Функция Эйлер. Функция Эйлера (1). Эйлер функциясы

Название	Эйлер функциясы
Анкор	Функция Эйлер
Дата	20.11.2022
Размер	68.9 Kb.
Формат файла
Имя файла	Функция Эйлера (1).docx
Тип	Документы #802300
страница	2 из 6

1 2 3 4 5 6

Мультипликативтілік функциялары Эйлер

Бір бастап майор қасиеттері функциялары Эйлер болып табылады оның бірнеше және - белсенділік . Бұл сипатты Эйлер белгіледі және формуласы - etsya ол Келесі жолы: үшін кез келген өзара қарапайым сандар мжәне n

ϕ ( мин ) = ϕ ( m ) ϕ ( n ) .

Функция Эйлер бастап қарапайым сандар

Үшін қарапайым бмағынасы функциялары Эйлер беріледі айқын формула:

ϕ ( p ) = б− 1 ,

қай керек бастап анықтамалар. Шынымен, егер б— қарапайым, содан кейін барлық сандар, кішірек p , өзара қарапайым бірге ол, а олар тегіс б− бір заттар. Үшін есептеулер функциялары Эйлер бастап дәрежесі қарапайым сандар пайдалану -

zuyut Келесі формула:

ϕ ( p ⁿ) = p ⁿ− p ⁿ⁻¹.

Бұл теңдік келесідей негізделеді. О -ға дейін санайық 1 -ден p ^{n -ге дейінгі,}p ^{n -ге тең}емес сандар саны . Олардың барлығы, анық, еселік p , содан кейін сонда бар, бар көру: p,2p ,3p ,...,( p ⁿ⁻¹ − 1) б.Барлық-

th осындай сандар p ⁿ⁻¹ − 1 . Сондықтан сомасы сандар, өзара қарапайым бірге

p ⁿ, тең p ⁿ− бір − ( p ⁿ⁻¹ − бір) = p ⁿ− p ⁿ⁻¹.

Функция Эйлер бастап табиғи сандар

ϕ(n) = n^Q_p_|_n 1 − , n>1,
ϕ ( n ) есептеу ерікті табиғи n үшіннегізделген Эйлер функциясының көбейтіндісі туралы , ϕ ( p n ⁾өрнекі және т.б. Арифметиканың негізгі теоремасы бойынша да солай. Ерікті табиғи үшін сандар мағынасы ϕ ( n ) сияқты жылы пішін:

бір

б

мұндағы p - жай сан және оған қатысты барлық мәндер арқылы өтеді позиция nүстінде қарапайым факторлар.

Қасиеттер

Жалпыланған мультипликативтілік

функциясы мультипликативті арифметикалық функция болып табылады - ция , содан кейін сонда бар

ϕ ( мин ) = ϕ ( m ) ϕ ( n ) ∀ m,n∈ : ( м,n ) = 1 .

Мұнда ең үлкен ортақ бөлгіш m болуы маңыздыжәне nтең бірлік. Бұл формуланың жағдайға жалпылауы бар екен m және n бірден басқа ортақ бөлгіштер болғанда . Атап айтқанда, үшін кез келген табиғи мжәне n:

ϕ(d)
ϕ ( м· n ) = ϕ ( м ) · ϕ ( n ) ·^d,

қайда г— ең үлкен жалпы бөлгіш мжәне n.ол мүлік болып табылады табиғи жалпылау мультипликативтілік . \ cdots d_{K}ˆ{\ дельта _{K)),

1

k

1

r
м ^′ = d ^α¹· · · d ^α^k· p ^β¹· · · p ^β^r,

k+1

K

1

s
n ^′ = d ^γ^k⁺¹· · · d ^γ^K· q ^ϵ¹· · · q ^ϵ^с.

Мұнда бірінші кбөлгіштер гболып табылады сондай-ақ бөлгіштер м ^′,а жақында

Қ− кбөлгіштер гболып табылады бөлгіштер n ^′.Жазайық:

1

k

k+1

K

1

k

1

r

k+1

K

1
ϕ ( мин ) = ϕ ( d ²m ^′n ^′) _ = ϕ (( d ^d¹· · · d ^d^k· d ^δ^k⁺¹· · · d ^d^K) ²· d ^a¹· · · д ^а^к· p ^b¹· · · p ^b^r· d ^c^k⁺¹· · · d ^c^K· q ^ϵ¹·
AT күш мультипликативтілік функциялары Эйлер, а сондай-ақ бірге ескере отырып r- үшін қашырлар

−
ϕ ( p ⁿ) = p ⁿ(1 ¹) ,

б

қайда б— қарапайым, Біз алып жатырмыз:

1

d₁

k

d_k

1

p₁

r

p_r

k+1
= d ^α¹⁺^δ¹(1 −¹) · · · d ^α^k⁺^δ^k(1 −¹) · p ^β¹(1 −¹) · · · p ^β^r(1 −¹) · d ^δ^k⁺¹(1 −

^dk+1

K

d_K
¹) · · · d ^δ^K(1 −¹)

k+1

^dk+1

K

d_K

1

q₁

s

q_s

1
· d ^γ^k⁺¹⁺^δ^k⁺¹(1 − ¹) · · · d ^γ^K⁺^δ^К(1 − ¹) · q ^ϵ¹(1 − ¹) · · · q ^ϵ^с(1 − ¹) · d ^δ¹(1 −

d₁

k+1

^dk+1
¹) · · · d ^δ^k⁺¹(1 −¹)

· .
1

d₁

d_K
( 1 − ¹) ··· (1 − ¹)

AT бірінші түзу жазылған ϕ ( м ) ,жылы екінші — ϕ ( n ) ,а үшінші алады дейін- _ қою, Қалай d/ϕ ( d ) .Сондықтан :
гϕ ( м· n ) = ϕ ( м ) · ϕ ( n ) · _ϕ₍_d₎.

}} Кейбір жеке жағдайлар:

ϕ( нм ) ^_ = n ^m^-¹ϕ ( n ) .
ϕ ( М) · ϕ ( d ) = ϕ ( м ) · ϕ ( n ) ,қайда М— кем дегенде жалпы бірнеше м

және n _ а г— олар ең үлкен жалпы бөлгіш.

1 2 3 4 5 6