Геометрия. 16 Гордин. Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450

• Название: Ежедневно, 10. 0020. 00, кроме воскресеньяабрис рф Москва 8 (495) 2296759СанктПетербург 8 (812) 3270450
• Анкор: Геометрия
• Дата: 29.09.2021
• Размер: 1.76 Mb.
• Имя файла: 16 Гордин.pdf
• Тип: Задача; #238675
• страница: 20 из 21

§ . Медиана прямоугольного треугольника
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 2. .. 2m, m, m
p
3. .. 3; 4; 5. ..
4 5
.. 30
◦
, 60
◦
.. 30
◦
, 60
◦
..
b
2
(b
2
− a
2
)
a
2
+
b
2
..
4
p
17
..
a
p
2(1
± sin α)
cos ТУ казан и е.
Пусть H — основание перпендикуляра, опущенного из точки P на сторону BC. Тогда точки M, и H лежат на одной прямой, а треугольник PHC подобен треугольнику APD.
.. 8; 2; 3. Указание. Если сумма углов при основании трапеции равна, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. .. 5; 3. .. 9
p
5. ..
1 2
(1 + 2 cos 2α)
2
tg 2α. Указан и е.
Пусть M — середина DE. Тогда BEMF — ромба биссектриса угла MCE.
.. 40. Указание. Опустите перпендикуляр из центра окружности на хорду AB и соедините его основание сточкой+ Указание. Соедините точку D с серединой отрезка AE.
.. 90
◦
, 30
◦
,
60
◦
. Указание. Точки B, C, D, K и точка пересечения прямых AB и лежат на окружности с диаметром BD. .. 15
p
3. .
∗
. 75
◦
. Указан и е.
Пусть K — середина CM, а O — основание перпендикуляра, опущенного из точки M на BC. Тогда ∠ AOK = 90
◦
, а O — центр описанной окружности треугольника AMB.
.
∗
.
25
p
7 Указан и е.
Пусть T — середина. Тогда DT = DC.
.
∗
. Указан и е.
Пусть прямые AM и пересекаются в точке P. Тогда C — середина BP и HC = BC = З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 60
◦
, 60
◦
, 120
◦
, 120
◦
... 2, 2, 2, 4. ... 2. ... 1 : 3, считая от точки L.
... 49. ...
289 13
... 1,2. ...
24 11
...
p
3 : 3.

Ответы и указания. 1 : 2. ...
5
p
2 2
. ...
18
p
13
. ... 12. ... 4
p
2, 2
p
7. ...
a
2
... 27. ... 30
◦
, 60
◦
, 90
◦
...
p
2 2
...
p
11. ... 8,5.
§ . Удвоение медианы
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
..
2m sin β
sin(α + β)
,
2m sin α
sin(α + β)
.. 30
◦
.. 270. ..
19 2
.. 30. ..
p
10.
.. 6. .. 60
◦
.. arccos
4m
2
− a
2
− b
2 ТУ казан и е.
См. пример .
.. 64. .. 48
p
6.
..
245 8
. ..
1323 20
. .
∗
.
1 2
p
2b
2
− 4a
2
. Указание. Суммы квадратов расстояний от любой точки до противоположных вершин прямоугольника равны между собой. Пусть M — середина AB, а K — проекция точки E на Тогда M — центр прямоугольника ACBF, K — середина DM, OF = 2EM = З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 48. ... 120. ... 10. ... 240. ... 2,4. ...
24
p
5 7
... 7, 7. ... 7. ... 2. ... 11. ... 1125. ... 180.
... 30. ... 120. ... 2
p
13, 4
p
13, 6
p
5. ... 3
p
17.
§ . Параллелограмм. Средняя линия треугольника
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 20. ..
p
2. .. ab. .. 4; 8; 4; 8. .. 1. ..
p
b
2
− a
2 2
.. Т çàäà÷è
.. 4
p
2, 18. ..
|a − b|. .. 14. .. 48. ..
ab
4
.. 5. ..
ab
2
..
1 2
p
c
2
+
d
2
± cd
p
2. ..
p
42. .. 60
◦
, 120
◦
.. 5. .. a + b.
..
a + b
p
2
. Указание. Опишите около указанного квадрата ещё один квадрат со стороной a + b, проведя через вершины данного квадрата, отличные от вершин треугольника, две прямые, перпендикулярные прямым,
содержащим катеты треугольника. Центр полученного квадрата совпадает с центром данного. .. 90
◦
. Указание. Пусть K, L, M и N — середины отрезков AD, AC, BC и BD соответственно. Тогда KLMN — прямоугольник или q
19 3
. Указание. Отрезок, соединяющий вершины данных равнобедренных треугольников, проходит через центр параллелограмма

