Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
§ . Углы, связанные с окружностью. Метод вспомогательной окружности Решение задачи из диагностической работы. Окружность проходит через центр окружности и пересекаете в точках A и B. Хорда AC окружности касается окружности S 2 в точке A и делит первую окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 5 : 7. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится окружностью Ответ и Решение. Пусть и O 2 — центры окружностей и соответственно. Тогда AO 1 C = 360 ◦ · 5 5 + Поскольку ∠O 2 AC = радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной, отрезок O 2 C — диаметр окружности поэтому AO 2 C = 1 2 ∠ AO 1 C = 75 ◦ A B C O 1 O 2 S 1 S 2 Тогда градусная мера дуги окружности S 2 , заключённой между сторонами угла AO 2 C, равна 75 ◦ , а градусная мера дуги AB окружности содержащейся внутри окружности S 1 , равна 150 ◦ . Следовательно, дополнительная к ней дуга окружности равна 360 ◦ − 150 ◦ = 210 ◦ Ã * * Напомним, что угловая величина дуги — это угловая величина соответствующего этой дуге центрального угла § . Углы, связанные с окружностью Вписанный угол равен половине угловой величины соответствующего центрального угла (дуги. Отсюда следует, что вписанные углы, опирающиеся на одну и туже дугу, равны, те. если точки A и B лежат на окружности по одну сторону от прямой, содержащей хорду CD, то = ∠CBD. Если же точки A и B лежат по разные стороны от прямой, то ∠CAD + ∠CBD = 180 ◦ A B C D α α A B C D α 180 ◦ − Угол между касательной и хордой равен половине угловой величины дуги, заключённой между ними, те. если прямая касается окружности в точке A, точка B лежит на этой прямой, а точка C — на окружности, причём все три точки различны, то угловая величина угла равна половине угловой величины дуги, заключённой внутри угла Пример 1. Докажите, что угол между пересекающимися хордами равен полусумме угловых величин противоположных дуг, высекаемых на окружности этими хордами, те. если хорды AB и CD пересекаются в точке M, лежащей внутри окружности, то угловая величина каждого из углов AMC и BMD равна полусумме угловых величин дуги, заключённых внутри этих углов. Д ока за тел ь ст во. Пусть угловые величины дуги BD, заключённых внутри углов AMC и BMD, равны α и β соответственно. По теореме о внешнем угле треугольника AMC = ∠MBC + ∠MCB = ∠ABC + ∠DCB = α 2 + β 2 = α + что и требовалось доказать. Пример . Докажите, что угол между секущими, проведёнными к окружности из точки, лежащей вне окружности, равен полуразности Решение задачи из диагностической работы угловых величин дуг, содержащихся внутри этого угла, те. если точка лежит вне окружности, одна прямая, проходящая через эту точку, пересекает окружность последовательно в точках A и B, а вторая прямая, проходящая через точку M, — в точках C и D, то угловая величина угла BMD равна полуразности угловых величин дуги AC, заключённых внутри этого угла. Д ока за тел ь ст во. Пусть угловые величины дуги BD, заключённых внутри углов AMC и BMD, равны α и β соответственно < По теореме о внешнем угле треугольника = ∠AMC = ∠BCD − ∠MBC = ∠BCD − ∠ABC = β 2 − α 2 = β − Пример . Касательная в точке A к описанной окружности треугольника пересекает прямую BC в точке E; AD — биссектриса треугольника ABC. Докажите, что AE = Доказательство. Пусть точка E лежит на продолжении стороны BC заточку. Применив теорему об угле между касательной и хордой и теорему о внешнем угле треугольника, получим, что = ∠EAB + ∠BAD = ∠ACB + ∠DAC = Значит, треугольник ADE является равнобедренным, следовательно = ED. § . Углы, связанные с окружностью Пример . В круге провели три хорды AB, BC, CD