Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
 Скачать 1.76 Mb.
|
|
... В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты BB 1 и CC 1 . Прямые и BC пересекаются в точке а) Докажите, что треугольники и PB 1 C подобны. б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения высот треугольника ABC, если BP = BB 1 , ∠ABC = 80 ◦ , BC = 2 p 3, а точка лежит между C и P. Диагностическая работа . Около треугольника со сторонами 6, 8 и 10 описана окружность. Найдите максимальный радиус окружности, касающейся меньшей стороны треугольника в её середине и окружности S. . Дан треугольник со сторонами AB = BC = 17, AC = 30. Найдите общую хорду окружностей с диаметрами AB и AC. . В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что ∠CBD = 58 ◦ , ∠ ABD = 44 ◦ , ∠ADC = 78 ◦ . Найдите угол CAD. . Окружность касается сторон AB и AD прямоугольника и пересекает сторону DC в единственной точке F, а сторону BC в единственной точке E. Найдите площадь трапеции AFCB, если = 32, AD = 40 и BE = 1. . В треугольнике ABC проведены высоты AA 1 , и CC 1 . Известно, что ∠BAC = и AA 1 = 6. Найдите высоту AP треугольника. Центр окружности, вписанной в четырёхугольник, лежит на его диагонали, равной 5. Известно, что периметр четырёхугольника равен, а площадь равна 12. Найдите вторую диагональ и стороны четырёхугольника. Диагностическая работа . Две стороны треугольника равны 10 и 12, а медиана, проведён- ная к третьей стороне, равна 5. Найдите третью сторону и площадь треугольника. Окружности с центрами и касаются внешним образом. Кроме того, обе эти окружности касаются внутренним образом окружности радиуса R с центром O. Найдите периметр треугольника. Точки D и E расположены на стороне AC треугольника Прямые BD и BE разбивают медиану AM треугольника ABC натри равных отрезка. Найдите площадь треугольника BDE, если площадь треугольника ABC равна 1. . Сторона AB правильного шестиугольника ABCDEF равна и является хордой некоторой окружности, причём остальные стороны шестиугольника лежат вне этой окружности. Прямая, проходящая через вершину C, касается окружности в точке M. Известно, что = 3. Найдите диаметр окружности. Центр окружности радиуса 6, касающейся сторон AB, BC и равнобедренной трапеции ABCD, лежит на её большем основании. Основание BC равно 4. Найдите расстояние между точками, в которых окружность касается боковых сторон AB и CD этой трапеции. Углы при вершинах A и B треугольника ABC равны и соответственно, и BB 1 — высоты треугольника. Касательная в точке к окружности, описанной около треугольника A 1 B 1 C, пересекается с прямой в точке K. Известно, что CK = a. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. Диагностическая работа . Медиана и высота прямоугольного треугольника, проведённые из вершины прямого угла, равны 5 и 4. Найдите катеты. Найдите периметр треугольника, один из углов которого равен, а радиусы вписанной и описанной окружностей равны r и соответственно. В треугольник ABC со сторонами AB = 18 и BC = 12 вписан параллелограмм, причём точки K, L и M лежат на сторонах AB, AC и BC соответственно. Известно, что площадь параллелограмма составляет площади треугольника ABC. Найдите стороны параллелограмма. Около прямоугольного треугольника ABC описана окружность. Расстояния от концов A и B гипотенузы AB до прямой, касающейся окружности в точке C, равны a и b соответственно. Найдите катеты и BC. . В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом при вершине сторона CA равна 4. На катете BC взята точка D, причём CD = 1. Окружность радиуса p 5 проходит через точки C и D и касается в точке C окружности, описанной около треугольника Найдите площадь треугольника ABC. . На сторонах прямоугольного треугольника с катетами a и b построены квадраты, лежащие вне треугольника. Найдите площадь треугольника с вершинами в центрах квадратов Диагностическая работа . На сторонах AB, BC и AC треугольника ABC, площадь которого равна 75, расположены точки M, N и K соответственно. Известно, что — середина AB, площадь треугольника BMN равна 15, а площадь треугольника AMK равна 25. Найдите площадь треугольника CNK. . Окружность S с центром в вершине прямого угла прямоугольного треугольника касается окружности, вписанной в этот треугольник. Найдите радиус окружности S, если известно, что катеты треугольника равны 5 и 12. . Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Найдите площадь треугольника с вершинами в точках касания вписанной окружности со сторонами треугольника. Через середину боковой стороны равнобедренного треугольника со сторонами 12, 18, 18 проведена прямая, разбивающая треугольник на части, площади которых относятся как 1 : 2. Найдите длину отрезка этой прямой, заключённого внутри треугольника. Окружность с центром O, вписанная в треугольник ABC, касается его сторон AB ив точках M и N. Окружность с центром Q вписана в треугольник AMN. Найдите OQ, если AB = 13, BC = 15 и AC = 14. . Биссектрисы внутренних углов треугольника продолжены до пересечения с описанной около треугольника окружностью. В результате попарного соединения этих точек получился новый треугольник. Известно, что углы исходного треугольника равны 30 ◦ , и 90 ◦ , а его площадь равна 2. Найдите площадь нового треугольника Диагностическая работа . На катете BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре построена окружность, пересекающая гипотенузу AB в точке D, причём AD : BD = 1 : 3. Высота, опущенная из вершины C прямого угла на гипотенузу, равна 3. Найдите катет BC. . Диагональ равнобедренной трапеции делите тупой угол пополам. Меньшее основание трапеции равно 3, периметр равен 42. Найдите площадь трапеции. Окружности радиусов r и R касаются внешним образом в точке. Прямая касается этих окружностей в различных точках A и Найдите площадь треугольника AKB. . Найдите косинус угла при основании равнобедренного треугольника, если точка пересечения его высот лежит на вписанной в треугольник окружности. Точка M делит среднюю линию треугольника ABC, параллельную стороне BC, на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. Точка N также делит сторону BC на отрезки, один из которых в три раза длиннее другого. В каком отношении прямая MN делит площадь треугольника ABC? . Площадь ромба ABCD равна 2. В треугольник ABD вписана окружность, которая касается стороны AB в точке K. Через точку проведена прямая KL, параллельная диагонали AC ромба (точка лежит на стороне BC). Известно, что площадь треугольника равна 3 . Найдите косинус угла BAD. Диагностическая работа . Найдите радиус окружности, касающейся двух концентрических (имеющих один и тот же центр) окружностей радиусов 3 и 5. . Окружность, построенная как на диаметре на меньшей боковой стороне прямоугольной трапеции, касается большей боковой стороны, равной a. Найдите среднюю линию трапеции. Точка D делит основание BC равнобедренного треугольника на два отрезка, один из которых на 4 больше другого. Найдите расстояние между точками, в которых вписанные окружности треугольников и ACD касаются отрезка AD. . Диагонали AC и BD вписанного в окружность четырёхугольника ABCD пересекаются в точке Q под прямым углом. Прямые AB и пересекаются в точке P. Известно, что BC = 5, AD = 10, BQ = 3. Найдите. Прямая, параллельная стороне AB треугольника ABC, касается его вписанной окружности. Отрезок этой прямой, заключённый внутри треугольника, равен 2,4. Найдите сторону AB, если известно, что периметр треугольника ABC равен 20. . Дан равнобедренный треугольник ABC с основанием AC. Окружность радиуса R с центром в точке O проходит через точки A и B и пересекает прямую BC в точке M, отличной от B и C. Найдите расстояние от точки O до центра окружности, описанной около треугольника Диагностическая работа . Дан прямой угол с вершиной D. Окружность касается одной его стороны в точке E и пересекает вторую сторону в точках A иле- жит между B и D). В окружности проведён диаметра) Докажите, что отрезок BC вдвое больше