Ответы и указания. 4. Указание. Пусть DD
1
— диаметр окружности. Тогда расстояние от центра окружности до хорды AB равно расстоянию от центра окружности до хорды CD
1
, равной AB.
.
∗
. Указан и е.
Пусть F — середина. Тогда MKNF — параллелограмм, PQ — средняя линия треугольника а FL — средняя линия треугольника З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 50. ... 25. ... 54
p
3. ... 24
p
3. ... 36. ... 32.
... 3. ... 20. ... 2
p
5. ... 7. ... 2,4. ... 48.
... 12(2
−
p
3). ... 3
p
2
− 4. ... 4. ...
1 5
§ . Трапеция
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 450. .. 54. .. 1024. .. 25. .. 39 или 9. .. 5. .. 90
◦
. .. 9.
.. 120
◦
..
a
− b
2
..
a
2
− b
2 Т çàäà÷è
.. 4 : 3. ..
q
S
sin α
..
p
ab.
..
10 3
R, 4R, 2R. ..
Ç
b
2
+
a
2 4
.. 4;
5
p
41 4
..
1 2
p
a
2
+
6ab + b
2
.. 900 или 780. ..
ab
4
.. 8
p
5, 4
p
5. ..
h
p
3
.. или 80
◦
.. 14; 12,5; 29,4; 16,9.
..
63
p
3 4
.. 13. ..
3
p
3 Указан и е.
Если сумма углов при основании трапеции равна 90
◦
, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен полуразности оснований. 28 или 2
p
181. ..
3 4
ab.
..
Ç
a
2
+
b
2 2
.. Указан и е.
Точка D лежит на окружности с центром C, проходящей через точки A и B.
..
3 2
S или 2
S.
.. 75
◦
,
75
◦
, 105
◦
, Указан и е.
Рассмотрите треугольник с вершинами в центре окружности, в середине боковой стороны ив середине радиуса,
проведённого в точку касания окружности с основанием BC.
.. 30
◦
,
30
◦
, 150
◦
, 150
◦
..
1 2
p
m
2
+
n
2
. Указание. Точки A, B и D лежат на окружности с центром C. Если DK — диаметр этой окружности, то BK = и ∠DBK = 90
◦
.
∗
. 45
◦
, Указан и е.
Боковая сторона данной трапеции равна проекции диагонали на большее основание. 3 : 29.
.
∗
.
p
S. Указание. Точка M лежит на прямой, проходящей через точки касания окружности с основаниями трапеции. Эта прямая содержит O центр окружности, поэтому S
∆
CMD
=
S
∆
AMB
=
S
AOB

