Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Пропорциональные отрезки в окружности Решение задачи из диагностической работы. На продолжении диаметра AB окружности отложен отрезок равный диаметру. Прямая, проходящая через точку C, касается окружности в точке M. Найдите площадь треугольника ACM, если радиус окружности равен Ответ Решение. Пусть O — центр окружности. Тогда OM ⊥ CM. В прямоугольном треугольнике OMC известно, что OM = R и OC = OB + + BC = R + 2R = 3R. Тогда = p OC 2 −OM 2 = p 9R 2 −R 2 = 2R p 2, sin ∠OCM = OM OC = R 3R = 1 Следовательно 2 AC · CM · sin ∠ACM = 1 2 · 4R · 2R p 2 · 1 3 = 4 3 R 2 p 2. Ã * * Этот раздел посвящен теореме о произведении отрезков пересекающихся хорд окружности, теореме о касательной и секущей, а также важному следствию из этих теорем. Теорема. Произведения отрезков пересекающихся хорд окружности равны, те. если хорды AB и CD окружности пересекаются в точке M, то AM · MB = CM · MD. A B C D M § . Пропорциональные отрезки в окружности Теорема о касательной и секущей. Если из точки, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной, те. если точка M расположена вне окружности, прямая, проходящая через точку M, касается окружности в точке а вторая прямая, проходящая через точку M, пересекает окружность в точках A и B, то MC 2 = MA · Следствие. Для данной точки M, данной окружности и любой прямой, проходящей через точку M и пересекающей окружность в точках A и B, произведение MA · MB одно и то же. Пример . Расстояние от точки P до центра окружности радиуса равно 7. Через точку P проведена хорда, равная 18. Найдите отрезки, на которые делится хорда точкой Ответ 12 и Решение. Пусть O — центр окружности, AB — данная хорда. Проведём диаметр CD, содержащий точку P (P между O и D). Обозначим. Тогда = 18 − x, DP = OD − OP = 11 − 7 = 4; PC = OP + OC = 7 + 11 = 18. A B C D O P 11 4 7 x 18 − Из теоремы о пересекающихся хордах получаем AP · PB = PD · PC, или x)x =4·18. Из этого уравнения находим, что x =12 или x =6. Ã Решение задачи из диагностической работы Пример . Из точки A, лежащей вне окружности, проведены к окружности касательная и секущая. Расстояние от точки A до точки касания равно 16, а расстояние от точки A до одной из точек пересечения секущей с окружностью равно 32. Найдите радиус окружности, если расстояние от её центра до секущей равно Ответ Решение. Пусть секущая пересекает окружность в точках B и а M — точка касания. Тогда AM = 16, AC = 32, AB + BC = 32. По теореме о касательной и секущей AM 2 = AC · AB, или 16 2 = 32(32 − Отсюда находим, что BC = 24. A B C K M O 5 8 12 12 Пусть K — проекция центра O данной окружности на хорду Радиус окружности находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника OKB: R = OB = p OK 2 + BK 2 = p 25 + 144 = Пример . Докажите, что прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей, делит пополам общую касательную к ним. Д ока за тел ь ст во. Пусть A и B — точки пересечения двух окружностей, MN — общая касательная (M и N — точки касания — точка пересечения прямых AB и MN (A лежит между K и Тогда MK 2 = KB · KA и NK 2 = KB · KA. Следовательно, MK = NK. § . Пропорциональные отрезки в окружности Подготовительные задачи. Точка M внутри окружности делит хорду этой окружности на отрезки, равные a и b. Через точку M проведена хорда AB, делящаяся точкой M пополам. Найдите AB. .. Диагонали вписанного четырёхугольника ABCD пересекаются в точке K. Известно, что AB = a, BK = b, AK = c, CD = d. Найдите AC. .. Из точки, расположенной вне окружности на расстоянии от центра, проведена секущая, внутренняя часть которой вдвое меньше внешней и равна радиусу окружности. Найдите радиус окружности. Через точку M проведены две прямые. Одна из них касается некоторой окружности в точке A, а вторая пересекает эту окружность в точках B и C, причём BC = 7 и BM = 9. Найдите AM. .. Из точки A проведены два луча, пересекающие