Шпоры по математике. Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки
 Скачать 63.5 Kb.
|
|
Элементы комбинаторики. Сочетания, размещения, перестановки. Комбинаторика – раздел математики, в котором изучаются простейшие “соединения”. Факториалом натуральных чисел n называют произведение последовательных чисел от 1 до n. Перестановки – это комбинации из n-элементов, отличающихся только порядком следования (Pn=n!=1·2·3·…·n). Размещения из n-элементов по m-элементам – это комбинации, отличающиеся или составом, или порядком следования элементов (Amn=n(n-1) ·(n-2) ·…·(n-m+1)). Сочетания из n-элементов по m-элементам – это комбинация, отличающаяся хотя бы одним элементом (Cmn=m!·(n-m)!n!). В сочетании порядок элементов не учитывается. Факториал – произведение всех натуральных чисел от 1 до n. Предмет теории вероятности. Случайное событие. Основные понятия теории вероятности. Теория вероятностей – это математическая наука, изучающая закономерности в случайных событиях. Случайное событие – такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по иному. Достоверное событие – это событие, которое в результате опыта непременно должно произойти. Невозможное событие – событие, которое в данном опыте не может произойти, т.е. вероятность такого события =0. Равновозможные события – если наступление одного события не более возможно наступления другого. Несколько событий образуют полную группу, если в результате появилось хотя бы одно из них. Несовместные, если появление одного исключает появление другого в данном опыте. Понятие о статистической и геометрической вероятности. Каждое событие, связанное с массой однородных опытов, имеет определенную вероятность, заключенную между 0 и 1. Если произведена серия из n опытов, в каждом из которых могло появиться или не появиться некоторое событие, то частотой события в данной серии опытов называется отношение числа опытов, в которых появилось событие к общему числу произведенных опытов. Частоту события называют статистической вероятностью (W(A)=mn, где m – число опытов, в которых событие произошло; n – общее число опытов). Геометрическая вероятность – Р(А)=мера g/мера G. Алгебра событий. Сумма событий, противоположные события, сумма нескольких событий, произведение событий. Для определения вероятности того или иного события применяются алгебраические действия, что позволяет упростить форму записей, облегчает вычисления. Суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В или обоих вместе (С=А+В). Суммой нескольких событий называется событие, состоящее в появлении хотя бы одного из этих событий. Произведением нескольких событий называется событие, состоящее в совместном появлении всех этих событий. Противоположные события - если два события несовместимы и в результате произойдет только одно из них. При определении вероятности часто приходится представлять сложные события в виде комбинаций более простых событий, применяя и операцию сложения, и операцию умножения событий. Условная вероятность. Зависимые и независимые события. Теорема сложения и умножения вероятностей. Событие А называется независимым от события В, если вероятность события А не зависит от того, произошло событие В или нет. Событие А называется зависимым от события В, если вероятность события А меняется в зависимости от того, произошло событие В или нет. Вероятность события А, вычисленная при условии, что имело место другое событие В, называется условной вероятностью события А (Р(А/В)). Теорема сложения вероятностей – вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий (Р(А+В)=Р(А)+Р(В)). Теорема сложения вероятностей справедлива только для несовместных событий. В случае, когда события А и В совместные, вероятность суммы этих событий выражается формулой Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(А·В). Противоположными событиями называются два несовместных события. Сумма вероятностей противоположных событий =1. Теорема умножения вероятностей – вероятность произведения двух событий равна произведению вероятностей одного из них на условную вероятность другого (Р(А·В)=Р(А) ·Р(В/А)). Два события называются независимыми, если появление одного из них не изменяет вероятности появления другого. Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению вероятностей этих событий. Формула полной вероятности. Формулы Байеса. Если требуется определить вероятность некоторого события А, которое может произойти вместе с одним из событий Н1, Н2, …, Нn, эти несовместные события называют гипотезами, то используют следующую формулу. Р(А)=Р(В1)·РВ1(А)+Р(В2)·РВ2(А)+…+Р(Вn)·РВn(А), где Р(В1)+Р(В2)+…+Р(Вn)=1 - формула полной вероятности. Вероятность события А вычисляется как сумма произведений вероятности каждой гипотезы на вероятность события при этой гипотезе. Пусть событие А может наступить лишь при условии появления одного из несовместных событий (гипотез) В1, В2,…,Вn, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло, то вероятности гипотез могут переоценены по формулам Байеса – РА(Вi)=Р(Вi)·РВi(А)/Р(А), (i=1, 2, 3,…, n) - формула Байеса, где Р(А)=Р(В1)·РВ1(А)+Р(В2)·РВ2(А)+…+Р(Вn)·РВn(А). Повторные независимые испытания, схема Бернулли. Наивероятнейшее число наступлений события А при повторных испытаниях. Часто бывает, что один и тот же опыт повторяется не однократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться некоторое событие А, причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Несколько опытов называются независимыми, если вероятность того или иного исхода каждого из опытов не зависит от того, какие исходы имели другие опыты. Независимые опыты могут производиться в одинаковых или различных условиях. При одинаковых условиях вероятность события А во всех опытах одна и та же. Во втором случае вероятность события А от опыта к опыту меняется. A – некоторое событие; A   – противоположное событие; P – вероятность появления события A; g – вероятность появления события A; n – число проведенных опытов;K – число благоприятных исходов. Pn(K)=Ckn·pk·gn-k. Когда опыты проводятся в неодинаковых условиях, то вероятность события от опыта к опыту меняется. Число k0 (наступление события в независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p) называют наивероятнейшим, если вероятность того, что событие наступит в этих испытаниях k0 раз, превышает (или не меньше) вероятности остальных возможных исходов испытаний. Наивероятнейшее число k0 определяют из двойного неравенства np-g<=k0 Случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принять то или иное значение, причем неизвестно заранее – какое именно.(число осколков, образующихся при разрыве снаряда). Если случайные величины принимают отдельные, изолированные друг от друга значения, которые можно заранее перечислить, то они называются дискретными случайными величинами (число попаданий при 3 выстрелах). Существуют случайные величины, возможные значения которых непрерывно заполняют некоторый промежуток, они называются непрерывными случайными величинами (вес наугад взятого осколка снаряда). Законом распределения дискретной случайной величины называется всякое соотношение, устанавливающее связь между возможными значениями случайной величины и соответствующими им вероятностями. Простейшей формой задания закона распределения является таблица, в которой перечислены возможные значения случайной величины и соответствующие им вероятности.
Такая таблица называется рядом распределения случайной величины Х. Графическая форма закона распределения: по оси абсцисс откладываются возможные значения случайной величины, а по оси ординат – вероятности этих значений. Для наглядности полученные точки соединяются отрезками прямых. Такая фигура называется многоугольником распределения. Закон распределения дискретной случайной величины Х может быть задан аналитически (в виде формулы).  Р    ХПространство элементарных исходов. Классическое определение вероятности. Простейшие свойства вероятности. Иногда, приходится рассматривать множество исходов, соответствующих одному событию. Полный список всех возможных исходов будет представлять собой множество. Каждый исход эксперимента соответствует в точности одному элементу из этого множества. Каждый элемент множества называется элементарным событием. Если А – событие, то P(A)=mn, где m – число исходов, благоприятствующих событию; n – общее число исходов, которые попарно несовместимы. Свойства: 1)вероятность достоверного события=1. Если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию, в этом случае m=n, следовательно P(A)=1. 2)вероятность невозможного события=0. Если событие невозможно, то не один из элементарных исходов испытания не благоприятствует событию, в этом случае m=0, следовательно Р(А)=0. 3)вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между 0 и 1. Случайное событие благоприятствует лишь части из общего числа элементарных исходов испытания. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Формула Пуассона. Л    окальная теорема Муавра-Лапласа – вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0, событие наступит равно k раз (безразлично, в какой последовательности), приближенно равна (тем точнее, чем больше n) Pn(k)=1·Ф(х)/ n·p·g . Интегральная теорема Муавра-Лапласа – вероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0 , событие наступит не менее k1 раз и не более k2 раз, приближенно равна P(k1;k2)=Ф(x”)-Ф(x’). Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют формулу Пуассона – Pn(k)=ke-/k!, где k-число появлений события в n независимых испытаниях, =np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Вероятность отклонения относительной частоты события от его вероятности в повторных независимых испытаниях. В  ероятность того, что в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p(0, абсолютная величина отклонения относительной частоты появления события от вероятности появления события не превысит положительного числа E, приближенно равна удвоенной функции Лапласа при х= E n/p·g : Важнейшие законы распределения ДСВ (биномиальный, закон Пуассона). Дискретной называют случайную величину, возможные значения которой есть отдельные изолированные числа, которые эта величина принимает с определенными вероятностями. Законом распределения дискретной случайной величины называют перечень её возможных значений и соответствующих им вероятностей. Биномиальным называют закон распределения дискретной случайной величины Х – числа появлений события в n независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события равна p; вероятность возможного значения x=k (числа k появлений события) вычисляют по формуле Бернулли: Pn(K)=Ckn·pk·gn-k. Если число испытаний велико, а вероятность p появления события в каждом испытании очень мала, то используют формулу Пуассона – Pn(k)=ke-/k!, где k-число появлений события в n независимых испытаниях, =np (среднее число появлений события в n испытаниях), и говорят, что случайная величина распределена по закону Пуассона. Числовые характеристики ДСВ.Характеристикой среднего значения случайной величины служит математическое ожидание. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называют сумму произведений всех её возможных значений на их вероятности: М(Х)=х1р1+х2р2+…+хnрn. Если дискретная случайная величина принимает счетное множество возможных значений, то , причем математическое ожидание существует, если ряд в правой части равенства сходится абсолютно. Свойства математического ожидания: 1)математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2)постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х). 3)математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1Х2…Хn)=м(Х1)М(Х2)…М(Хn). 4)математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1+Х2+…+Хn)=М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn). Математическое ожидание биномиального распределения равно произведению числа испытаний на вероятность появления события в одном испытании: М(Х)=np. Характеристиками рассеяния возможных значений случайной величины вокруг математического ожидания служат, в частности, дисперсия и среднее квадратическое отклонение. Дисперсией случайной величины Х называют математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от её математического ожидания: D(X)=M[X-M(X)]2, дисперсию удобно вычислять по формуле D(X)=M(X2)-[M(X)]2. Дисперсия обладает свойствами: 1)дисперсия постоянной равна 0: D(C)=0. 2)постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(CX)=C2D(X). 3)дисперсия суммы независимых случайных величин равна сумме дисперсий слагаемых: D(X1+X2+…+Xn)=D(X1)+D(X2)+…+D(Xn). Дисперсия биномиального распределения равна произведению числа испытаний на вероятности появления и непоявления события в одном испытании: D(X)=npg. Средним квадратическим отклонением случайной величины называют квадратный корень из дисперсии: (X)= D(X) .Плотность распределения НСВ и её свойства. Плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины называют первую производную от функции распределения: f(x)=F’(x). Вероятность того, что непрерывная случайная величина Х примет значение, принадлежащее интервалу (a,b), определяется равенством: P(a Числовые характеристики НСВ и их свойства. С  реди числовых характеристик случайных величин нужно прежде всего отметить те, которые характеризуют положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывают некоторое среднее значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Математическое ожидание НСВ Х, возможные значения которой принадлежат всей оси Ох, определяется равенством M(X)= xf(x)dx, где f(x)-плотность распределения случайной величины Х. Свойства математического ожидания: 1)математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной: М(С)=С. 2)постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания: М(СХ)=СМ(Х). 3)математическое ожидание произведения взаимно независимых случайных величин равно произведению математических ожиданий сомножителей: М(Х1Х2…Хn)=м(Х1)М(Х2)…М(Хn). 4)математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых: М(Х1+Х2+…+Хn)=М(Х1)+М(Х2)+…+М(Хn). Модой М0(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее возможное значение, которому соответствует локальный максимум плотности распределения. Медианой Ме(Х) непрерывной случайной величины Х называют то ее значение, которое определяется равенством P[XФункция распределения случайных величин (ДСВ, НСВ). Функцией распределения называют функцию F(x)=P(X Функция распределения любой дискретной случайной величины всегда есть разрывная ступенчатая функция, скачки которой происходят в точках, соответствующих возможным значениям случайной величины и равны вероятности этих значений. Сумма всех скачков функции F(x) равна единице.   Функция распределения непрерывной случайной величины представляет собой функцию непрерывную во всех точках. |