отрезка б) Найдите расстояние от точки E до прямой AC, если AD = 2 и = 6. . Окружность с диаметром AB пересекается с окружностью сцен- тром B в точках M и а) Докажите, что если окружности равны, то диаметр первой из них, проходящий через точку N, делит пополам хорду б) Пусть радиус первой окружности вдвое больше радиуса второй. В каком отношении диаметр первой окружности, проходящий через точку N, делит хорду AM? . На сторонах AB и AC треугольника ABC отмечены точки и соответственно. Оказалось, что а) Докажите, что точки B, C и середины отрезков и лежат на одной окружности. б) Найдите косинус угла между прямыми и CC 1 , если BC = 3, AB = 4, AC = 5. . На катете BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом при вершине C построен вне треугольника квадрат BCDE сцен- тром O, CK — биссектриса треугольника а) Докажите, что прямая AO проходит через середину отрезка б) Пусть прямая AO пересекает отрезок BC в точке N. Найдите площадь треугольника BKN, если AC = 30 и BC = 15. . Дан треугольник ABC со сторонами AB = 3, AC = 5, BC = 7. На его стороне BC построен вне треугольника равносторонний треугольника) Докажите, что около четырёхугольника ABDC можно описать окружность. б) Найдите расстояние от центра этой окружности до точки пересечения диагоналей четырёхугольника ABDC. . Окружность, вписанная в треугольник ABC, касается сторон ив точках M и N соответственно, P и Q — середины сторон AB и соответственно. Прямые MN и PQ пересекаются в точке а) Докажите, что треугольник DQN равнобедренный. б) Найдите площадь треугольника BPD, если AB =12 и ∠ABC =30 ◦ Диагностическая работа . Точки M и N лежат на сторонах соответственно AC и AB треугольника, причём AM : MC = 1 : 2 и AN : NB = 3 : а) Докажите, что прямая CN проходит через середину отрезка б) Найдите расстояние от вершины A до точки пересечения прямых и BM, если AB = AC = 9, а CN — биссектриса треугольника. На катете BC прямоугольного треугольника ABC с прямым углом и с углом при вершине A вне треугольника построен ромб с углом при вершине E. Прямая AE пересекает сторону в точке а) Докажите, чтоб) Прямая CD пересекает отрезок AB в точке M. Найдите отношение. Дан остроугольный треугольник ABC. Биссектриса внутреннего угла при вершине B пересекает биссектрису внешнего угла при вершине в точке M, а биссектриса внутреннего угла при вершине пересекает биссектрису внешнего угла при вершине B в точке а) Докажите, чтоб) Найдите BM, если AB = AC = 10, BC = 12. . Вершины A, B и C ромба ABCD лежат на окружности, а вершина — на хорде AE. Луч CD пересекает окружность в точке а) Докажите, что D — центр окружности, вписанной в треугольник BEF. б) Найдите AE, если радиус исходной окружности равен 41 2 3 , а большая диагональ AC ромба равна 80. . Окружность касается стороны AB прямоугольника ABCD в точке, пересекает меньшую сторону AD в точках P и Q (P лежит между и Q), касается стороны CD и пересекает отрезок CM в точке N, причём MQ ⊥ а) Докажите, чтоб) Найдите отрезок BN, если AP = PQ = 1. . а) Докажите, что диагональ правильного пятиугольника параллельна одной из его сторон. б) Что больше 0,3 или косинус угла между диагональю CE правильного пятиугольника ABCDE и его стороной AE? (Ответ должен быть обоснован Диагностическая работа . Окружности с центрами и внешним образом касаются друг друга, а внутренним образом — окружности с центром а) Докажите, что периметр треугольника вдвое больше радиуса третьей окружности. б) Пусть A и B — точки, в которых окружности с центрами O 1 и O 2 касаются окружности с центром O, а радиусы окружностей равны соответственно 1, 2 и 5. Найдите длину отрезка AB. . В треугольнике ABC провели высоту BH. Из точки H на стороны и BC опустили перпендикуляры HK и а) Докажите, что треугольник MBK подобен треугольнику б) Найдите отношение, в котором отрезок MK делит площадь треугольника ABC, если BH = 2, а радиус описанной окружности треугольника ABC равен 3. . В трапеции ABCD точка E — середина основания AD, точка