Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Трапеция Решение задачи из диагностической работы. Найдите площадь трапеции с основаниями 18 и 13 и боковыми сторонами 3 и Ответ Решение. Через вершину C меньшего основания BC трапеции (BC = 13, AD = 18, AB = 4, CD = 3) проведём прямую, параллельную боковой стороне AB, до пересечения с основанием AD в точке. Тогда CK = AB = 4, DK = AD − AK = AD − BC = 18 − 13 = 5, CD = 3. A B C D K 3 4 4 5 13 Треугольник KCD прямоугольный, так как KD 2 = CD 2 + CK 2 . Его высота, опущенная на гипотенузу, равна 4 5 = 12 5 . Следовательно + 13 2 · 12 5 = 37,2. Ã * * При решении задач на трапецию во многих случаях полезны дополнительные построения, связанные с параллельным переносом боковой стороны или диагонали. Пример . Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны и 8, а основания — 3 и Ответ Решение. Через вершину C меньшего основания BC трапеции (BC = 3, AD = 6, BD = 8, AC = 7) проведём прямую, параллель 3 6 7 8 Решение задачи из диагностической работы ную диагонали BD, до пересечения с прямой AD в точке K. Найдём стороны треугольника ACK: AC = 7, CK = BD = 8, AK = AD + DK = AD + BC = 6 + 3 = По формуле Герона S ∆ ACK = p 12 · 5 · 4 · 3 = 6 · 2 p 5 = атак как треугольники CDK и ABC равновелики, получаем * При решении задач, связанных с равнобедренной трапецией, кроме общеизвестных свойств и признаков (углы при основании равны, диагонали равны и образуют равные углы с основанием и т. д) иногда полезно применить следующее свойство проекция боковой стороны равнобедренной трапеции на основание равна полуразности оснований, а проекция диагонали — полусумме. Пример . Трапеция ABCD с основаниями AD и BC (AD > вписана в окружность с центром O. Известно, что sin ∠AOB = 3 а средняя линия трапеции равна a. Найдите высоту трапеции. Ответ: 3a или Решение. Трапеция ABCD вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Обозначим ∠AOB = α. Поскольку AOB — центральный угол окружности, а ADB — вписанный ADB = 1 2 ∠ AOB Пусть BH — высота трапеции. Тогда DH = AD + BC 2 , те. катет прямоугольного треугольника BHD равен средней линии трапеции. Следовательно, BH = DH tg α 2 = a По условию задачи sin α = 3 5 , поэтому cos α = p 1 − sin 2 α = Ç 1 − 3 5 2 = 4 или cos α = − p 1 − sin 2 α = − 4 5 § . Трапеция A B C D H O a α α/2 Тогда tg α 2 = sin α 1 + cos α = 3 5 1 + 4 5 = 1 или tg α 2 = sin α 1 + cos α = 3 5 1 − 4 Следовательно, BD = a tg α 2 = 1 3 a или BD = Отметим ещё одно важное свойство трапеции. Иногда эту теорему называют замечательным свойством трапе- ции. Теорема. Точка пересечения диагоналей любой трапеции, точка пересечения продолжений боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой. Д ока за тел ь ст в о. Пусть диагонали AC и BD трапеции пересекаются в точке P, а продолжения боковых сторон ив точке Q. A B C D M N P Подготовительные задачи Через середину M основания BC и точку P проведём прямую. Пусть она пересекает основание AD в точке N. Тогда треугольник подобен треугольнику DNP, а треугольник CMP — треугольнику, причём в обоих случаях коэффициент подобия равен. Значит, атак как BM = CM, тот. е — середина основания AD. Следовательно, отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения диагоналей. A B C D M N Q Аналогично докажем, что прямая, проведённая через середины оснований трапеции, проходит через точку пересечения Q продолжений боковых сторон. Следовательно, точки P, Q и середины оснований трапеции лежат на одной прямой, что и требовалось доказать. Подготовительные задачи. Найдите площадь трапеции, параллельные стороны которой равны 16 и 44, а непараллельные — 17 и 25. .. Найдите площадь трапеции с основаниями 11 и 4 и диагоналями и 12. .. В равнобедренной трапеции основания равны 40 и 24, а её диагонали взаимно перпендикулярны. Найдите площадь трапеции. Диагонали равнобедренной трапеции перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если её средняя линия равна 5. .. Трапеция с основаниями 14 и 40 вписана в окружность радиуса. Найдите высоту трапеции § . Трапеция. Диагональ равнобедренной трапеции равна 10 и образует угол с основанием трапеции. Найдите среднюю линию трапеции. Окружность с центром O вписана в трапецию с боковой стороной. Найдите угол AOB. .. Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна а большая образует угол с одним из оснований. Найдите это основание, если на нём лежит точка пересечения биссектрис углов при другом основании. Основания трапеции равны 1 и 6, а диагонали — 3 и 5. Под каким углом видны основания из точки пересечения диагоналей. Основания трапеции равны a и b (a > b). Найдите длину отрезка, соединяющего середины диагоналей трапеции. Основания равнобедренной трапеции равны a и b (a > b), острый угол равен 45 ◦ . Найдите площадь трапеции. Тренировочные задачи. В трапеции ABCD углы A и D при основании AD соответственно равны и 90 ◦ . Точка N лежит на основании BC, причём BN : BC = 2 : 3. Точка M лежит на основании AD, прямая MN параллельна боковой стороне AB и делит площадь трапеции пополам. Найдите. Площадь равнобедренной трапеции, описанной около окружности, равна S. Найдите среднюю линию трапеции, если острый угол при её основании равен. Окружность, вписанная в трапецию, касается одной из боковых сторон в точке, делящей её на отрезки, равные a и b. Найдите радиус окружности. В прямоугольную трапецию вписана окружность радиуса Найдите стороны трапеции, если её меньшее основание равно 3 R. .. Боковая сторона равнобедренной трапеции равна a, средняя линия равна b, а углы при большем основании равны 30 ◦ . Найдите радиус окружности, описанной около трапеции. Основания трапеции равны 4 и 16. Найдите радиусы окружностей, вписанной в трапецию и описанной около не, если известно, что эти окружности существуют. Окружность вписана в равнобедренную трапецию с основаниями и b. Найдите диагональ трапеции Тренировочные задачи. Известно, что высота трапеции равна 15, а диагонали трапеции равны 17 и 113. Чему равна площадь трапеции. Боковые стороны трапеции лежат на перпендикулярных прямых. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в серединах диагоналей и серединах оснований трапеции, если её боковые стороны равны a и b. .. Найдите диагональ и боковую сторону равнобедренной трапеции с основаниями 20 и 12, если известно, что центре описанной окружности лежит на большем основании. Трапеция с высотой h вписана в окружность. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под углом 120 ◦ . Найдите среднюю линию трапеции. Площадь равнобедренной трапеции равна p 3. Угол между диагональю и основанием на больше угла между диагональю ибо- ковой стороной. Найдите острый угол трапеции, если её диагональ равна 2. .. Биссектрисы тупых углов при основании трапеции пересекаются на другом её основании. Найдите стороны трапеции, если её высота равна 12, а длины биссектрис равны 15 и 13. .. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с центром O, ∠BOA = ∠COD = 60 ◦ . Перпендикуляр BK, опущенный из вершины на сторону AD, равен 6; BC в три раза меньше AD. Найдите площадь треугольника COD. .. Дана трапеция ABCD с основаниями AD = 3 p 39 и BC Кроме того, дано, что угол BAD равен 30 ◦ , а угол ADC равен 60 ◦ . Через точку D проходит прямая, делящая трапецию на две равновеликие фигуры. Найдите длину отрезка этой прямой, находящегося внутри трапеции. Отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, равен. Углы при большем основании трапеции равны и 60 ◦ . Найдите высоту трапеции. В трапеции ABCD известны боковые стороны AB = 27, CD = = 28, основание BC = 5 и cos ∠BCD = − 2 7 . Найдите диагональ AC. .. Основание AB трапеции ABCD вдвое больше основания и вдвое больше боковой стороны AD. Диагональ AC равна a, а боковая сторона BC равна b. Найдите площадь трапеции. Трапеция ABCD разделена прямой, параллельной её основаниями, на две равновеликие