Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Касательная к окружности Решение задачи из диагностической работы. Из точки M, лежащей вне окружности с центром O и радиусом проведены касательные MA и MB (A и B — точки касания. Прямые и MB пересекаются в точке C. Найдите OC, если известно, что отрезок OM делится окружностью пополам. Ответ: Решение. Пусть K — точка пересечения окружности с отрезком. Тогда OM = 2OK = В прямоугольном треугольнике OAM катет OA вдвое меньше гипотенузы, значит, ∠AMO = 30 ◦ , атак как MO — биссектриса угла, то ∠AMC = 60 ◦ . Из прямоугольного треугольника MAC находим, что ∠ACM = 30 ◦ , значит, треугольник MOC равнобедренный. Следовательно, OC = OM = 2R. Ã * * В школьных учебниках встречаются два разных определения касательной к окружности. Первое прямая называется касательной § . Касательная к окружности к окружности, если прямая и окружность имеют единственную общую точку. Второе прямая называется касательной к окружности, если она проходит через точку, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу, проведённому в эту точку. Эти определения равносильны, те. если некоторая прямая касается окружности по одному из этих определений, то она касается окружности и по второму. Докажем это. Утверждение. Пусть прямая имеет с окружностью единственную общую точку. Тогда прямая перпендикулярна радиусу окружности, проведённому в эту точку. Д ока за тел ь ст во. Пусть прямая l имеет с окружностью единственную общую точку M. Допустим, что радиус OM окружности, проведённый в эту точку, не перпендикулярен прямой l. Тогда опустим перпендикуляр OH из центра окружности напрямую и на продолжении отрезка MH заточку отложим отрезок равный MH. Треугольник равнобедренный, так как его высота является медианой. Значит, OM 1 = OM, те. точка M 1 , не совпадающая сточкой, также лежит и на окружности, и на прямой. А это противоречит тому, что M — единственная общая точка прямой l и окружности. Следовательно, OM ⊥ l. Что и требовалось доказать. Утверждение. Пусть теперь прямая проходит через точку M, лежащую на окружности, и перпендикулярна радиусу OM, проведённому в эту точку. Тогда M — единственная общая точка прямой l и окруж- ности. Д ока за тел ь ст во. Предположим, что это не такте. что есть ещё хотя бы одна отличная от M общая точка прямой и окружности. Тогда OM 1 = OM, те. треугольник равнобедренный, что невозможно, поскольку один из углов при его основании равен 90 ◦ . Следовательно, M — единственная общая точка прямой и окружности, что и требовалось доказать. Равносильность определений доказана * При решении задач, связанных с касательной, чаще всего используются следующие простейшие свойства касательной. Если из точки M, не лежащей на окружности с центром O, проведены к окружности две касательные MA и MB (A и B — точки касания), то: ) MA = MB; ) MO — биссектриса угла AMB; Решение задачи из диагностической работы) прямая MO перпендикулярна отрезку AB и делит его пополам. A B M O Пример . Угол при вершине A треугольника ABC равен Окружность радиуса R касается стороны BC и продолжений сторон и AC. Найдите периметр треугольника Ответ Решение. Пусть O — центр окружности, D, E и F — точки касания с прямыми AB, BC и AC соответственно, 2p — периметр треугольника. Тогда AD = AF, BE = BD и CE = CF. Поэтому = AB + BC + AC = AB + (BE + EC) + AC = = (AB + BE) + (EC + AC) = (AB + BD) + (CF + AC) = AD + AF = 2AD. A B C D E F O § . Касательная к окружности Поскольку луч AO — биссектриса угла DAC, то ∠DAO = 60 ◦ . Из прямоугольного треугольника ADO находим, что AD = OD ctg 60 ◦ = R p 3 Следовательно, 2p = 2AD = 2R p 3 Пример . Даны окружности радиусов r и R (R > r). Расстояние между их центрами равно a (a > R + r). Найдите отрезки общих касательных, заключённые между точками касания. Ответ: p a 2 − (R + r) 2 , p a 2 − (R − Решение. Пусть и O 2 — центры окружностей радиусов r и R, A и B — соответственные точки касания окружностей с общей внешней касательной, C и D — с