Решение электродинамика. Бабенко примеры задач. Электродинамика и распространение радиоволн упражнения и задачи

• Название: Электродинамика и распространение радиоволн упражнения и задачи
• Анкор: Решение электродинамика
• Дата: 02.11.2021
• Размер: 1.51 Mb.
• Имя файла: Бабенко примеры задач.doc
• Тип: Учебное пособие; #261268
• страница: 4 из 6

Волны в прямоугольном волноводе

Решение однородного скалярного уравнения Гельмгольца ² + k² = 0 для пространственной структуры, однородной в направлении z (все сечения структуры плоскостью z = const тождественны), где параметр k имеет постоянное значение в подобластях, на границах удовлетворяет заданным условиям, можно представить в виде произведения двух функций разных аргументов (x, y, z) = T(x, y) Z(z).
Для этих функций Т(x,y) и Z(z) справедливы уравнения

d²Z dz² + Г² Z = 0, _²T + ² T = 0. ² = k² – Г².

Введено обозначение _² = ²/ x² +²/y².

Использованный прием решения называется методом разделения переменных.

Решение дифференциального уравнения для Z(z) можно записать в форме

Z (z)= exp( - iГz) + exp (iГz). и - неопределенные константы.

При этом = T(x,y) exp (- iГz) + T(x,y) exp (iГz) .

По форме два члена решения – комплексные амплитуды волн. Это неоднородные волны, так как их амплитуды зависят от поперечных координат x, y. Если Г – вещественная величина, то она играет такую же роль, как k – волновое число. При комплексном Г = Г ’ – i Г ” (Г ’, Г ” > 0) имеем Г ’=  / v_ф = 2 / , где  - длина волны, v_ф – ее фазовая скорость, Г ”- коэффициент затухания. Величина Г называется продольным волновым числом, или постоянной распространения. Параметр  - поперечное волновое число.

Не известны функция T(x,y) и параметр ². Само по себе уравнение

_²T + ² T = 0 не имеет определенных решений. Необходимо поставить краевую (граничную) задачу. Например, если задать на контуре L_ обобщенного цилиндра T = 0, будет сформулирована задача Дирихле. Предположим, что задача внутренняя, т.е. решение Т ищется внутри обобщенного цилиндра. Тогда задача имеет бесконечное множество решений Т_n, каждое из которых реализуется при определенном значении параметра ². Решения Т_n называются собственными функциями, а соответствующие им значения _n² параметра ² – собственными значениями. Если разным собственным функциям соответствуют одинаковые собственные значения, то последние называются вырожденными.

Если на контуре L_ задано T / n = 0 – то это краевая задача Неймана. Это задача также порождает систему собственных функций, которым отвечают собственные значения.
В продольно однородной структуре поперечные компоненты поля (составляющие векторов, лежащие в поперечной плоскости сечения структуры) и продольные компоненты (совпадающие с направлением вдоль структуры) связаны соотношениями.



,

Индекс () употреблен в качестве знака отсутствия производных по z.

Волна, переносящая энергию в направлении z , обязательно должна иметь как поперечную электрическую , так и поперечную магнитную компоненты . В противном случае вектор Пойнтинга .

При этом достаточно, чтобы электромагнитное поле имело только одну продольную компоненту – либо Н_z, либо E_z. Общее решение может рассматриваться как наложение двух частных, для одного из которых E_z 0, Н_z = 0 – класс Е- волн, или электрических волн (ТМ - волны), а для другого Н_z  0, E _z= 0 – класс Н- волн, или магнитных волн (ТЕ – волны). Волновые процессы, имеющие как электрическую, так и магнитную продольные компоненты, называют гибридными волнами.

Простейшая электромагнитная волна в свободном пространстве, которая является продольно однородной структурой, лишена продольных компонент (E_z= 0, Н _z = 0). Она относится к классу Т- волн (ТЕМ- волн – поперечно-электромагнитные волны). Существование таких волн возможно при ² = 0. При этом Г = k, т.е. любые Т- волны распространяются в среде с той же фазовой скоростью, что и плоская однородная волна.

В отличие от Т- волн для всех остальных волновых процессов Г = (k² - ²) ^1/2 . Если рассматривать незатухающие волны, для которых Г – вещественная величина, то при ² > 0  Г < k, фазовая скорость рассматриваемой волны v_ф > v – больше скорости Т – волны в рассматриваемой среде. Это быстрые волны. При ² < 0, т.е. при мнимых поперечных волновых числах, v_ф < v – это медленные волны.
В прямоугольном волноводе с идеально проводящей оболочкой могут существовать только волны классов Е- и Н-. Так как поперечные составляющие векторов поля выражаются через продольные, то для вычисления поля этих волн достаточно определить составляющую или соответственно. ( ).
Е – волны.

