Функция Эйлер. Функция Эйлера (1). Эйлер функциясы

• Название: Эйлер функциясы
• Анкор: Функция Эйлер
• Дата: 20.11.2022
• Размер: 68.9 Kb.
• Имя файла: Функция Эйлера (1).docx
• Тип: Документы; #802300
• страница: 1 из 6

Эйлер функциясы ϕ ( n ) мультипликативті арифметикалық функция болып табылады - ция , тең саны табиғи сандар, кішірек nжәне өзара жақтаушы тыныштық бірге ол. Сағат бұл сену қосулы анықтамасы, не саны бір өзара жай ко барлығы табиғи сандар және ϕ (1) = 1 .

Мысалға, үшін сандар 24 бар сегіз кішірек оның және өзара қарапайым бірге ол сандар (бір, 5, 7, он бір, 13, 17, 19, 23), сондықтан ϕ (24) = 8 .

Оны алғаш рет 1760 жылы қолданған Эйлердің атымен аталған жылы олардың жұмыс істейді қосулы теориялар сандар үшін дәлелі кішкентай теоремалар Fe r - ma , содан кейін жалпы бекітуді, теореманы дәлелдеу үшін Эйлер. Кейінірек бұл функцияны Гаусс өзінің « Арифмет және - » еңбегінде пайдаланды. кал зерттеу , 1801 жылы жарияланған. Гаусс не болғанын таныстырды стандартты белгілеу ϕ ( n ) .

Функция Эйлер табады қолдану жылы сұрақтар қатысты теориялар

бөлінгіштік және қалдық (модульдік салыстыруды қараңыз), сандар теориясы, крипт o- графика. Функция Эйлер ойнайды кілт рөл жылы алгоритм R.S.A.

есептеу

Жалпы ақыл

Эйлер функциясы ϕ ( n ) шамамен t -ден қанша натурал сандарды көрсетеді кесу [1 ,n − 1] c n тек бір ортақ бөлгіші бар — бір. Саңырауқұлақ - _ Эйлер өрнегі натурал сандар жиынында және оның мәндерінде анықталады өтірік жылы көптік табиғи сандар.

ϕ ( n ) есептеу үшін қайталау керек 1 -ден n - 1 -ге дейінгі барлық сандар және әрбір үшін оның шамамен b- бар-жоғын тексеріңіз. n бар ортақ бөлгіштер , содан кейін қанша санның өзара болатынын есептеңіз n көмегімен қарапайым . Үлкен n сандары үшін бұл процедура өте көп уақытты қажет етеді, сондықтан ϕ ( n ) есептеу үшін c- шамасындағы басқа әдістер қолданылады. жаңа үстінде нақты қасиеттері функциялары Эйлер.

Оң жақтағы кесте E e функциясының алғашқы 99 мәнін көрсетеді . Лера . Осы деректерді талдай отырып, ϕ ( n ) мәнін байқауға болады. емес асып түседі n− 1 , және жылы дәлдік оған тең, егер n— қарапайым. Сонымен

Осылайша, егер координаттарда ( n,у ) у түзуін сызу= n − 1 , сонда y = ϕ ( n ) мәндері осы сызықта немесе оның астында болады. Сондай-ақ, қарап үстінде кесте, қысқартылған жылы ерте мақалалар, және үстінде құндылықтар

кестеде түзу сызық өтіп жатыр деп болжауға болады ϕ ( n ) мәндерін төменнен шектейтін нөлге дейін. Дегенмен , дәлелдеу - Мұндай түзу сызық жоқ екен. Яғни, қандай жұмсақ түзу болса да ϕ ( n ) болатындай n натурал саны әрқашан болады. осы сызықтың астында жатыр. Графиктің тағы бір қызықты ерекшелігі бойымен кейбір түзу сызықтардың болуы құндылықтар функциялары Эйлер. Сонымен, Мысалға, сонымен қатар Түзу ж= n− 1 ,

үстінде қай өтірік құндылықтар ϕ ( n ) = n− 1 , қайда n— қарапайым , бөледі -

Ся шамамен сәйкес келетін түзу сызық y = n/ 2 , ол бойынша құндылықтар ϕ ( 2n ) = ϕ ( n ) = n− 1 , қайда n— қарапайым.

Көбірек деталь мінез-құлық функциялары Эйлер қарастырылады жылы ра с- әрекет #Асимптотикалық қатынасы.

ϕ ( n )	+0	+1	+2	+3	+4	+5	+6	+7	+8	+9
0+		1	1	2	2	4	2	6	4	6
10+	4	10	4	12	6	8	8	16	6	18
20+	8	12	10	22	8	20	12	18	12	28
30+	8	30	16	20	16	24	12	36	18	24
40+	16	40	12	42	20	24	22	46	16	42
50+	20	32	24	52	18	40	24	36	28	58
60+	16	60	30	36	32	48	20	66	32	44
70+	24	70	24	72	36	40	36	60	24	78
80+	32	54	40	82	24	64	42	56	40	88
90+	24	72	44	60	46	72	32	96	42	60

Кесте бір: Бірінші 99 құндылықтар функциялары Е ж- Лера