и отметили их середины M, N и K соответственно. Известно, что ∠BMN = α. Найдите Ответили Решение. Пусть точки A и D лежат по одну сторону от прямой. Поскольку KN и MN — средние линии треугольников BCD и то KN k BD и MN k AC. Поэтому = ∠BDC = ∠BAC = ∠BMN = Пусть точки A и D лежат по разные стороны от прямой BC. Поскольку и MN — средние линии треугольников BCD и CBA, то BD и MN k AC. Поэтому = ∠BAC, ∠NKC = Значит + ∠NKC = ∠BAC + ∠BDC = Следовательно = 180 ◦ − ∠BMN = 180 ◦ − α. Ã * * Если при размышлении над задачей удаётся заметить, что какие- то четыре точки лежат на одной окружности, то дальнейшие рассуждения сводятся к известным свойствам углов, связанных с окружностью. Этот метод обычно называют методом вспомогательной окруж- ности. Отметим наиболее известные условия, при которых четыре точки лежат на одной окружности) Можно указать точку, равноудалённую от рассматриваемых точек и D. Решение задачи из диагностической работы) Из точек A и B отрезок CD виден под прямым углом) Из точек A и B, лежащих по одну сторону от прямой CD, отрезок виден под одними тем же углом) Точки A и B лежат по разные стороны от прямой CD, и при этом сумма углов CAD и CBD равна 180 ◦ ) Точки A и B лежат на одной стороне неразвёрнутого угла с вершиной, точки C и D — на другой, и при этом OA · OB = OC · OD. ) Отрезки AB и CD пересекаются в точке O, и при этом OA · OB = = OC · Пример . Известно, что BM и CN — высоты треугольника при этом MN = 10 и BC = 26. Найдите расстояние между серединами отрезков MN и Ответ Решение. Пусть P и Q — середины отрезков BC и MN соответственно. Из точек M и N отрезок BC виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром BC. Точка P центр окружности, а Q — середина хорды MN, поэтому PQ ⊥ MN. Q A B C M N P 13 13 13 Из прямоугольного треугольника PQM находим, что = p PM 2 − QM 2 = p 13 2 − 5 Пример . Основание CD, диагональ BD и боковая сторона трапеции ABCD равны p. Боковая сторона BC равна q. Найдите диагональ Ответ q 2 § . Углы, связанные с окружностью Р е ш е ни е. Окружность с центром в точке D и радиусом проходит через точки A, B и C. Если CC 1 — диаметр окружности, то равнобедренная трапеция, AC 1 = BC = Поскольку точка A лежит на окружности с диаметром Следовательно, AC = p 4p 2 − Подготовительные задачи. Окружность касается сторон угла с вершиной A в точках и C. Найдите градусные меры дуг, на которые окружность делится точками B и C, если ∠BAC = 70 ◦ .. Пусть AB и AC — равные хорды, MAN — касательная, градусная мера дуги BC, не содержащей точки A, равна 200 ◦ . Найдите углы и NAC. .. Треугольник ABC равнобедренный. Радиус OA описанного круга образует с основанием AC угол OAC, равный 20 ◦ . Найдите угол BAC. .. Окружность описана около равностороннего треугольника. На дуге BC, не содержащей точку A, расположена точка делящая градусную меру этой дуги в отношении 1 : 2. Найдите углы треугольника AMB. .. Точки A, B, C и D последовательно расположены на окружности. Известно, что градусные меры меньших дуги относятся как 1 : 3 : 5 : 6. Найдите углы четырёхугольника ABCD. .. Окружность проходит через вершины A и C треугольника, пересекая сторону AB в точке E и сторону BC в точке F. Угол Тренировочные задачи враз больше угла BAF, а угол ABC равен 72 ◦ . Найдите радиус окружности, если AC = 6. .. Из точки P, расположенной внутри острого угла сверши- ной A, опущены перпендикуляры PC и PB на стороны угла. Известно, что ∠CBP = 25 ◦ . Найдите угол CAP. .. В окружность вписан прямоугольник ABCD, сторона AB которого равна a. Из конца K диаметра KP, параллельного стороне сторона BC видна под углом β . Найдите радиус окружности. