Функция Эйлер. Функция Эйлера (1). Эйлер функциясы

• Название: Эйлер функциясы
• Анкор: Функция Эйлер
• Дата: 20.11.2022
• Размер: 68.9 Kb.
• Имя файла: Функция Эйлера (1).docx
• Тип: Документы; #802300
• страница: 6 из 6

Сан Дирихлет

• 
  
  ζ(s)
  Қатар Дирихлет бірге коэффициенттер ϕ ( n ) алады таныстыру арқылы zeta функциясы Риман:
  

Σ ∞ n =1

ϕ ( n ) _n с

₌ ζ ( s − 1) _{,с>2 .}

Қатар Ламберт

• 
  сомасы қатар Ламберт бірге коэффициенттер ϕ ( n ) :
  

Σ ∞ n =1

ϕ ( n ) q ⁿ


1 − qn ^_

=^q , q<1 .


| |
(1 − q ) ²

ең үлкен жалпы бөлгіш

• 
  
  Σ
  Функция Эйлер болып табылады дискретті түрлендіру Фурье және - _ Көбірек жалпы бөлгіш:
  

ϕ ( n ) =

n
k =1

gcd ( k,n ) e

к

− 2 pi _{n .}

Жарамды бөлігі:


gcd(k,n) cos 2π_n.

ϕ(n) =
_Σ nk _{_}


k=1




AT айырмашылық бастап жұмыс істейді Эйлер, есептеулер қосулы бұл формулалар

емес талап етеді білім бөлгіштер n.

Қолданбалар және мысалдар

Функция Эйлер жылы RSA

Үстінде негізі алгоритм, ұсынылған жылы 1978 жыл Рональд Rive e- стома , Ади Шамир және Леонард Адлеман болды салынған бірінші

жүйесі шифрлау бірге ашық кілт, алды тақырып қосулы транс- _ RSA жүйесінде авторлар тегінің бірінші әріптері берілген. Мұның криптографиялық күші жүйе бүтіннің факторизациясының күрделілігімен анықталады n -бит саны. RSA алгоритмінде негізгі рөлді функция атқарады Эйлер, оның қасиеттері криптографияны құруға мүмкіндік береді жүйесі бірге ашық кілт.

жұбын жасау кезеңінде - lyatsya

ϕ ( n ) = ϕ ( б· q ) = ( б− бір) · ( қ− 1) ,

қайда бжәне q— қарапайым. Содан кейін таңдалады кездейсоқ сандар d, eСонымен, дейін

г· e= бір мод ϕ ( n ) .

Содан кейін хабар шифрланған ашық кілт адресат:

в= мен ^_мод n.

құпияның иесі ғана хабарламаның шифрын шеше алады. бөлшек сауда кілт d :

м= c ^dмод n.

тұжырымның дұрыстығы Эй- теоремасына негізделген. Лера және қытай теорема туралы қалдықтары.

есептеу кері элемент

Функция Эйлер мүмкін болу пайдаланылады үшін есептеулер артқа - _ th қосулы көбейту элемент қосулы модуль n _ а дәл:

a ^{− 1} ≡ a ^{ϕ ( n ) − 1} (мод n ) ,егер ( а,n ) = 1 .

Бұл формуласы керек бастап теоремалар Эйлер:

1 = ( a · a ^{- 1} ) · a ^{ϕ ( n )} м о д n= a · ( a ^{− 1} · a ^{ϕ ( n )} ) м о д n= a · a ^{ϕ ( n ) − 1} м о д n.

Шешім сызықтық салыстырулар

Кері элементті есептеу әдісін қайталау үшін қолдануға болады . шешімдер салыстырулар

а· x≡ б( мод n ) .

Шешім беріледі формула:

x≡ б· a ^{ϕ ( n ) − 1} (мод n ) ,егер ( а,n ) = 1 .

есептеу қалдық бастап бөлу

Эйлер функциясы үлкенді бөлгеннен кейінгі қалдықты есептеуге мүмкіндік береді сандар.

Табу тапсырыс мультипликативті топтар сақиналар есептеу e - жолдас

Мультипликативті Топ сақиналар шегерімдер қосулы модуль мтұрады бастап

ϕ ( м ) сыныптар шегерімдер.

Мысал. Қалдықтардың қысқартылған жүйесі 14 модулі ϕ (14) = тұрады 6 сыныптар шегерімдер: [1] ₁₄ ,[3] ₁₄ ,[5] ₁₄ ,[9] ₁₄ ,[11] ₁₄ ,[13] ₁₄ .