Ответы и указания

Зàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 20. ... 9. ... 120. ... 240. ... 1 : 2. ... 1 : 2.
...
4ab
3a + b
...
42 17
... 7. ...
p
3. ... 4,8. ...
120 13
... 8. ... 7
p
2. ... 10. ...
15 8
... 6. ... 22.
... 78. ... 90. ... 4 :
p
5. ...
p
ab.
§ . Как находить высоты и биссектрисы треугольника?
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 9,6. .. 2. ..
p
5. .. 8. ..
ab
a + b
..
ab
p
2
a + b
..
24
p
3 7
.. Т çàäà÷è
..
p
2S sin α sin β sin γ
sin α
;
p
2S sin α sin β sin γ
sin β
;
p
2S sin α sin β sin γ
sin γ
..
29 5
..
13,44. ..
75. ..
a
3
b
2(a
2
+
b
2
)
..
a
3
b
3
(a
2
+
b
2
)
2
..
6.
..
d
q
2 +
d
c
..
24
p
145
..
mn(m + n)
m
2
+
n
2
..
p
3 4
;
7. .. 5.
..
4
p
6 5
. Указание. Треугольник ABC равнобедренный. .. CD =
p
6,
CE =
8 5
, DE =
p
34 5
,
ρ = 2
q
2 5
. ..
2 cos
α
3
+
3 6 cos
α
3
+
1
. .. 2; S = tg 72
◦
=
p
5 + Указание. Пусть прямая, проведённая через точку D параллельно пересекает сторону AC в точке E. Треугольники ADE и CBD равны по двум сторонами углу между ними − Указан и е.
Если r радиус окружности, вписанной в треугольник KLM, то S
△KLP
=
1 2
(KL + LP)r,
S
△ELR
=
1 2
(EL + З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 3
p
5. ... 30. ...
p
10 2
... 2
p
6. ... 2,4. ... 7,5.
... 113. ... 2. ...
p
10. ... 18. ... 2
p
6. ... 2
p
3.
...
60
p
2 7
... 2
p
2. ...
R
p
2 2
, R
p
2
−
p
2, R. ... 5,
24 5
,
24
p
2 7
§ . Отношение отрезков
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 1 : 7, считая от точки C. .. 2 : 1, считая от точки B. .. 5 : 24.
.. 8 : 13. .. 20 : 21; 6 : 35. .. 5 : 6; 8 : 25. .. 1 : 2. .. 1 : 6, считая от точки A.
.. 1 : 3, считая от точки A. ..
a + b
c

Ответы и указания
Тðåíèðîâî÷íûå çàäà÷è
.. n : m. .. 3 : 1, считая от вершины A. .. 1 : 1. .. 4. .. 10.
.. 2
p
6. .. 1 : 3. .. 3 : 1. .. 1 : 4. ..
p
13. .
∗
. 1 : 2.
.
∗
. а) 1 : 1, 5 : 9; б) 5 : 21. .
∗
. 4 : 3. Указание. Пусть D и E — середины хорд MN и BC соответственно, O — центр окружности. Тогда AP
· AE =
=
AD
· AO = AM
2
=
AB
· З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 1 : 1. ... 1 : 2. ... 5 : 1. ... 5 : 4. ... 3 : 1, считая от вершины A.
... 2 : 1, считая от вершины C. ... 2 : 3. ... 1 : 6.
... 9. ... 6. ... 4 и 12. ... 12 и 24. ... 90
◦
, 90
◦
, arcsin
3 5
,
180
◦
− arcsin
3 5
... 3 : 5. ... 1 : 3. ... 1 : 2, считая от вершины, считая от вершины A.
§ . Отношение площадей
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 1. ..
13 20
..
2 15
..
1 3
..
1 3
.. 18
p
2. Т çàäà÷è
.. 2
p
S
1
S
2
..
1 4
..
2mn
(m + n)
2
..
S
1
+
S
2 2
.. 120.
.. (
p
S
1
+
p
S
2
)
2
..
10 3
..
S
2
.. 2S. ..
ab
(a + b)
2
..
1 5
..
b(3a + b)S
2(a + b)(2a + b)
.. 2 : 1. ..
1 3
d.
.. 45
◦
, 90
◦
, 45
◦
.. 9
q
2 7
.. (
p
S
1
+
p
S
2
+
p
S
3
)
2
. ..
2
p
S
2
(S
1
+
S
2
)
4
p
4S
2 1
− S
2 2
. .. 3. ..
abc
kmc + nma + knb
..
(l sin γ + m sin α + n sin β)
2 2 sin α sin β sin γ
.. 2
p
pq.
.. 13 : 23. .. 1 + 3k.
..
1 З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 1 : 3. ... 1 : 3. ... 1 : 6. ... 1 : 10. ... 9 : 16. ... 1 : 4.
... 1 : 3. ... 5 : 12. ... 5 : 9. ... 8 : 15. ... 12 : 25.
... 25 : 81. ... 3. ... 4. ... 7 : 20. ... 7 : 9. ... 3, 12,
6, 6. ... 2 : 3. ... 3. ... 13, 13, 13, 13. ... 2 : 1. ... 2 : 3.