 ²_z x² +²_z y² +² _z = 0, _z = 0 на прямоугольном контуре L.

Это - краевая задача Дирихле. Задача решается методом разделения переменных _z =X (x) Y(y).

Продольная составляющая электрического поля

_z^mn (x,y) = E₀^mn sin(mx/a) sin(ny/b); _mn² = (m  / a)² + (n  / b)².

Разным значениям m, n соответствуют разные типы колебаний (разные моды)

m = 1, 2, 3,… n = 1, 2, 3,… Значения m = 0, n = 0 не годятся, так как в этом случае _z = 0 во всех точках внутри волновода.

Для нахождения постоянной E₀^mn требуются дополнительные данные, например, более конкретные сведения об источнике, создающем рассматриваемую волну.

Продольное волновое число Г_mn= k [1- (f_кр^mn / f)²]^1/2 = k [1 – (  _кр^mn)²]^1/2, критическая частота для определенного типа колебаний

f_кр^mn = [c/2(_r_r )^1/2][(m /a)² + (n /b)²]^1/2,

_кр^mn= 2/ [(m /a)² + (n /b)²]^1/2 - критическая длина волны.

Z_mn^E = Г _mn/( ) –волновое сопротивление в Е - классе

Н – волны. В этом случае требуется решение второй краевой задачи для _z.

На стенках волновода граничные условия:

 _z / x = 0 при x = 0, a,  _z / y = 0 при y = 0, b.

Результат решения этой краевой задачи

_z^mn = H₀^mn cos (mx/a) cos (ny/b); _mn² = (m  / a)² + (n  / b)².

m = (0), 1, 2, … n = (0), 1, 2, … В случае H– волн m и n могут принимать нулевые значения. Однако они не могут равняться 0 одновременно: при этом составляющая _z не зависит от переменных x и y и вектор электрического поля будет тождественно равен 0, что невозможно. H₀^mn - неопределенная постоянная. Постоянная распространения Г_mn, критическая частота f_кр^mn и критическая длина волны _кр^mn такие же, как для волн класса Е. Волновое сопротивление в Н- классе

Z_mn^H = ₀_r  Г_mn= Z_c0 [1- (f_кр^mn / f)²] ^{- 1/2} = Z_c0[1 – (  _кр^mn)²]^{- ½},

Z_c0 =120 (_r /_r)^1/2.
Структура поля в поперечном сечении (при фиксированном значении координаты z) аналогична структуре стоячей волны. Индекс m равен числу полуволн (_x/2=a/m), укладывающихся на поперечном размере «а» стенки, параллельной оси х. Индекс n равен числу полуволн (_y/2=b/n), укладывающихся на поперечном размере «b» стенки, параллельной оси y. Равенство 0 одного из индексов означает, что поле рассматриваемой волны не зависит от соответствующей координаты.

Распространение волны происходит только, если постоянная распространения волны Г_mn – вещественная, т.е. при  < _кр^mn. Длина волны в волноводе определяется продольным волновым числом Г_mn

, . Здесь - «рабочая» длина волны в среде, заполняющей волновод. Фазовая скорость, или скорость перемещения фазового фронта , а групповая скорость, или скорость переноса энергии , - скорость распространения волны в однородном пространстве с проницаемостями .

Для различных типов волн критическая длина волны зависит от размеров а и b и от индексов m и n. При увеличении значений индексов и фиксированных размерах волновода значение _кр^mn уменьшается.

Наибольшую критическую длину при a > b имеет волна Н₁₀. _кр¹⁰=2а. Волну, имеющую наибольшую _кр^mn, называют основной волной рассматриваемой линии передачи (или волной низшего типа). При a > b, основной волной прямоугольного волновода является волна Н₁₀.

При фиксированной частоте f только для некоторых достаточно малых m и n выполняется условие f > f_кр ( f_кр^mn =[ c/ [2 (_r_r)^1/2]] [(m /a)² + (n /b)²]^1/2 ), лишь для конечного числа типов Г_mn вещественное и только эти типы имеют характер распространяющейся волны, переносящей энергию. Если а > b, волна Н₁₀ - волна с наименьшей критической частотой

f_кр^min = f _кр¹⁰ = [c /(_r_r)^1/2] (1/2a).

Отличительное свойство основной волны – однородность поля в направлении оси у. = E₀ sin ( x / a) exp( -iГ₁₀ z)

= (E₀/ Z₁₀^H) [- sin ( x / a) + (i  Г₁₀ a) cos ( x / a)] exp( -iГ₁₀ z).

Если частота сигнала f > f_кр¹⁰ (т.е. больше критической для основного типа), но меньше критической частоты любого высшего типа f < f_кр^mn, то только основной тип будет распространяющимся. Такой режим работы волновода называется одноволновым (одномодовым).