трапеции. Найдите отрезок этой § . Трапеция прямой, заключённый между боковыми сторонами, если основания трапеции равны a и b. .. В трапеции ABCD (AD k BC) угол ADB в два раза меньше угла. Известно, что BC = AC = 5 и AD = 6. Найдите площадь трапеции. Дана трапеция ABCD, диагонали AC и BD которой пересекаются под прямым углом, а продолжения боковых сторон AB и пересекаются в точке K под углом 30 ◦ . Известно, что ∠BAC = а площадь трапеции равна S. Найдите площадь треугольника AKD. .. Окружность, построенная на основании AD трапеции как на диаметре, проходит через середины боковых сторон AB и трапеции и касается основания BC. Найдите углы трапеции. Окружность, построенная на основании BC трапеции как на диаметре, проходит через середины диагоналей AC и BD трапеции и касается основания AD. Найдите углы трапеции. Диагональ BD трапеции ABCD равна m, а боковая сторона равна n. Найдите основание CD, если известно, что основание, диагональ и боковая сторона трапеции, выходящие из вершины равны между собой. Дана равнобедренная трапеция, в которую вписана окружность и около которой описана окружность. Отношение высоты трапеции к радиусу описанной окружности равно q 2 3 . Найдите углы трапеции. На боковых сторонах AB и CD трапеции ABCD взяты точки и Q соответственно, причём AP : PB = 2 : 3. Отрезок PQ разбивает трапецию на части, одна из которых по площади втрое больше другой. Найдите отношение CQ : QD, если AD = 2BC. . ∗ . Около окружности описана трапеция ABCD, боковая сторона перпендикулярна основаниям, M — точка пересечения диагоналей трапеции. Площадь треугольника CMD равна S. Найдите радиус окружности. Задачи на доказательство и вычисление. Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию с боковой стороной а) Докажите, что треугольник AOB прямоугольный. б) Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 2, а точка касания делит боковую сторону трапеции в отношении 1 : 4. Задачи на доказательство и вычисление. Окружность с центром O вписана в равнобедренную трапецию с боковой стороной AB. Прямые AO и BC пересекаются в точке а) Докажите, что O — середина б) Найдите радиус окружности, если AB = 30, BO = 3 p 10. ... Через вершину B трапеции ABCD с основаниями AD и проведена прямая, параллельная диагонали AC. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD в точке а) Докажите, что треугольник DBE равновелик трапеции б) Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 10 и а средняя линия равна 13. ... Через вершину B трапеции ABCD с основаниями AD и проведена прямая, параллельная диагонали AC. Пусть эта прямая пересекается с продолжением основания AD в точке а) Докажите, что медиана BK треугольника DBE равна отрезку, соединяющему середины оснований трапеции. б) Найдите площадь трапеции, если её диагонали равны 16 и а отрезок, соединяющий середины оснований, равен 17. ... Боковая сторона CD трапеции ABCD равна основанию а) Докажите, что CA — биссектриса угла б) Прямая, проходящая через вершину C перпендикулярно пересекает боковую сторону AB в точке M. Найдите отношение : AM, если AD = CD = 2BC и ∠ADC = 60 ◦ ... Диагональ AC трапеции ABCD с основаниями BC и AD является биссектрисой угла а) Докажите, чтоб) Прямая, проходящая через вершину D перпендикулярно пересекает боковую сторону AB в точке M. Найдите отношение : AM, если AD = 2BC. ... Прямая, параллельная основаниями трапеции, пересекает боковые стороны AB ив точках M и N соответственно, а диагонали AC ив точках K и L соответственно, причём точка K лежит между M и а) Докажите, чтоб) Найдите MN, если BC = a, AD = b и MK : KL : LN = 1 : 2 : 1. ... Прямая, параллельная основаниями трапеции, пересекает боковые стороны AB ив точках M и N соответственно, а диагонали AC ив точках K и L соответственно, причём точка K лежит между M и а) Докажите, чтоб) Найдите MN, если BC = 2, AD = 3 и MK : KL : LN = 3 : 1 : 3. § . Трапеция. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и вписана окружность, CH — высота трапеции. а) Докажите, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке б) Найдите диагональ AC, если средняя линия трапеции равна, а ∠AOD = 120 ◦ , где O — центр окружности, вписанной в трапецию, а AD — большее основание. В равнобедренную трапецию ABCD с основаниями AD и вписана окружность с центром O, CH — высота трапеции. а) Докажите, что треугольник ABH равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника ACH, если боковая сторона трапеции равна 2, ∠BOC = 60 ◦ , а BC — меньшее основание. Точки L и N — середины оснований BC и AD трапеции соответственно, а точки K и M — середины диагоналей AC и соответственно. Известно, что KM = а) Докажите, что сумма углов при одном из оснований трапеции равна б) Найдите высоту трапеции, если площадь четырёхугольника KLMN равна 12, а разность оснований трапеции равна 10. ... Точки L и N — середины оснований соответственно BC и трапеции ABCD, а точки K и M — середины диагоналей AC и соответственно. Известно, что прямые AB и CD перпендикулярны. а) Докажите, чтоб) Найдите высоту трапеции, если площадь четырёхугольника KLMN равна 60, а разность оснований трапеции равна 26. ... Окружность, проходящая через вершины A, B и C трапеции с основаниями AD и BC, вторично пересекает прямую AD в точке а) Докажите, чтоб) Найдите AC, если AD = 16, CD = 8 p 3 и ∠AMB = 60 ◦ ... Окружность, проходящая через вершины K, P, M трапеции с основаниями MP и KH, вторично пересекает прямую в точке а) Докажите, чтоб) Найдите KH, если MH = 7 p 2, PE = 14 и ∠PEK = 45 ◦ ... Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность. а) Докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равна боковой стороне Задачи на доказательство и вычисление б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, если основания трапеции равны 3 и 27. ... Дана трапеция, в которую можно вписать окружность и около которой можно описать окружность. а) Докажите, что проекция диагонали этой трапеции на большее основание равна полусумме оснований. б) Найдите расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей, если диагональ трапеции равна p 41, а большее основание равно 8. ... Диагональ BD трапеции ABCD (AD k BC) разбиваете на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и а) Докажите, что луч AC — биссектриса угла б) Найдите CD, если известны диагонали трапеции BD = 5 и = 8. ... В трапеции ABCD (AD k BC) угол ADB в два раза меньше угла ACB и BC = а) Докажите, что точки A, B и D лежат на окружности с центром б) Найдите площадь трапеции, если BC = 5 и AD = 6. ... Окружность с центром вписана в прямоугольную трапецию с прямым углом при вершине A. Окружность с центром касается большей боковой стороны CD и продолжений оснований трапеции. а) Докажите, что O 1 CO 2 D — прямоугольник. б) Найдите площадь этого прямоугольника, если точка касания вписанной в трапецию окружности делит меньшее основание на отрезки и CM = 4. ... Окружность с центром вписана в равнобедренную трапецию с основаниями BC и AD. Окружность с центром касается боковой стороны CD и продолжений оснований трапеции. а) Докажите, что O 1 CO 2 D — прямоугольник. б) Найдите площадь этого прямоугольника, если BC = 6 и AD = 24. ... В окружность вписаны две трапеции. Основания и боковые стороны одной из них соответственно параллельны основаниями боковым сторонам другой. а) Докажите, что диагонали одной трапеции равны диагоналям другой. б) Найдите отношение площадей этих трапеций, если известно, что боковая сторона одной из них равна радиусу окружности, а боковая сторона другой в два раза меньше § . Трапеция. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Точки M и лежат на сторонах AB и CD соответственно, причём отрезок параллелен основаниям трапеции. Диагональ AC пересекает этот отрезок в точке O. Известно, что площади треугольников AMO и CNO равны. а) Докажите, чтоб) Найдите MN, если AD = a и BC = b. |