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠BCD = = 80 ◦ , ∠ACB = и ∠ABD = 30 ◦ . Найдите угол ADB. .. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠ACB = = 25 ◦ , ∠ACD = и ∠BAD = 115 ◦ . Найдите угол ADB. .. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ABC = 116 ◦ , ∠ ADC = 64 ◦ , ∠CAB = и = Найдите угол между диагоналями, опирающийся на сторону AB. .. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ABD = ∠ACD = 45 ◦ , ∠BAC = 30 ◦ , BC = Найдите AD. .. Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы = α, ∠ ABC = β , ∠BKC = где K — точка пересечения диагоналей. Найдите угол Тренировочные задачи. Около треугольника ABC, в котором BC = a, ∠B = α, ∠C = β описана окружность. Биссектриса угла A пересекает эту окружность в точке K. Найдите AK. .. Треугольники ABC и ADC имеют общую сторону AC; стороны и BC пересекаются в точке M. Углы B и D равны по Расстояние между вершинами D и B равно стороне AB, ∠AMC = Найдите углы треугольников ABC и ADC. .. Внутри угла с вершиной O взята некоторая точка M. Луч образует со сторонами угла углы, один из которого больше другого на 10 ◦ ; A и B — проекции точки M на стороны угла. Найдите угол между прямыми AB и OM. § . Углы, связанные с окружностью. Вершина угла величиной служит началом луча, образующего сего сторонами углы и 40 ◦ . Из некоторой точки M на этот лучина стороны угла опущены перпендикуляры, основания которых — A, B и C. Найдите углы треугольника ABC. .. В остроугольном треугольнике ABC из основания D высоты опущены перпендикуляры DM и DN на стороны AB и BC. Известно, что MN = a, BD = b. Найдите угол ABC. .. Хорда делит окружность на дуги, градусные меры которых относятся как 11 : 16. Найдите угол между касательными, проведён- ными через концы этой хорды. Расстояние между центрами непересекающихся окружностей равно a. Докажите, что точки пересечения общих внешних касательных с общими внутренними касательными лежат на одной окружности, и найдите её радиус. В треугольнике ABC проведены биссектрисы AD и BE, пересекающиеся в точке O. Известно, что OE = 1, а вершина C лежит на окружности, проходящей через точки E, D и O. Найдите стороны и углы треугольника EDO. .. В треугольнике ABC угол B прямой, величина угла A равна, точка D — середина гипотенузы. Точка симметрична точке C относительно прямой BD. Найдите угол AC 1 B. .. На стороне AB треугольника ABC во внешнюю сторону построен равносторонний треугольник. Найдите расстояние между его центром и вершиной C, если AB = c и ∠C = 120 ◦ .. В четырёхугольнике ABCD углы B и D прямые. Диагональ образует со стороной AB острый угол 40 ◦ , а со стороной AD угол 30 ◦ . Найдите острый угол между диагоналями AC и BD. .. В прямоугольном треугольнике ABC угол при вершине A равен середина гипотенузы AB, P — центр вписанной окружности. Найдите угол POC. .. В параллелограмме ABCD острый угол равен α. Окружность радиуса r проходит через вершины A, B, C и пересекает прямые ив точках M и N. Найдите площадь треугольника BMN. .. Окружность, проходящая через вершины A, B и C параллелограмма, пересекает прямые AD ив точках M и N соответственно. Точка M удалена от вершин B, C и D на расстояния 4, 3 и соответственно. Найдите MN. .. В окружность вписан четырёхугольник ABCD, диагонали которого взаимно перпендикулярны и пересекаются в точке E. Прямая Тренировочные задачи проходящая через точку E и перпендикулярная к BC, пересекает сторону в точке M. Докажите, что EM — медиана треугольника и найдите её длину, если AB = 7, CE = 3, ∠ADB = α. .. Дан треугольник ABC. Из вершины A проведена медиана, а из вершины B — медиана BP. Известно, что угол APB равен углу BMA. Косинус угла