Если размер a  2b, то ближайшим высшим типом будет Н_20.

Тип волны	Н10	Н01	Н11, Е11	Н20	Н02
кр	2а	2b	2ab(a2+b2) - 1/2	a	b

Одномодовый режим обеспечивается в диапазоне частот f₁ = c/2a и f₂ =c/a, отношение которых равно 2, т.е. ширина рабочего диапазона составляет одну октаву.
з апредельный рабочий диапазон многомодовый

(одномодовый)







0 H₁₀ H₂₀ H₀₁ H₁₁, E₁₁ 

Рабочий диапазон для одномодового режима a<  <2a .
Рассмотрим пример.

Сигнал с несущей частотой 30 ГГц передается по волноводу прямоугольного сечения 7.2 × 3.4 мм². Длина волновода L=10 м. Определить время задержки. Как изменится фаза несущей, если волновод удлинить на L=1 мм?

Длина волны в воздухе («рабочая» длина волны) м.

Критическая длина волны основного типа колебаний = 2 а = 0.0144 м.

Заданы такие размеры волновода (a>2b), что ближайшим типом колебаний будет мода с индексами (20): 0.0072 м. Так как в волноводе могут возбуждаться только такие моды, для которых «рабочая» длина волны меньше критической, в нашем примере волновод будет работать в одномодовом режиме. .

Длина волны в волноводе м (больше, чем длина волны в свободном пространстве). Время задержки сигнала определяется скоростью переноса энергии по волноводу, т.е. групповой скоростью . Групповая скорость м/c – меньше скорости света. Время задержки =46 нс.

Изменение фазы несущей – это изменение показателя в сомножителе , описывающем зависимость поля от продольной координаты. = 25.9 ^о
Элементарный электрический излучатель.

Элементарный электрический вибратор – это настолько малый элемент объема Dv = lDs, выделенный в области, где расположены сторонние источники, что комплексная амплитуда плотности тока в нем практически постоянна, а размеры малы по сравнению с длиной волны. Амплитуда и фаза тока не изменяются вдоль него. Приближенной физической моделью такого элементарного излучателя может служить так называемый диполь Герца.

П усть вибратор, расположенный в безграничной однородной изотропной среде, ориентирован вдоль оси z. Расположим начало координат в его средней точке. Ток в вибраторе I^ст = I_m^ст cos wt.

Предполагается,l << r, l<< l - элемент должен быть мал по сравнению с расстоянием наблюдения и мал в волновом масштабе

Выражения для комплексных амплитуд векторов поля

,



Вектор напряженности электрического поля имеет две составляющие Е_q и Е_r, вектор напряженности магнитного поля имеет одну компоненту Н_j. Таким образом в любой точке пространства вектор лежит в меридиональной плоскости, т.е. в плоскости, проходящей через ось вибратора и точку наблюдения, вектор лежит в азимутальной плоскости, т.е. в плоскости, перпендикулярной оси вибратора. На любой сферической поверхности r = const любая из компонент Е_r, Е_q, Н_j синфазны, но амплитудное распределение зависит от угла q. Поле меняется при изменении r. Поле обладает осевой симметрией (отсутствует зависимость от угла j).

При анализе структуры электромагнитного поля излучателя пространство вокруг него обычно делят на три зоны: дальнюю или волновую (kr>>1), ближнюю (kr<<1) и промежуточную.

Поле в ближней зоне. Здесьr<< l, следовательно, можно считать exp(-ikr) »1 и оставить в выражениях соответствующие слагаемые (1/ r ⁿ) с учетом их малости.

, .

- комплексная амплитуда момента диполя.

Распределение электрического поля такое же, как и в случае электростатического диполя. Однако поле переменно во времени и изменяется по закону cos (wt+ y). Выражение для напряженности магнитного поля совпадает с формулой закона Био –Савара (где I – ток в вибраторе в рассматриваемый момент времени). Таким образом, в ближней зоне преобладает квазистационарное поле. Эта зона индукции. Вектора и сдвинуты по фазе на 90⁰. Следовательно, вектор Пойнтинга – мнимая величина, ее среднее значение равно 0. Этот результат – отсутствие в среднем переноса энергии – получен из-за приближенного представления поля. В ближней зоне существуют относительно большие реактивные поля.

Заметим, что в случае среды без потерь полные потоки энергии в ближней и дальней зонах одинаковы, а плотность потока энергии в ближней зоне значительно больше, чем в дальней.

В дальней зоне, на расстояниях r >> l, основную роль играют слагаемые, содержащие множитель [exp(-ikr)]/r.

,

, .

