На сторонах AB и AC треугольника ABC расположены точки и M соответственно, причём AN : NB = 3 : 2, AM : MC = 4 : 5. Прямые и CN пересекаются в точке O. Найдите отношения OM : и ON : OC. .. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) на стороне взята точка D так, что BD : DC = 1 : 4. В каком отношении прямая делит высоту BE треугольника ABC, считая от вершины B? .. На медиане треугольника ABC взята точка M, причём AM : MA 1 = 1 : 3. В каком отношении прямая BM делит сторону AC? .. Точки и расположены на сторонах BC и AB треугольника. Отрезки и пересекаются в точке M. В каком отношении прямая BM делит сторону AC, если AC 1 : C 1 B = 2 : 3 и BA 1 : A 1 C = 1 : 2? .. В треугольнике ABC известно, что AB = c, BC = a, AC = В каком отношении центр вписанной окружности треугольника делит биссектрису Тренировочные задачи. На стороне PQ треугольника PQR взята точка N, а на стороне — точка L, причём NQ = LR. Точка пересечения отрезков QL и делит отрезок QL в отношении m : n, считая от точки Q. Найдите отношение. В треугольнике ABC биссектриса AD делит сторону BC вот- ношении BD : DC = 2 : 1. В каком отношении медиана CE делит эту биссектрису. На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC взяты соответственно точки K, L и M, причём AK : KB = 2 : 3, BL : LC = 1 : 2, CM : MA = 3 : 1. В каком отношении отрезок KL делит отрезок BM? .. В треугольнике ABC, площадь которого равна 6, на стороне взята точка K, делящая эту сторону в отношении AK : BK = 2 : а на стороне AC взята точка L, делящая AC в отношении AL : LC = 5 : Точка Q пересечения прямых CK и BL отстоит от прямой AB на расстояние. Найдите сторону AB. .. В треугольнике ABC на основании AC взяты точки P и Q так, что AP < AQ. Прямые BP и BQ делят медиану AM натри равные части. Известно, что PQ = 3. Найдите AC. .. Дан треугольник ABC. Известно, что AB = 4, AC = 2 и BC = Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC в точке K. Прямая, про Задачи на доказательство и вычисление ходящая через точку B параллельно AC, пересекает продолжение биссектрисы в точке M. Найдите KM. .. Около окружности описана равнобедренная трапеция Боковые стороны AB и CD касаются окружности в точках M и N, K середина AD. В каком отношении прямая BK делит отрезок MN? .. Около окружности описана равнобедренная трапеция Боковая сторона AB касается окружности в точке M, а основание — в точке N. Отрезки MN и AC пересекаются в точке P, причём NP : PM = 2. Найдите отношение AD : BC. .. Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны отношения : DC = 1 : 2 и BD : AC = 2 : 3. Найдите DA : BC. .. В треугольнике ABC проведена высота AD. Прямые, одна из которых содержит медиану BK, а вторая — биссектрису BE, делят эту высоту натри равных отрезка. Известно, что AB = 4. Найдите сторону. При каком отношении оснований трапеции существует прямая, на которой шесть точек пересечения с диагоналями, боковыми сторонами и продолжениями оснований трапеции высекают пять равных отрезков. В трапеции ABCD с боковыми сторонами AB = 9 и CD = биссектриса угла D пересекает биссектрисы углов A ив точках и N соответственно, а биссектриса угла B пересекает те же две биссектрисы в точках L и K, причём точка K лежит на основании а) В каком отношении прямая LN делит сторону AB, а прямая — сторону б) Найдите отношение MN : KL, если LM : KN = 3 : 7. . ∗ . Из точки A проведены к окружности две касательные (M и — точки касания) и секущая, пересекающая эту окружность в точках и C, а хорду MN — в точке P. Известно, что AB : BC = 2 : 3. Найдите Задачи на доказательство и вычисление. В параллелограмме ABCD точка M — середина стороны AD, P — точка пересечения отрезка BM с диагональю а) Докажите, что прямая DP проходит через середину стороны б) Биссектриса угла BAC пересекает отрезок BM в точке Q. Найдите отношение PM : BQ, если AB : AC = 1 : 3. § . Отношение отрезков. В параллелограмме ABCD точка P — середина стороны AB, M — точка пересечения отрезка DP с диагональю AC, а N — точка пересечения отрезка CP с диагональю а) Докажите, чтоб) Биссектриса угла ADP пересекает диагональ AC в точке Q. Найдите отношение AQ : QM, если AD : DP = 1 : 3. ... На катете BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C и с углом при вершине A вне треугольника построен равносторонний треугольник BCD. Прямая AD пересекает сторону BC в точке а) Докажите, чтоб) Прямая, проходящая через точку K перпендикулярно CD, пересекает гипотенузу AB в точке M. Найдите отношение AM : MB. ... На гипотенузе AB прямоугольного треугольника ABC с углом при вершине B вне треугольника построен равносторонний треугольник ABD. Прямая CD пересекает гипотенузу AB в точке а) Докажите, чтоб) Прямая, проходящая через точку K перпендикулярно AD, пересекает катет BC в точке M. Найдите отношение CM : MB. ... Биссектриса AD треугольника ABC делит его медиану BM пополам. а) Докажите, что площадь треугольника ACD вдвое больше площади треугольника б) В каком отношении медиана BM делит биссектрису AD? ... Точка M лежит на