данную окружность один — в точках B и C, другой — в точках D и E. Известно, что AB = 7, BC = 7, AD = 10. Найдите DE. .. Точка M удалена от центра окружности радиуса R на расстояние. Прямая, проходящая через точку M, пересекает окружность в точках A и B. Найдите произведение AM · BM. .. В квадрат ABCD со стороной a вписана окружность, которая касается стороны CD в точке E. Найдите хорду, соединяющую точки, в которых окружность пересекается с прямой AE. .. В прямоугольном треугольнике ABC угол A прямой, катет равен a, радиус вписанной окружности равен r. Вписанная окружность касается катета AC в точке D. Найдите хорду, соединяющую точки пересечения окружности с прямой BD. .. На боковой стороне равнобедренного треугольника как на диаметре построена окружность, делящая вторую боковую сторону на отрезки, равные a и b. Найдите основание треугольника. В окружности с центром O проведены хорды AB и CD, пересекающиеся в точке M, причём AM = 4, MB = 1, CM = 2. Найдите угол Тренировочные задачи. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, причём является диаметром окружности. Диагонали AC и BD пересекаются в точке M. Известно, что BC = 3, CM = 3 4 , а площадь треугольника втрое больше площади треугольника ACD. Найдите AM. Тренировочные задачи. Через вершины B и C треугольника ABC проведена окружность, которая пересекает сторону AB в точке K, а сторону AC в точке E. Найдите AE, зная, что AK = KB = a, ∠BCK = α, ∠CBE = β . .. Окружность, построенная на стороне AC треугольника как на диаметре, проходит через середину стороны BC и пересекает в точке D продолжение стороны AB заточку, причём AD = 2 Найдите площадь треугольника ABC, если AC = 1. .. Каждая из боковых сторон AB и BC равнобедренного треугольника разделена натри равные части, и через четыре точки деления на этих сторонах проведена окружность, высекающая на основании AC хорду DE. Найдите отношение площадей треугольников и BDE, если AB = BC = 3 и AC = 4. .. Окружность, диаметр которой равен p 10, проходит через соседние вершины A и B прямоугольника ABCD. Длина касательной, проведённой из точки C к окружности, равна 3, AB = 1. Найдите сторону. Окружность проходит через соседние вершины M и N прямоугольника. Длина касательной, проведённой из точки к окружности, равна 1, PQ = 2. Найдите площадь прямоугольника, если диаметр окружности равен p 5. .. Точки A, B, C, D — последовательные вершины прямоугольника. Окружность проходит через вершины A и B и касается стороны. Через вершину D проведена прямая, которая касается той же окружности в точке E, а затем пересекает продолжение стороны в точке K. Найдите площадь трапеции BCDK, если известно, что = 10 и KE : KA = 3 : 2. .. Найдите радиус окружности, которая высекает на обеих сторонах угла, равного, хорды, равные a, если известно, что расстояние между ближайшими концами этих хорд равно b. .. Сторона квадрата ABCD равна 1 и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны квадрата лежат вне этой окружности. Касательная CK, проведённая из вершины C к этой же окружности, равна 2. Найдите диаметр окружности. В прямоугольном треугольнике ABC с катетами AB = и BC = 4 через середины сторон AB и AC проведена окружность, касающаяся катета BC. Найдите длину отрезка гипотенузы AC, который лежит внутри этой окружности. В треугольнике ABC сторона BC равна 4, а медиана, про- ведённая к этой стороне, равна 3. Найдите длину общей хорды двух § . Пропорциональные отрезки в окружности окружностей, каждая из которых проходит через точку A и касается, причём одна касается BC в точке B, а вторая — в точке C. .. Окружность, проходящая через вершины B, C и D параллелограмма, касается прямой AD и пересекает прямую AB в точках и E. Найдите AE, если AD = 4 и CE = 5. .. Из точки A, находящейся на расстоянии 5 от центра окружности радиуса 3, проведены две секущие AKC и ALB, угол между которыми равен 30 ◦ (K, C, L, B — точки пересечения секущих с окружностью. Найдите площадь треугольника AKL, если площадь треугольника равна 10. .. На прямой расположены точки A, B, C и D, следующие друг за другом в указанном порядке. Известно, что BC = 3, AB = 2CD. Через точки A и C проведена некоторая окружность, а через точки B и D другая. Их общая хорда пересекает отрезок BC в точке K. Найдите BK. .. В равнобедренном треугольнике ABC (AB = AC) проведены биссектрисы AD, BE, CF. Найдите BC, если известно, что AC = 1, а вершина лежит на окружности, проходящей через точки D, E и F. .. Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника и проходит через вершину C. Сторону DC она пересекает в точке N. Найдите площадь трапеции ABND, если AB = 9 и AD = 8. .. На одной из сторон угла, равного (α < 90 ◦ ), с вершиной в точке O взяты точки A и B, причём OA = a, OB = b. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A и B и касающейся другой стороны угла. На катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность. Она пересекает гипотенузу AB в точке. На стороне BC взята точка G так, что отрезок AG пересекает окружность в точке F, причём отрезки EF и AC параллельны = 2CG и AC = 2 p 3. Найдите GF. .. В параллелограмме ABCD угол BCD равен 150 ◦ , а сторона равна 8. Найдите радиус окружности, касающейся прямой и проходящей через вершину A, а также пересекающей сторону на расстоянии 2 от точки D. .. Окружность и прямая касаются в точке M. Из точек A и этой окружности опущены перпендикуляры напрямую, равные a и соответственно. Найдите расстояние от точки M до прямой AB. .. Окружность, вписанная в треугольник ABC, делит медиану натри равные части. Найдите отношение BC : CA : AB. Задачи на доказательство и вычисление. Две окружности радиусов R и r пересекаются в точках A и и касаются прямой в точках C и D соответственно N — точка пересечения прямых AB и CD (B между A и N). Найдите) радиус окружности, описанной около треугольника ACD; ) отношение высот треугольников NAC и NAD, опущенных из вершины. Равнобедренная трапеция с основаниями AD и BC (AD > описана около окружности, которая касается стороны CD в точке Отрезок AM пересекает окружность в точке N. Найдите отношение к BC, если AN : NM = k. . ∗ . В трапеции ABCD с основаниями AD и BC угол A равен угол D равен 60 ◦ . На диагоналях трапеции как на диаметрах построены окружности, пересекающиеся в точках M и N. Хорда MN пересекает основание AD в точке E. Найдите отношение AE : Задачи на доказательство и вычисление. Точка M — середина гипотенузы AB прямоугольного треугольника. На отрезке CM как на диаметре построена окруж- ность. а) Докажите, что она проходит через середины катетов. б) AP и BQ — касательные к этой окружности (P и Q — точки касания. Найдите отношение AP : BQ, если tg ∠ABC = 2. ... Точка M — середина катета AC прямоугольного треугольника. На отрезке BM как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке E, отличной от B. Касательная, проведённая к окружности из точки A, параллельна BM и пересекает в точке D продолжение катета BC за вершину а) Докажите, чтоб) Найдите острые углы треугольника ABC. ... В прямоугольном треугольнике ABC с гипотенузой AB проведены медианы AM и BN. Около четырёхугольника ABMN можно описать окружность. а) Докажите, что треугольник ABC равнобедренный. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольни- ка ABMN, если AB = 4 p 5. ... В прямоугольном треугольнике ABC через середины гипотенузы и катета AC проведена окружность, касающаяся катета в точке а) Докажите, что BK = 3CK. § . Пропорциональные отрезки в окружности б) Найдите отрезок гипотенузы, который лежит внутри этой окружности, если AB = 50 и BC = 40. ... Отрезок CD — биссектриса треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки C и D, касается стороны AB и пересекает стороны AC ив точках M и N соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите MN, если