Поле в дальней зоне имеет характер сферической волны с постоянной распространения k= w / c = 2 p/l. Электрические и магнитные компоненты синфазны. Синфазность векторов и означает вещественность вектора . Следовательно, существует поток мощности в окружающее пространство. Амплитуда поля зависит от расстояния (как 1/r) и от угла q и не зависит от угла j, т.е. излучение обладает некоторой направленностью. В направлениях q = 0, q = 180⁰ излучение отсутствует. В экваториальной плоскости (q = 90⁰) излучение максимально. Диаграмма направленности - распределение излучения в меридиональной плоскости.


Волна неоднородна: поверхности равных амплитуд определяются уравнением sinq/r=const и не совпадают с поверхностями равных фаз. Поле содержит только поперечные составляющие Н_j и Е_q, которые взаимно перпендикулярны и перпендикулярны направлению распространения волны (нет компонент нормальных поверхности фазового фронтаr = const, т.е. поле может быть отнесено к классу Т). Связь между векторами и такая же, как в плоской волне - волна является локально плоской и в малой области пространства практически не отличается от плоской однородной Т – волны.

Промежуточная зона является переходной от ближней зоны к дальней. При анализе выражений в этом случае нельзя пренебречь ни одним из слагаемых. Следовательно, в промежуточной зоне поле излучения и реактивное (связанное с вибратором) поле оказываются одного порядка.
Рассмотрим пример.

Н а высоте h₁ над поверхностью земли расположен элементарный электрический излучатель А, ориентированный вдоль нормали к поверхности. Определить вектор напряженности электрического поля в точке В, расположенной на высоте h₂. Расстояние d>> .

Поле в точке В является суперпозицией полей двух волн: прямой волны от источника в направлении и волны отраженной от поверхности земли в направлении : .

Известно, что вектор напряженности электрического поля элементарного излучателя имеет в дальней зоне (d>> ) только одну составляющую:

.

Следовательно, можно записать _||.

ЗдесьR_|| - коэффициент отражения Е - поляризованной волны, учитывающий изменение комплексной амплитуды вектора при отражении от поверхности земли.R₁ = .

Вектора и в точке В не параллельны, однако, если d>> h₁, h₂ , то можно считать и записать · F,

где . Кроме того, можно заменить

,

, .

При этом множитель F, учитывающий влияние земли

.

Если землю рассматривать как идеальный проводник, R_|| = 1, тогда модуль

. При фиксированной высоте h₁ и длине волны  напряженность электрического поля в точке приема может принимать нулевые и максимальные значения в зависимости от отношения (h₂ / d). Модуль | F | лежит в интервале 0 ÷ 2.

Е сли в условии задачи изначально говорилось бы об идеально проводящей поверхности, задачу можно решить, используя метод зеркального изображения: рассматривать искомый вектор поля как результат суперпозиции поля заданного источника и поля зеркального изображения этого источника – вертикального излучателя. Токи в обоих излучателях равны по величине и совпадают по фазе.


Учитывать, что расстояния R_{и .}иR_м различны и отличаются от R – расстояния от точки пересечения нормали с поверхностью раздела, следует только в фазовых множителях (в показателях экспонент), так как разговор идет об определении поля в дальней зоне. R_и = R – h₁cosθ, R_м = R + h₁cosθ.

=

= .

Упражнения и задачи
Векторный анализ

Ф1. Показать, что в неоднородной среде, магнитная проницаемость которой есть функция пространственных координат, вытекает следующее уравнение для вектора напряженности магнитного поля:

div H = - 1 / μ _a (H grad μ _a)
Ф2. Подсчитать циркуляцию вектора А = - х ₀у / а +у ₀х / а

по окружности х ² + у ² = а ² .

Ф3. Даны два вектораA = 3x₀ + 4y₀ +5z₀R =xx₀ + yy₀ + zz₀

Определить grad ( AR)

Ф4. Задан потенциал φ = x^y + z ² . Найти gradφ в точке с координатами x = 2.7; y =2; z = 2.

Ф5. Определить поток вектора сквозь поверхность сферы

Ф6. Используя представление дивергенции как поток вектора сквозь замкнутую поверхность, составить выражение для в цилиндрической системе координат.

Ф7. Определить ротор векторного произведения заданного вектора А и радиус-вектора R.

Ф8. Найти лапласиан скаляра при R≠ 0.

Электростатика

Э1. Определить вектор напряженности электрического поля линейного протяженного источника.

Э2. Определить вектор напряженности электрического поля, создаваемого бесконечной плоскостью, по которой распределен заряд с поверхностной плотностью _s.

Э3. Найти вектор напряженности электрического поля на оси диска радиуса b, по которому распределен заряд с поверхностной плотностью _s.