общей внутренней. Пусть P — основание перпендикуляра, опущенного из на Из прямоугольного треугольника находим, что = Æ O 1 O 2 2 − O 2 P 2 = p a 2 − (R − Пусть Q — основание перпендикуляра, опущенного из на продолжение. Из прямоугольного треугольника находим, что = Æ O 1 O 2 2 − O 2 Q 2 = p a 2 − (R + Следовательно = O 1 P = p a 2 − (R − r) 2 , CD = O 1 Q = p a 2 − (R + r) 2 Ã Подготовительные задачи Подготовительные задачи. В окружности проведён диаметр AB. Прямая, проходящая через точку A, пересекает в точке C касательную к окружности, про- ведённую через точку B. Отрезок AC делится окружностью пополам. Найдите угол BAC. .. Две прямые касаются окружности с центром O в точках A и и пересекаются в точке C. Найдите угол между этими прямыми, если ABO = 40 ◦ .. В большей из двух концентрических окружностей (имеющих общий центр) проведена хорда, равная 32 и касающаяся меньшей окружности. Найдите радиус каждой из окружностей, если ширина образовавшегося кольца равна 8. .. Две прямые, проходящие через точку M, лежащую вне окружности с центром O, касаются окружности в точках A и B. Отрезок делится окружностью пополам. В каком отношении отрезок OM делится прямой AB? .. Из одной точки проведены к окружности две касательные. Длина каждой касательной равна 12, а расстояние между точками касания равно 14,4. Найдите радиус окружности. Прямая, проходящая через точку M, удалённую от центра окружности радиуса 10 на расстояние, равное 26, касается окружности в точке A. Найдите AM. .. Окружности радиусов R и r (R > r) касаются некоторой прямой. Линия центров пересекает эту прямую под углом 30 ◦ . Найдите расстояние между центрами окружностей. Из точки M проведены касательные MA и MB к окружности и B — точки касания. Найдите радиус окружности, если ∠AMB = и AB = a. .. Окружность с центром O касается двух параллельных прямых. Проведена касательная к окружности, пересекающая эти прямые в точках A и B. Найдите угол AOB. .. На окружности радиуса r выбраны три точки таким образом, что окружность оказалась разделённой натри дуги, градусные меры которых относятся как 3 : 4 : 5. В точках деления к окружности проведены касательные. Найдите площадь треугольника, образованного этими касательными. Расстояния от концов диаметра окружности до некоторой касательной равны a и b. Найдите радиус окружности § . Касательная к окружности. В прямоугольном треугольнике точка касания вписанной окружности делит гипотенузу на отрезки, равные 5 и 12. Найдите катеты треугольника. Тренировочные задачи. Из точки M, лежащей вне окружности радиуса 1, проведены к окружности две взаимно перпендикулярные касательные MA и Между точками касания A и B на меньшей дуге AB взята произвольная точка C, и через неё проведена третья касательная KL, образующая с касательными MA и MB треугольник KLM. Найдите периметр этого треугольника. На основании равнобедренного треугольника, равном как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника. Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3. .. Радиусы двух окружностей равны 27 и 13, а расстояние между центрами равно 50. Найдите длины общих касательных к этим окружностям. Две окружности радиусов 4 и 3 с центрами в точках и касаются некоторой прямой в точках и соответственно и лежат по разные стороны от этой прямой. Отношение отрезков и равно. Найдите O 1 O 2 .. Две окружности радиусов 12 и 7 с центрами в точках и касаются некоторой прямой в точках и соответственно и лежат по одну сторону от этой прямой. Отношение отрезков и равно 5 . Найдите M 1 M 2 .. В прямоугольном треугольнике ABC катет AC равен 16 и катет равен 12. Построена окружность с центром B и радиусом и к ней проведена касательная, параллельная гипотенузе. Катет продолжен до пересечения с проведённой касательной. Определите, на какое расстояние продолжен катет. В прямоугольной трапеции меньшее основание равно высоте, а большее основание равно a. Найдите боковые стороны трапеции, если известно, что одна из них касается