Решение электродинамика. Бабенко примеры задач. Электродинамика и распространение радиоволн упражнения и задачи
 Скачать 1.51 Mb.
|
|
Система уравнений и общие понятия электростатики. Электростатическое поле описывается системой уравнений, которая получается из системы уравнений Максвелла в предположении, что векторы поля не зависят от времени и отсутствует перемещение зарядов (  = 0).Дифференциальная форма уравнений:  = 0,  = , и интегральная форма:  = 0 – поле консервативно (независимость от пути интегрирования),  =  . Это соотношение иногда называют теоремой Гаусса.Так как для электростатического поля = 0, это поле является потенциальным (безвихревым). Его силовые линии имеют истоки и стоки: они начинаются и заканчиваются на зарядах. Вектор  можно представить в виде градиента скалярной функции  ; - электростатический потенциал, знак (-) соответствует принятому определению потенциала (при перемещении на встречу вектору электростатический потенциал возрастает).Физический смысл имеет разность потенциалов в двух точках – она определяет работу при перемещении единичного заряда в электростатическом поле между этими точками. 1 - 2 =  .Работа электрических сил не зависит от пути перемещения заряда, а определяется только положением начальной и конечной точек – это важнейшее свойство электростатического поля. (Это справедливо для любых потенциальных полей). Если точки совпадают, то  = 0, т.е. в электростатическом поле при перемещении заряда по замкнутому пути работа не производится.Если потенциал бесконечно удаленной точки считать равным 0, то потенциал в точке М можно определить как работу, которую надо совершить для перемещения единичного заряда из точки М, для которой он определяется, на бесконечность. Уравнение для потенциала : = - / 0 r - уравнение Пуассона. Решение этого уравнения имеет вид (  ) =    – радиус– вектор точки наблюдения, – радиус-вектор точки интегрирования в среде, где присутствует заряд с плотностью .   = – длина направленного отрезка – это функция положения точки наблюдения Р при фиксированной точке Q. В частном случае, когда в рассматриваемой области пространства заряд отсутствует ( = 0), получаем уравнение Лапласа Δ φ = 0. Решения этого уравнения называются гармоническими функциями. Электростатическое поле – частный случай электромагнитного, поэтому приведенные ранее граничные условия для векторов и  должны выполняться и для электростатического поля. Граничные условия для потенциала . ( )1 = ( )2, где - означает дифференцирование по любому направлению в плоскости, касательной к поверхности раздела в рассматриваемой точке. 1 = 2. 0 r 2 ( n)2 - 0 r 1 ( n)1 = s, n – дифференцирование по нормали к поверхности раздела, направленной из среды 2 в 1. Если одна из сред – проводник, граничные условия принимают более простой вид. Вектор электростатического поля внутри проводника равен 0. Это особенность электростатического поля – оно равно 0 внутри любого проводника.Согласно условию  = 0, Е s = 0 – в прилегающей диэлектрической среде. Условие  = 0 можно истолковать, как постоянство потенциала на поверхности проводника:  = - = 0 (дифференцирование по длине вдоль любого касательного направления). Следовательно, = const на S. Так как = 0 в проводнике, следовательно, = const и в проводнике, т.е. проводящие тела – эквипотенциальны. n s = - s (0 r1),  – внешняя нормаль по отношению к проводящей среде.Поверхность проводника в электростатике заряжена (  = s) .Из соотношения = s можно найти поле на поверхности проводящего шара в изотропной среде, если известен его полный заряд q:  / (4 R2).Примеры расчета электростатических полей. 1.Определим электрическое поле, создаваемое точечным зарядом Q, расположенным в безграничной среде, у которой r – скалярная постоянная (r =const). Такую среду называют однородной и изотропной по отношению к электрическому полю. а).Согласно закону Кулона сила, с которой точечный заряд Q действует на точечный заряд q,  , r – расстояние между зарядами,  – единичный вектор, направленный вдоль r от Q к q. Имея в виду определение вектора ( ), получаем, что напряженность электрического поля, создаваемого точечным зарядом Q:  , а вектор  в однородной изотропной среде не зависит от r. Следовательно, при r = const и одинаковом распределении свободных зарядов вектор имеет одинаковые значения в разных средах.Заметим, что часто встречающийся множитель  (м/Ф).б). Воспользуемся теоремой Гаусса для определения поля точечного заряда. Предположим, что заряд расположен в начале координат. Задача имеет сферическую симметрию (нет предпочтительных направлений), следовательно, в качестве поверхности интегрирования можно выбрать сферу произвольного радиуса. Очевидно, что вектор по направлению совпадает с ортом  координаты сферической системы и в точках поверхности сферы произвольного радиуса R его модуль постоянен. , или  .Следовательно  .Если заряд находится в произвольной точке пространства, то поле, создаваемое зарядом Q в точке Р будет определяться соотношением   , где  - орт направления из точки, где расположен заряд Q, в точку Р. Итак,  в). Если заряд распределен по объему равномерно с плотностью , то напряженность поля, создаваемая в точке Р элементом объема dv  , где  . R – расстояние от элемента объема dv до точки Р. Так как для рассматриваемых полей применим принцип суперпозиции, напряженность поля, создаваемая всем распределенным зарядом  . Аналогичные соотношения можно записать, если заряд равномерно распределен по некоторой поверхности с плотностью  , либо, если задан нитевидный источник с равномерно распределенным зарядом с плотностью .2.Вычислим потенциал для точечного заряда, зная его поле   1 - 2 =  =   При r2 =  Е сли перенести заряд из точкиr = 0 в точку Q ( ), то расстоянием станет величина , ( ) = .В случае системы точечных зарядов, расположенных в однородной изотропной среде, по принципу суперпозиции  ( ) =  3. Поле электрического диполя. Электрический диполь – система двух близко лежащих равных по величине разноименных точечных зарядов +q и - q. Диполь характеризуется дипольным моментом  – вектор, направленный от отрицательного к положительному заряду, l – расстояние между зарядами. Если сближать заряды, одновременно увеличивая их значения так, чтобы дипольный момент  оставался неизменным, то в пределе получим точечный или идеальный диполь с тем же моментом.  Потенциал диполя найдем по принципу суперпозиции как сумму потенциалов зарядов (+q) и (-q). М = ; r1, r2 – расстояние от зарядов до точки, в которой вычисляем потенциал. ,  , считаем r >> l, тогда ,  . При этом разность можно представить в виде  , тогда М =  . ( ), – орт направленияr. |