ACB равен 0,8 и BP = 1. Найдите площадь треугольника ABC. .. В треугольнике ABC угол ABC равен α, угол BCA равен Окружность, проходящая через точки A, C и центр описанной около треугольника ABC окружности, пересекает сторону AB в точке Найдите отношение AM к AB. .. Точка E лежит на продолжении стороны AC равностороннего треугольника ABC заточку. Точка K — середина отрезка Прямая, проходящая через точку A перпендикулярно AB, и прямая, проходящая через точку E перпендикулярно BC, пересекаются в точке. Найдите углы треугольника BKD. .. Вне правильного треугольника ABC, но внутри угла BAC взята точка M так, что угол CMA равен и угол BMA равен α. Найдите угол ABM. .. В трапеции MNPQ (MQ k NP) угол NQM в два раза меньше угла MPN. Известно, что = MP = 13 2 , MQ = Найдите площадь трапеции. Дан угол, равный. На его биссектрисе взята точка K; и M — проекции K на стороны угла. На отрезке PM взята точка A, причём KA = a. Прямая, проходящая через A перпендикулярно KA, пересекает стороны угла в точках B и C. Найдите площадь треугольника. На биссектрисе угла с вершиной L взята точка A. Точки и M — основания перпендикуляров, опущенных из точки A на стороны угла. На отрезке KM взята точка P (KP < PM), и через неё перпендикулярно отрезку AP проведена прямая, пересекающая прямую в точке Q (K между Q и L), а прямую ML — в точке S. Известно, что = α, KM = a, QS = b. Найдите QK. .. В выпуклом четырёхугольнике ABCD проведены диагонали и BD. Известно, что AD = 2, ∠ABD = ∠ACD = 90 ◦ , а расстояние между центрами окружностей, вписанных в треугольники и ACD, равно p 2. Найдите BC. § . Углы, связанные с окружностью. В треугольнике ABC перпендикуляр, проходящий через середину стороны AB, пересекает прямую AC в точке M, а перпендикуляр, проходящий через середину стороны AC, пересекает прямую в точке N. Известно, что MN = BC и прямая MN перпендикулярна прямой BC. Найдите углы треугольника ABC. . ∗ . В равносторонний треугольник ABC вписана полуокружность с центром O на стороне AB. Некоторая касательная к полуокружности пересекает стороны BC ив точках M и N соответственно, а прямая, проходящая через точки касания сторон BC и с полуокружностью, пересекает отрезки OM и ON соответственно в точках P и Q. Найдите PQ, если MN = Задачи на доказательство и вычисление. В окружность вписан четырёхугольник стремя равными сторонами. а) Докажите, что в этом четырёхугольнике есть параллельные сто- роны. б) Найдите диагонали четырёхугольника, если радиус окружности равен 25, а каждая из трёх равных сторон четырёхугольника равна 30. ... В окружность вписана трапеция. Боковая сторона трапеции видна из центра окружности под прямым углом. а) Докажите, что высота трапеции равна её средней линии. б) Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен 5, а тангенс угла при большем основании равен 3. ... Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Известно, что cos ∠ABC = −cos а) Докажите, что этот четырёхугольник вписанный. б) Найдите радиус окружности, описанной около четырёхугольни- ка, если ∠ACB = 30 ◦ , BC = 6, а высоты треугольников ABD и CBD, про- ведённые из вершины B, равны. Дан выпуклый четырёхугольник ABCD. Известно, что cos ∠ABD = cos а) Докажите, что этот четырёхугольник вписанный. б) Найдите площадь четырёхугольника, если ∠ACB = 30 ◦ , BD = 8, AD = 6, а диагональ BD проходит через середину диагонали AC. ... Диагонали трапеции перпендикулярны боковым сторонам. а) Докажите, что трапеция равнобедренная. б) Найдите площадь трапеции, если её основания равны 10 и 26. Задачи на доказательство и вычисление. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, ∠ABD = = ∠ а) Докажите, что трапеция равнобедренная. б) Найдите площадь трапеции, если AD = 7 и BC = 5, а ∠ACD = 60 ◦ ... Дан параллелограмм ABCD. Прямая CD касается окружности, описанной около треугольника а) Докажите, что диагональ BD равна одной из сторон параллело- грамма. б) Найдите площадь параллелограмма ABCD, если BD=2 и ∠BCD= = 45 ◦ ... Стороны KN и LM трапеции KLMN параллельны, прямые и MN — касательные к окружности, описанной около треугольника а) Докажите, что треугольники LMN и KLN подобны. б) Найдите площадь треугольника KLN, если KN = 3, а ∠LMN = = 120 ◦ ... Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку проведена прямая, пересекающая окружности в точках C иле- жащих по разные стороны от прямой AB. Касательные к этим окружностям в точках C и D пересекаются в точке а) Докажите, что четырёхугольник ACED вписанный. б) Найдите AE, если AB = 10, AC = 16, AD = 15. ... Две окружности пересекаются в точках P и Q. Через точку Q проведена прямая, пересекающая окружности в точках и M, лежащих по разные стороны от прямой PQ. Касательные к этим окружностям в точках K и M пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите PK, если PQ = 12, PM = 9, PN = 15. ... В остроугольном треугольнике ABC из вершин A и C опущены высоты AP и CQ на стороны BC и а) Докажите, чтоб) Известно, что площадь треугольника ABC равна 96, площадь четырёхугольника AQPC равна 72, а радиус окружности, описанной около треугольника ABC, равен. Найдите PQ. ... В остроугольном треугольнике KLM на стороны KM и опущены высоты LE и а) Докажите, чтоб) Найдите площадь четырёхугольника EFLM, если LM = 6, площадь треугольника EKF равна 1, а радиус окружности, описанной около треугольника KLM, равен 4 § . Углы, связанные с окружностью. В треугольнике ABC известно, что ∠BAC =60 ◦ , ∠ABC Продолжения высот треугольника ABC пересекают описанную около него окружность в точках M, N, а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный. б) Найдите площадь треугольника MNP, если BC = 12. ... Прямые, содержащие высоты треугольника ABC, прове- дённые из вершин A, B и C, вторично пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P соответственно, ∠BAC = 120 ◦ , ∠ ABC = а) Докажите, чтоб) Найдите MB, если AC = 4. ... В прямоугольный треугольник вписан квадрат так, что две его вершины лежат на гипотенузе, а две другие — на катетах. а) Докажите, что центр квадрата лежит на биссектрисе прямого угла треугольника. б) Радиус окружности, описанной около треугольника, относится к стороне квадрата как 13 : 6. Найдите углы треугольника. На гипотенузе прямоугольного треугольника как на стороне построен квадрат вне треугольника. а) Докажите, что центр квадрата и центр окружности, вписанной в треугольник, лежат на прямой, проходящей через вершину прямого угла треугольника. б) Найдите расстояние от центра квадрата до центра окружности, вписанной в треугольник, если радиус этой окружности равен 2, а сторона квадрата равна 10. ... Окружность с центром O, вписанная в треугольник касается сторон AB ив точках M и N соответственно, AH — высота треугольника. Прямые MN и BC пересекаются в точке а) Докажите, чтоб) Найдите AK, если ∠ABC = 77 ◦ , ∠ACB = 17 ◦ , а отрезок, соединяющий точку H с серединой MN, равен 8. ... В треугольнике KLM сторона KM больше стороны а) Докажите, что угол между высотой и биссектрисой, проведён- ными из вершины K, равен полуразности углов L и б) Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон ив точках A и B соответственно, KH — высота треугольника. Прямые AB и LM пересекаются в точке C. Найдите расстояние между точкой H и серединой отрезка AB, если ∠KLM = 72 ◦ , ∠KML = 12 ◦ , CK = 24. |