окружности, проходящей через концы меньшего основания и касающейся большего основания Тренировочные задачи. В треугольнике ABC известно, что BC = a, ∠A = α, ∠B = β Найдите радиус окружности, касающейся стороны AC в точке A и касающейся стороны BC. .. Дан треугольник со сторонами 10, 24 и 26. Две меньшие стороны являются касательными к окружности, центр которой лежит на большей стороне. Найдите радиус окружности. Найдите длину хорды, если дан радиус r окружности и расстояние от одного конца хорды до касательной, проведённой через другой её конец. Один из смежных углов с вершиной A вдвое больше другого. В эти углы вписаны окружности с центрами и O 2 . Найдите углы треугольника O 1 AO 2 , если отношение радиусов окружностей равно. В равнобедренной трапеции с острым углом при основании окружность, построенная на боковой стороне как на диаметре, касается другой боковой стороны. В каком отношении она делит большее основание трапеции. В окружности радиуса 4 проведены хорда AB и диаметр, образующий с хордой угол. В точке B проведена касательная к окружности, пересекающая продолжение диаметра AK в точке Найдите медиану AM треугольника ABC. .. На прямой, проходящей через центр O окружности радиуса, взяты точки A и B, причём OA = 15, AB = 5 и точка A лежит между O и B. Из точек A и B проведены касательные к окружности, точки касания которых лежат по одну сторону от прямой OB. Найдите площадь треугольника ABC, где C — точка пересечения этих касательных. В угол с вершиной A, равный 60 ◦ , вписана окружность сцен- тром O. К этой окружности проведена касательная, пересекающая стороны угла в точках B и C. Отрезок BC пересекается с отрезком в точке M. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник, если AM : MO = 2 : 3 и BC = 7. .. Через точку A окружности радиуса 10 проведены две взаимно перпендикулярные хорды AB и AC. Вычислите радиус окружности, касающейся данной окружности и построенных хорд, если AB = 16. § . Касательная к окружности Задачи на доказательство и вычисление. Общие внутренние касательные к двум окружностям перпендикулярны. Одна из них касается окружностей в точках A и вторая — в точках B и D точки A и B лежат на одной окружности). а) Докажите, что отрезок AC равен сумме радиусов окружностей. б) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если AB = 6, CD = 8. ... Общие внутренние касательные к двум окружностям пересекаются в точке O. Одна из них касается окружностей в точках E и вторая — в точках F и H точки F и G лежат на одной окружности), а ∠FOG = а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника EFGH, если FG = 5, EH = 3. ... Окружность с центром O, вписанная в треугольник касается сторон AB ив точках P и Q соответственно. а) Докажите, что в четырёхугольник BPOQ можно вписать окруж- ность. б) Найдите угол ABC, если радиус этой окружности вдвое меньше радиуса вписанной окружности треугольника ABC. ... Окружность с центром O, вписанная в треугольник касается сторон AB ив точках P и Q соответственно. а) Докажите, что около четырёхугольника BPOQ можно описать окружность. б) Найдите угол ABC, если радиус этой окружности равен радиусу вписанной окружности треугольника ABC. ... Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите радиус окружности, если расстояние между касательной и прямой AB равно 1 и ∠ACB = 150 ◦ ... Хорда AB окружности параллельна касательной, проходящей через точку C, лежащую на окружности. Прямая, проходящая через точку C и центр окружности, вторично пересекает окружность в точке а) Докажите, что треугольник ABD равнобедренный. б) Известно, что ∠ADB = 150 ◦ . В каком отношении хорда AB делит диаметр CD? ... В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Прямая l касается этой окружности и параллельна Задачи на доказательство и вычисление прямой AC. Расстояние от точки B до прямой l равно радиусу окруж- ности. а) Докажите, что треугольник ABC равносторонний. б) Найдите расстояние между точками, в которых данная