AD = 2, BD = 4 и AM = 1. ... Отрезок CD — биссектриса треугольника ABC. Окружность, проходящая через точки C и D, касается стороны AB и пересекает стороны AC ив точках M и N соответственно. а) Докажите, чтоб) Найдите AB, если AM = 1, CM = 3 и BN = 2. ... Из точки A проведены секущая и касательная к окружности радиуса R. Пусть B — точка касания, аи точки пересечения секущей с окружностью, причём точка D лежит между A и Известно, что BD — биссектриса угла B треугольника ABC и её длина равна а) Докажите, что треугольник ABC прямоугольный. б) Найдите расстояние от точки A до центра окружности. Из точки A проведены касательная и перпендикулярная ей секущая к окружности радиуса R с центром O. Пусть B — точка касания, аи точки пересечения секущей с окружностью, причём D — середина а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника ABOC. ... Около треугольника ABC описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку B, пересекает прямую в точке а) Докажите, что треугольники AMB и BMC подобны. б) Найдите отношение AM : MC, если AB : BC = 3 : 2. ... Около треугольника KLM описана окружность. Касательная к окружности, проходящая через точку M, пересекает прямую в точке а) Докажите, чтоб) Найдите отношение PK : KL, если MK : ML = 3 : 4. ... Окружность, проходящая через вершины A, B и C прямоугольной трапеции ABCD с прямыми углами при вершинах A и B, Задачи на доказательство и вычисление пересекает отрезки AD и CD соответственно в точках M и N, причём AM : AD = CN : CD = 1 : а) Докажите, чтоб) Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 3. ... Окружность, проходящая через вершины A, C и D прямоугольной трапеции ABCD с основаниями AD и BC, пересекает меньшую боковую сторону AB в точке P и касается прямой BC. Известно, что AD = а) Докажите, что CP — биссектриса угла б) В каком отношении прямая DP делит площадь трапеции. Основание и боковая сторона равнобедренного треугольника равны 26 и 38 соответственно. а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. Основание равнобедренного треугольника равно 20, угол при вершине равен 2 arctg 5 а) Докажите, что средняя линия треугольника, параллельная основанию, пересекает окружность, вписанную в треугольник. б) Найдите длину отрезка этой средней линии, заключённого внутри окружности. Пусть CQ — биссектриса треугольника ABC. Касательная к описанной окружности треугольника ABC, проходящая через точку пересекает прямую AB в точке а) Докажите, что треугольник CDQ равнобедренный. б) Найдите CD, если BQ = a и AQ = b (a > b). ... Касательная к описанной окружности треугольника проходящая через точку K, пересекает прямую LM в точке N. На стороне взята точка A, причём NK = а) Докажите, что KA — биссектриса треугольника б) Найдите LM, если KN = 8 и KM = 2KL. ... Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга натри равные части. а) Докажите, что эти хорды равны. б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E и F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен 2 p 21. § . Пропорциональные отрезки в окружности. Хорды AD, BE и CF окружности делят друг друга натри части, причём внутренний отрезок каждой хорды вдвое больше каждого из внешних. а) Докажите, что эти хорды равны. б) Найдите площадь шестиугольника ABCDEF, если точки A, B, C, D, E и F последовательно расположены на окружности, а радиус окружности равен p 26. ... Четырёхугольник ABCD с перпендикулярными диагоналями и BD вписан в окружность. а) Докажите, что прямая, проходящая через точку пересечения диагоналей четырёхугольника перпендикулярно стороне BC, делит пополам сторону б) Найдите стороны четырёхугольника ABCD, если известно, что = 84, BD = 77, а диаметр окружности равен 85. ... Во вписанном четырёхугольнике ABCD стороны BC и равны. Диагонали четырёхугольника пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника ABCD, если известно, что = 8 и ∠BAD = 150 ◦ |