РГР физика. Электростатика Теоретическая часть
![]()
|
Электростатика 1. Теоретическая часть 1.1 Напряженность и потенциал электростатического поля ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() 1.2 Напряженность и потенциал поля, создаваемого системой зарядов (принцип суперпозиции электростатических полей) ![]() ![]() где ![]() ![]() ![]() 1.3 Напряженность и потенциал поля, создаваемого точечным зарядом ![]() ![]() где ![]() ![]() 1.4 Напряженность и потенциал поля, создаваемого проводящей (металлической) заряженной сферой радиусом ![]() ![]() а) внутри сферы ![]() ![]() ![]() б) вне сферы ![]() ![]() ![]() где ![]() 1.5 Напряженность поля, создаваемого бесконечно длинной равномерно заряженной нитью или бесконечно длинным цилиндром (вне цилиндра), ![]() где ![]() ![]() ![]() 1.6 Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, ![]() где ![]() 7. Графическое изображение электростатических полей. Электростатические поля принято изображать при помощи силовых линий вектора напряженности. ![]() ![]() Свойства силовых линий: - вектор напряженности ![]() - стрелка на силовой линии указывает направление действия поля на положительный заряд; - силовые линии начинаются и заканчиваются на электростатических зарядах (или в бесконечности); - густота силовых линий прямо пропорциональна модулю вектора напряженности ![]() 8. Поток вектора напряженности электростатического поля ![]() ![]() ![]() где ![]() ![]() Задание 1. Формулировка задания 1. Рассчитать напряженность и потенциал электростатического поля равномерно заряженный сферической поверхности для точек внутри сферы, на ее поверхности и вне сферы на заданных расстояниях ![]() Построить графики зависимостей напряженности и потенциала от расстояния ![]() С помощью силовых линий вектора напряженности графически изобразить электростатическое поле равномерно заряженной сферы и доказать, что аналитическое представление электростатического поля совпадает с графическим. Решение задания. Параметры задания: ![]() Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля ![]() ![]() ![]() ![]() На расстоянии ![]() ![]() ![]() ![]() На расстоянии ![]() ![]() ![]() ![]() Определим напряженность электростатического поля в заданных точках, соответствующих расстояниям ![]() Величина напряженности в первой среде с диэлектрической проницаемостью ![]() ![]() ![]() Все точки находятся в области II, и величина напряженности ![]() ![]() На поверхности сферы ![]() ![]() Подставив значения, определим ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Величина напряженности во второй среде с диэлектрической проницаемостью ![]() ![]() Все точки находятся в области II, и величина напряженности ![]() ![]() На поверхности сферы ![]() ![]() Подставив значения, определим ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Потенциал величина непрерывная, т.е. не испытывает скачков на границах. Тогда внутри сферы ![]() ![]() вне сферы ![]() ![]() Определим потенциал в первой среде с диэлектрической проницаемость ![]() Внутри сферы ![]() ![]() ![]() Вне сферы ![]() ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Потенциал во второй среде с диэлектрической проницаемость ![]() Внутри сферы ![]() ![]() ![]() Вне сферы ![]() ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() В соответствии с полученными соотношениями (1), (2), (3) и (4) построим график зависимости напряженности и потенциала электростатического поля от расстояния до центра сфер ![]() ![]() ![]() Рис. 1. Зависимость напряженности электрического поля от расстояния в первой среде ![]() Рис. 2. Зависимость напряженности электрического поля от расстояния во второй среде ![]() Рис. 3. Зависимость потенциала электрического поля от расстояния в первой среде ![]() Рис. 4. Зависимость потенциала электрического поля от расстояния во второй среде Силовые линии вектора напряженности электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферы, начинаются на поверхности сферы и направлены радиально. ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() R Cледовательно, их густота с расстояние будет убывать, а густота линий определяет абсолютное значение вектора напряженности. Т.о. из графического представления электростатического поля, создаваемого равномерно заряженной сферы, следует, что напряженность поля с расстоянием убывает, что совпадает с аналитическим представлением электростатического поля. Анализ РГР 1. В результате выполнения расчетно-графической работы 1: 1. получены соотношения - (1), (2), (3), (4) - определяющие зависимость напряженности и потенциала электростатического поля ![]() ![]() 2. рассчитаны значения напряженности и потенциала электростатического поля во всех заданных точках, соответствующих расстоянию до центра сферической поверхности ![]() 3. проведена проверка размерности полученных формул для двух сред; 4. построен график зависимости напряженности и потенциала электростатического поля, созданного сферической заряженной поверхностью от расстояния до их центра ![]() ![]() 5. графически изображено электростатическое поле равномерно заряженной сферы и доказано, что аналитическое представление электростатического поля совпадает с графическим. Задание 2. Формулировка задания 2. Шар радиусом ![]() ![]() Используя теорему Остроградского - Гаусса, вывести формулу зависимости напряженности электрического поля ![]() ![]() Построить график зависимости ![]() ![]() Определить разность потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на расстояниях ![]() ![]() Решение задания. Параметры задания: ![]() Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля ![]() ![]() ![]() ![]() Выделим внутри шара сферу произвольного радиуса ![]() ![]() Тогда по теореме Остроградского-Гаусса для электростатических полей имеем ![]() По условию ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Используя (1) построим график зависимости ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Зависимость напряженности электрического поля от расстояния внутри шара. Определим разность потенциалов между двумя точками, лежащими внутри шара на расстояниях ![]() ![]() Связь напряженности электрического поля и потенциал выражается формулой ![]() в случае радиальной или сферической симметрии электростатического поля ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Тогда подставляем числовые значения ![]() Анализ РГР 2. В результате выполнения расчетно-графической работы 2: 1. получено соотношение - (1) - определяющие зависимость напряженности и потенциала электростатического поля ![]() ![]() ![]() ![]() 2. построен график зависимости напряженности электростатического поля, созданного внутри равномерно заряженного шара от расстояния до его центра ![]() 3. проведена проверка размерности полученных формул; 4. рассчитаны значения разности потенциала электростатического поля в заданных точках, соответствующих расстоянию до центра сферической поверхности ![]() ![]() Задание 3. Формулировка задания 3. Две коаксиальные цилиндрические поверхности (цилиндрический конденсатор) заряжены разноименно с одинаковой линейной плотностью ![]() Рассчитать напряженность электрического поля ![]() ![]() Построить графики зависимости напряженности электрического поля ![]() ![]() Решение задания. Параметры задания: ![]() Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля ![]() ![]() ![]() ![]() Разобьем расчеты на 3 области. Для каждой области рассчитаем напряженность электрического поля и потенциал, используя теорему Гаусса-Остроградского: ![]() Для этого в каждой области выделим контур высотой ![]() ![]() ![]() Рассмотрим область 1 ![]() ![]() ![]() ![]() Тогда методом суперпозиций (теорема Гаусса-Остроградского) имеем ![]() Следовательно, в области 1 ![]() На внутренней границе при ![]() ![]() Рассмотрим область 2 ![]() ![]() ![]() На внешней границе при ![]() ![]() На внутренней границе при ![]() ![]() Рассмотрим область 3 ![]() Тогда методом суперпозиций (теорема Гаусса-Остроградского) имеем ![]() Следовательно, в области 3 ![]() На внешней границе при ![]() ![]() Подставляем числовые значения для среды воздух ![]() На границах при ![]() ![]() ![]() ![]() Подставляем числовые значения для среды диэлектрик ![]() На границах при ![]() ![]() ![]() ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Используя (1), (2) и (3) построим график зависимости ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Зависимость напряженности электрического поля, создаваемого коаксиальными цилиндрами от расстояния от оси цилиндров в воздухе. ![]() Рис. 2. Зависимость напряженности электрического поля, создаваемого коаксиальными цилиндрами от расстояния от оси цилиндров в диэлектрике. Анализ РГР 3. В результате выполнения расчетно-графической работы 3: 1. получено соотношение - (1), (2) и (3) - определяющие зависимость напряженности электростатического поля ![]() ![]() 2. рассчитаны значения напряженности и потенциала электростатического поля во всех заданных точках, соответствующих расстоянию до центра сферической поверхности ![]() 3. построен график зависимости напряженности электростатического поля ![]() 4. проведена проверка размерности полученных формул; Задание 4. Формулировка задания 4. Электростатическое поле создано двумя бесконечными параллельными плоскостями (пластинами), равномерно заряженными с поверхностными плотностями заряда ![]() ![]() ![]() Найти разность потенциалов между пластинами. Определить напряженность электростатического поля между пластинами и вне пластин. Построить график изменения напряженности электростатического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам. Решение задания. Параметры задания: ![]() Теорема Остроградского-Гаусса для электростатических полей утверждает, что поток вектора напряженности электрического поля ![]() ![]() ![]() ![]()
Напряженность поля, создаваемого бесконечной равномерно заряженной плоскостью, ![]() где ![]() Тогда напряженность, создаваемая первой и второй плоскостями соответственно равны: ![]() ![]() Плоскости делят все пространство на три области: I, II, III. Как видно из рисунка, в первой и третьей областях электрические силовые линии обоих полей направлены в противоположные стороны, следовательно, результирующее поле в этих областях соответственно равны ![]() Во второй области (между пластинами) электрические силовые линии полей направлены в одну сторону, и, следовательно, напряженность поля ![]() ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Связь напряженности электрического поля и потенциал выражается формулой ![]() Тогда для плоскостей имеем ![]() Проверка размерности используемых формул ![]() Тогда подставляем числовые значения ![]() Используя (3) и (4) построим график зависимости ![]() ![]() ![]() Рис. 1 Зависимость напряженности электрического поля, создаваемого двумя бесконечными плоскостями в воздухе. Анализ РГР 4. В результате выполнения расчетно-графической работы 3: 1. получено соотношение - (3) и (4) - определяющие напряженность электростатического поля между пластинами и вне пластин; 2. рассчитана разность потенциалов между пластинами; 3. построен график изменения напряженности электростатического поля вдоль линии, перпендикулярной пластинам; 4. проведена проверка размерности полученных формул; |