окружность касается сторон AB и BC, если радиус окружности равен 3. ... В равнобедренный треугольник ABC (AB = BC) вписана окружность. Прямая касается этой окружности, параллельна прямой и пересекает стороны AB ив точках P и Q. Окружность касается стороны AB в точке а) Докажите, что периметр треугольника BPQ вдвое больше отрезка б) Найдите периметр треугольника ABC, если радиус окружности равен 3, а расстояние от центра окружности до вершины B равно 5. ... Через центр O окружности, вписанной в треугольник провели прямую MN параллельно стороне AB (M лежит на BC, N лежит на а) Докажите, что площади треугольников AON и BOM пропорциональны отрезками б) Найдите периметр четырёхугольника ABMN, если AB = 5, MN = = 3. ... Через центр O окружности, вписанной в треугольник провели прямую AB параллельно стороне LM (A лежит на KL, B лежит на а) Докажите, что площади треугольников AOK и BOK пропорциональны отрезками б) Найдите периметр четырёхугольника ABML, если его площадь составляет площади треугольника KLM, а разность периметров треугольников KLM и AKB равна 24. ... Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD; E и K — точки касания этой окружности с боковыми сторонами AD и соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите площадь трапеции ABKE, если радиус окружности равен, а ∠BAD = 60 ◦ ... Около окружности описана равнобедренная трапеция ABCD; E и F — точки касания этой окружности с боковыми сторонами AB и соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите площадь трапеции BCFE, если BC = 2, AD = 18. § . Касательная к окружности. Окружность с центром O касается боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны и продолжения основания BC в точке N. Точка M — середина основания а) Докажите, чтоб) Найдите OM, если стороны треугольника ABC равны 10, и 12. ... Окружность с центром O касается боковой стороны AB равнобедренного треугольника ABC, продолжения боковой стороны и продолжения основания BC в точке N. Точка M — середина основания а) Докажите, чтоб) Найдите OC, если стороны треугольника ABC равны 5, 5 и 8. ... Окружность с центром O, вписанная в треугольник касается стороны BC в точке M. Окружность с центром касается стороны BC в точке N, а также касается продолжений сторон AC и а) Докажите, что около четырёхугольника можно описать окружность. б) Найдите площади четырёхугольников и NOMO 1 , если = 6, BC = 8, AB = 10. ... Окружность с центром O, вписанная в треугольник касается стороны BC в точке M. Окружность с центром касается стороны BC в точке N, а также касается продолжений сторон AC и а) Докажите, чтоб) Найдите OO 1 , если AC = 10, BC = 24, AB = 26. ... Сторона CD прямоугольника ABCD касается некоторой окружности в точке M. Продолжение стороны AD последовательно пересекает окружность в точках P и Q, прямая BC касается окружности, а точка Q лежит на прямой а) Докажите, чтоб) Известно, что CM = 5 и CD = 8. Найдите сторону AD. ... Сторона MN прямоугольника KLMN касается некоторой окружности в точке A. Продолжение стороны KN последовательно пересекает окружность в точках B и C, прямая LM касается окружности, а точка C лежит на прямой а) Докажите, что треугольники ABN и LAM подобны. б) Известно, что AM = 13 и KL = 25. Найдите сторону KN. ... Точки M и N — середины сторон соответственно AB и треугольника ABC. Прямая, проходящая через вершину A, пересекает Задачи на доказательство и вычисление отрезки MN ив точках K и L соответственно, причём в четырёх- угольник BMKL можно вписать окружность. а) Докажите, что периметр треугольника AMK вдвое больше отрезка б) Найдите AL, если AB = 12, BC = 16, AC = 20. ... Точки M и N — середины сторон соответственно AB и треугольника ABC. Прямая, проходящая через вершину A, пересекает отрезки MN ив точках K и L соответственно, причём в четырёх- угольник BMKL можно вписать окружность. а) Докажите, что периметр треугольника ABL в четыре раза больше отрезка б) Найдите этот периметр, если AB = 20, AC = 34, BC = 42. |