стороне BC треугольника ABC, причём CM : MB = 1 : 2. Биссектриса CK перпендикулярна прямой а) Докажите, что площадь треугольника ACK втрое меньше площади треугольника б) В каком отношении прямая AM делит биссектрису CK? ... На основаниях AD и BC трапеции ABCD отмечены точки и N соответственно, а на боковых сторонах AB и CD — точки K и L соответственно. При этом DM : AM = CN : BN = BK : AK = CL : LD = 1 : а) Докажите, что четырёхугольник KMLN — трапеция. б) Известно, что AD = 3BC. В каком отношении диагональ BD трапеции делит боковые стороны трапеции KMLN? ... На основаниях KN и LM трапеции KLMN отмечены точки и B соответственно, а на боковых сторонах KL и MN — точки C и соответственно. При этом KA : AN = KC : CL = LB : BM = ND : DM = 1 : а) Докажите, что четырёхугольник ACBD — трапеция Задачи на доказательство и вычисление б) Известно, что KN = 2LM. В каком отношении диагональ LN трапеции делит боковые стороны трапеции ACBD? ... На сторонах AD и BC параллелограмма ABCD взяты соответственно точки M и N, причём M — середина AD, а BN : NC = 1 : а) Докажите, что прямые AN и AC делят отрезок BM натри равные части. б) Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечениями прямых AN, AC, BD и BC, если площадь параллелограмма равна 40. ... Точки M и N — середины сторон соответственно AB и параллелограмма а) Докажите, что прямые DM и BN делят диагональна три равные части. б) Найдите площадь четырёхугольника, образованного пересечениями прямых BD, BN, AC и CD, если площадь параллелограмма равна 36. ... Через точку пересечения O диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основанию и пересекающая боковые стороны в точках M и а) Докажите, что O — середина отрезка б) Найдите основания, если одно из них втрое больше другого, а = 6. ... Через точку пересечения O диагоналей трапеции проведена прямая, параллельная основаниями и пересекающая боковые стороны в точках M и а) Докажите, что прямая, проходящая через вершину C и середину основания AD, делит отрезок MN в отношении 1 : б) Найдите основания, если одно из них вдвое больше другого, а = 16. ... Точка пересечения биссектрис углов при большем основании трапеции лежит на меньшем основании. а) Докажите, что меньшее основание равно сумме боковых сто- рон. б) Найдите углы трапеции, если отношение оснований трапеции равно 3 : 2, а отношение боковых сторон равно 5 : 3. ... Биссектриса угла C трапеции ABCD пересекает основание в точке а) Докажите, что биссектриса угла D проходит через середину отрезка. Отношение отрезков б) Найдите отношение BC : AD, если AD ⊥ AB, AM : MD = 1 : 2, AB : CD = 4 : 5. ... Вневписанная окружность равнобедренного треугольника касается его боковой стороны. а) Докажите, что радиус этой окружности равен высоте треугольника, опущенной на основание. б) Известно, что радиус этой окружности в пять раз больше радиуса вписанной окружности треугольника. В каком отношении точка касания вписанной окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону. Пусть O 1 — центр вписанной окружности равнобедренного треугольника ABC, а O 2 — центр вневписанной окружности, касающейся основания а) Докажите, что расстояние от середины отрезка до точки вдвое меньше б) Известно, что радиус первой окружности в пять раз меньше радиуса второй. В каком отношении точка касания первой окружности с боковой стороной треугольника делит эту сторону. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектриса угла ADC проходит через середину боковой стороны а) Докажите, что сумма оснований трапеции равна боковой стороне б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AB = 8, BC = 2 и CD = 10. ... Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Биссектриса угла BAD проходит через середину основания а) Докажите, что основание BC вдвое больше боковой стороны б) Найдите площадь трапеции ABCD, если AB = 4, CD = 4 p 3 и = 60 ◦ ... В треугольнике ABC точка D делит сторону AB пополам, а точка E лежит на стороне BC, причём отрезок BE в 3 раза меньше стороны BC. Отрезки AE и CD пересекаются в точке O, AE = 5, OC = а) Докажите, чтоб) Найдите сторону AB, если ∠AOC = 120 ◦ ... В треугольнике ABC точки M и K лежат на сторонах и AC соответственно, причём отрезок BM в 4 раза меньше стороны. Прямые BK и AM пересекаются в точке O — середине BK, CK = 4, OM = а) Докажите, что треугольник AMC равнобедренный. б) Найдите BK, если ∠OAC = 60 ◦ Задачи на доказательство и вычисление. На отрезке BD взята точка C. Биссектриса BL равнобедренного треугольника ABC с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника BLD с основанием а) Докажите, что треугольник DCL равнобедренный. б) Известно, что cos ∠ABC = 1 3 . В каком отношении прямая DL делит сторону AB? ... На отрезке CD взята точка B. Биссектриса CK треугольника с основанием BC является боковой стороной равнобедренного треугольника CKD с основанием CD, а BK = а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Известно, что ∠BAC = 2 arcsin 1 8 . В каком отношении прямая делит сторону AC? |