Қолданбалар жылы теориялар топтар

Ақырлы циклдік топтағы генераторлар саны Gϕ ( | G | ) -ге тең . Атап айтқанда, сақинаның мультипликативті тобы vyc e - модуль m - циклдік топ - бұл тек мүмкін m = 2 , 4 , p ⁿ , 2 p ⁿ үшін , мұндағы p - тақ жай сан, n - натурал сан, онда топтың ϕ ( ϕ ( m )) генераторлары бар (қарабайыр түбірлер, айтпақшы - соққы м ).

Мысал . А тобы Z ^× _{1 4} ,Мен қаралдым жылы мысал e жоғарыда , т бар ϕ ( ϕ (14)) =

ϕ (6) = 2 генератор: 3 және 5 .

Шешілмеген сұрақтар

Тапсырма Лемер

Белгілі болғандай, егер p жай болса, онда ϕ ( p ) = p − 1 . 1932 жылы сұрады ϕ ( n ) болатындай n құрама саны бар ма деген сұрақ бөлгіш n− 1 .Лемер қарастырылады теңдеу:

kϕ ( n ) = бойынша− 1 ,

қайда к— тұтас. Оған басқарған дәлелдеу, не егер n- _ шешім e - теңдеуі , онда не n жай, не жеті немесе көбейтіндісі айқынырақ жай сандар. Кейінірек басқа күштер дәлелденді - nye мәлімдемелер. Сонымен, жылы 1980 жыл Коэнжәне Хагискөрсетті не егер n

құрама және ϕ ( n ) бөледі n− 1 ,содан кейін n>10 ²⁰ және ω ( n ) ≥ 14 ,қайда ω ( n ) — -ға _

тұлға қарапайым бөлгіштер. AT 1970 жыл Лювенс орнатылған, не егер

3 | n,содан кейін ω ( n ) ≥ 213 және n>5 , 5 × 10 ⁵⁷⁰ .қабырға жылы 1980 жыл дәлелдеді не егер

отыз | n,содан кейін ω ( n ) ≥ 26 .

Осы күнге дейін мәселенің композиттік шешімдерінің бар-жоғы белгісіз. Lemaire . Егер біз олар жоқ деп есептесек, біз мынаны аламыз - үрлеу критерий сен тек: n— қарапайым содан кейін және тек содан кейін, қашан

ϕ ( n ) | n− 1 .

Гипотеза Кармайкл

Егер а қара тіпті үстінде бірінші он құндылықтар функциялары Эйлер

{бір, бір, 2, 2, төрт, 2, 6, төрт, 6, төрт}, асығыс жылы көздер, не арасында олар көптеген қайталау о - гүрілдеу . Кармайклдың гипотезасы - мұндай құндылық жоқ м , қай функциясы Эйлер орналастырылды болар еді тек бір бір рет.

AT 1907 жыл Кармайкл ұсынылған Қалай жаттығу дәлелдеу артынан

схема мәлімдеме:

Егер а n— табиғи саны, содан кейін бар табиғи саны м/ = n

осындай не ϕ ( n ) = ϕ ( м ) .

Әйтпесе, бұл мәлімдемені келесідей тұжырымдауға болады: жоқ табиғи сандар мосындай не күңгірт ( ϕ ^{− 1} ( м )) = 1 .

Дегенмен жылы 1922 жыл Кармайкл ашылды не ұсынылған олар бұрын-

дәлелде қате бар. Сол жылы, ол егер көрсетті күңгірт ( ϕ ^{− 1} ( м )) = 1 ,содан кейін n>10 ³⁷ .Кейінірек бұл бағалау бірнеше рет жетілдірілді las , және төменгі шегінің заманауи мәні, одан бастауға тұрарлық Кармайкл болжамына қарсы мысалды іздеңіз , онда n = 10 ¹⁰ 7 бар . Бұл белгілі _ оқу алды Шлафли және вагон жылы 1994 жыл, қолдану әдіс Кли .

Шығындар Белгі, не жылы 1999 Форд дәлелдеді Келесі теорема:

∀k _≥ 2 м: күңгірт ( ϕ ^{− 1} ( м )) = к.

k ≥ 2 санын ескере отырып, табуға болатынын білдіреді Эйлер функциясының мәндер жиынының арасында m мәні бар , ол қабылданды тегіс кбір рет. Алайда , дәлелдеу, не Жоқ осындай құндылықтар,

осы уақытқа дейін тек бір рет қабылдайды ешкім емес басқарған.