K середина боковой стороны AB. Отрезки CE и DK пересекаются в точке а) Докажите, что четырёхугольник AKOE и треугольник COD рав- новелики. б) Найдите, какую часть от площади трапеции составляет площадь каждой из указанных фигур, если BC = 3, AD = 4. . Две окружности вписаны в один угол, первая касается одной стороны угла в точке A, вторая касается другой стороны в точке B. a) Докажите, что на отрезке AB окружности высекают равные хор- ды. б) Найдите косинус угла, если одна из окружностей в 2 раза больше другой и треть отрезка AB находится вне данных окружностей. В выпуклом четырёхугольнике ABCD известно, что AB = 7, BC = 24, CD = 15, AD = 20 и AC = а) Докажите, что четырёхугольник ABCD вписанный. б) Найдите косинус угла между его диагоналями. В треугольнике ABC проведена биссектриса AM. Прямая, проходящая через вершину B перпендикулярно AM, пересекает сторону в точке N; AB = 6, BC = 5, AC = а) Докажите, что биссектриса угла C делит отрезок MN пополам. б) Пусть P — точка пересечения биссектрис треугольника Найдите отношение AP : PN. Диагностическая работа . На гипотенузе KL равнобедренного прямоугольного треугольника вне треугольника построен квадрат KLPQ. Прямая MP пересекает гипотенузу KL в точке а) Докажите, чтоб) Прямая, проходящая через точку N перпендикулярно MP, пересекает отрезок QK в точке R. Найдите KR, если QK = 1. . Биссектриса угла BAC пересекает сторону BC треугольника в точке K, а окружность, описанную около него, — в точке а) Отрезок CK разбивает треугольник ACM на два треугольника. Докажите, что один из них подобен треугольнику б) Найдите радиус окружности, описанной около треугольника, если известно, что AC = 4, BC = 5, AB = 6. . Дан ромб ABCD с острым углом при вершине A. В точке B проведена касательная к окружности, описанной около треугольника Эта касательная пересекает сторону CD в точке а) Докажите, что треугольник BDK равнобедренный. б) Найдите отношение площади треугольника BDK к площади ромба, если известно, что cos ∠BAD = 3 4 . Окружность с центром O, вписанная в трапецию ABCD, касается меньшего основания BC в точке N, а боковой стороны AB — в точке а) Докажите, чтоб) Найдите площадь треугольника BOC, если известно, что MA = = 25, MB = 4 и CD = 52. . К двум равным непересекающимся окружностям проведены две параллельные общие касательные. Окружности касаются одной из этих прямых в точках A и B. Через точку C, лежащую на отрезке проведены касательные к этим окружностям, пересекающие вторую прямую в точках D и а) Докажите, что периметр треугольника CDE вдвое больше расстояния между центрами окружностей. б) Найдите DE, если известно, что радиусы окружностей равны расстояние между их центрами равно 20, а AC = 8. . Одна окружность вписана в прямоугольную трапецию, а вторая касается большей боковой стороны и продолжений оснований. а) Докажите, что расстояние между центрами окружностей равно большей боковой стороне трапеции Диагностическая работа б) Найдите расстояние от вершины прямого угла трапеции до центра второй окружности, если известно, что точка касания первой окружности делит большую боковую сторону трапеции на отрезки, равные 2 и 8. Диагностическая работа . Противоположные стороны AD и BC четырёхугольника параллельны. Через вершины B и D проведены параллельные прямые, пересекающие диагональ AC в точках M и N соответственно. Оказалось, что AM = MN = а) Докажите, что ABCD — параллелограмм. б) Найдите отношение площади четырёхугольника BMDN к площади параллелограмма ABCD. . В параллелограмм вписана окружность. а) Докажите, что этот параллелограмм — ромб. б) Окружность, касающаяся стороны ромба, делите на отрезки, равные 4 и 1. Найдите площадь четырёхугольника с вершинами в точках касания окружности со сторонами ромба. Диагональ AC разбивает трапецию ABCD с основаниями AD > > BC на два подобных треугольника. а) Докажите, чтоб) Найдите отрезок, соединяющий середины оснований трапеции, если известно, что BC = 32, AD = 50 и cos ∠CAD = 4 5 |