Ответы и указания . Касательная к окружности
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
.. 45
◦
.. 80
◦
.. 12 и 20. .. 1 : 3, считая от точки O. .. 9.
.. 24. .. 2(r + R) или 2(R
− r). ..
a
2 cos
α
2
.. 90
◦
. .. r
2
(2
p
3 + 3).
..
a + b
2
.. 8 и Т çàäà÷è
.. 2. ..
20 3
.. 48 и 30. .. 14. .. 10. .. 15 или 3.
..
4a
7
,
5a
7
..
a sin β
sin α
ctg
α + β
2
..
120 17
..
p
2ar. .. 90
◦
, или 90
◦
, arctg 3, arcctg 3. .. sin 2α. .. 2
p
9 + 6
p
2. Указан и е.
Если O — центр окружности, то прямоугольный треугольник OBC — равнобедренный. Указание. Если данная окружность касается прямых BC ив точках P и Q соответственно, а AH — высота треугольника ABC, то 3
, а полупериметр треугольника равен отрезку AQ.
.. 8. Указание. Опустите перпендикуляры из центров окружностей на хорду З íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 49. ... 16
p
3. ... 90
◦
... 60
◦
... 2(2 +
p
3).
... (2
−
p
3) : (2 +
p
3) = 7
− 4
p
3. ... 3
p
3. ... 32. ... 11.
... 60. ...
9R
2
p
3 4
. ...
42 25
. ... 2
p
41. ... 3
p
10. ... и 16. ... 8
p
13. ... 15. ... 19,5. ... 15. ... 48.
§ . Касающиеся окружности
Пîäãîòîâèòåëüíûå çàäà÷è
..
R, 60
◦
,
60
◦
,
60
◦
.. 9. .. 84. .. 4. .. 24. .. 55.
.. R(
p
2 + 1). .. 2. ..
|R
2
− a
2
|
2R
.. 60
◦
.. 3r. .. 1 : 3.
.. 6r
p
3. .. R(2
p
3
− 3). ..
a + Т çàäà÷è
.. 8. .. 3
p
2. ..
a
2
+
4r
2 4r
.. 3 : 2 или 1 : 2. ..
a
4
tg α,
a
4
ctg α.
.. 7. ..
2rR
r + R
..
ar
2r + a
.. 8. .. 30
◦
.. 3 : 2. .. 3.
.. 2
p
Rr, 2r
q
R
R + r
, 2R
q
r
R + r
..
Rr
(
p
R
±
p
r)
2
.. 6. ..
15 4
;
20 3
.. 1. .. 12. ..
9 или 2
..
9 или 10
.. 2
±
4 3
p
2.

Ответы и указания 9 или 3 + 2
p
3. ..
rR
p
3
p
r
2
− rR + R
2
..
a
q
1
±
r
R
.. b
p
k
2
± k. ..
p
5 2
.. 2
p
2. .. 12π. ..
R
p
3 4
.. Указан и е.
Примените формулу Герона.
.
∗
.
2rR
R
− r
. Указание. Точка пересечения прямых AB и MN лежит на прямой, проходящей через центры первых двух окружностей.
Зàäà÷è íà äîêàçàòåëüñòâî è âû÷èñëåíèå
... 3
p
13. ... 156, 65. ... 1 и 4. ...
65 12
,
156 5
... 26.
... 2,5. ...
15 8
... 23. ... 1 : 2. ... 10. ... 2.
... 24. ... 3. ...
3 + 2
p
3 9
. ... 80
p
3. ... 60
p
2. ... 2,5.
... 2.