Диагностика и надежность автоматизированных систем. Даныкина Донцова Диагностика и надежность автоматизированных сис. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет
 Скачать 0.75 Mb.
|
|
Примеры расчета задач Задача 8.1. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время безотказной работы элемента τ = 1000 ч. Предполагается, что справед- лив экспоненциальный закон надежности для элементов системы и основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безот- казной работы системы τ с , а также частоту отказов f c (t) и интенсивность отка- зов λ c (t) в момент времени t = 50 ч в следующих случаях: а) нерезервированной системы, б) дублированной системы при постоянно включенном резерве. Решение. а) , λ λ 1 с ∑ = = n i i где λ c (t) – интенсивность отказов системы; λ i (t) – интенсивность отказов i-го элемента; n = 10. , 001 0 1000 1 τ 1 λ = = = i i , ч / 1 01 0 10 001 0 λ λ с = ⋅ = ⋅ = n i ч 100 01 0 1 λ 1 τ с с = = = ч. / 1 10 6 01 0 λ ) 50 ( , ) ( , ч / 1 01 0 λ ) 50 ( λ ), ( ) ( λ ) ( 3 50 0.01 λ c c λ c c c c c c c c − ⋅ − − − ⋅ = ⋅ = ⋅ = = = = ⋅ = e e f e t p t p t t f t t б) ч 150 2 1 1 0.01 1 τ ; 1 ; 1 1 λ 1 τ c 0 с c = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = = + = ∑ = m j m j [ ] ч / 1 01 0 λ λ , 1 1 ) ( с 0 1 λ с 0 = = − − = + − m t e t p 35 [ ] 845 0 2 ) 50 ( , 2 1 1 ) ( 50 01 0 2 50 01 0 с λ 2 λ 2 λ с 0 0 0 = − = − = − − = ⋅ ⋅ − ⋅ − − − − e e p e e e t p t t t ( ) ( ) ( ) ч / 1 10 8 4 1 01 0 2 ) ( ; 1 2 λ ) ( 3 50 01 0 50 01 0 с 1 λ λ 0 c с 0 0 − ⋅ − ⋅ − − − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − = e e t f e e dt t dp t f t t ( ) ( ) ( ) ч / 1 10 6 5 2 1 0.01 2 ) 50 ( λ ; 2 1 2λ 2 1 2λ ) ( ) ( ) ( λ 3 50 01 0 50 01 0 c λ λ 0 λ 2 λ λ λ 0 c c c 0 0 0 0 0 0 − ⋅ − ⋅ − − − − − − − ⋅ = − − ⋅ ⋅ = − − ⋅ = − − ⋅ ⋅ = = e e e e e e e e t p t f t t t t t t t Задача 8.2. В системе телеуправления применено дублирование канала управления. Интенсивность отказов канала λ = 10 -2 1/ ч. Рассчитать вероятность безотказной работы системы при t = 10 ч, среднее время безотказной работы τ с , частоту отказов f c (t), интенсивность отказов λ c (t) системы. Решение. В данном случае n = 1; m = 1. По формуле (8.14) имеем [ ] ( ) 99 0 1 1 ) 10 ( ; 1 1 ) ( 2 10 01 0 с 1 λ с = − − = − − = ⋅ − + − e p e t p m t Определим τ с . Из формулы (8.4) имеем ч 150 2 1 1 10 1 1 1 λ 1 τ 2 - 0 с c = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ + = + = ∑ = m j j Определим частоту отказов f c (t). Получим ( ) ( ) ( ) ч / 1 10 7 1 1 10 2 1 2 λ ) ( 3 1 0 1 0 2 λ λ c с − − − − − − ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − ⋅ ⋅ ⋅ = − = e e e e dt t dp t f t t Определим интенсивность отказов λ c (t). Имеем ( ) ( ) ( ) ( ) ч / 1 10 7 1 1 1 1 0.01 2 1 1 1 2λ ) ( ) ( ) ( λ 3 2 1 0 1 0 1 0 2 λ λ λ c c c − − − − − − − ⋅ = − − − ⋅ ⋅ ⋅ = − − − ⋅ ⋅ = = e e e e e e t p t f t t t t Задача 8.3. Нерезервированная система управления состоит из n = 5000 элементов. Для повышения надежности системы предполагается провести общее дублирование элементов. Чтобы приближенно оценить воз- можность достижения заданной вероятности безотказной работы системы p c (t) = 0.9 при t = 10 ч, необходимо рассчитать среднюю интенсивность отка- зов одного элемента при предположении отсутствия последействия отказов. Решение. Вероятность безотказной работы системы при общем дублировании и равнонадежных элементах равна ( ) ( ) 1 1 ) ( ; λ λ ; 1 1 ) ( 2 λ с с 2 λ с с nt i t i e t p n e t p − − − − = ⋅ = − − = 36 Сделав замену ( ) t j j e t p t P λ ) ( − = = , получим p c (t) = 1 – [1 – P n (t)] 2 , где P(t) – вероятность безотказной работы одного элемента. Так как должно быть 1 – [1 – P n (t)] 2 = 0.9, то ( ) ( ) 1 0 1 1 n t P − ≥ Разложив ( ) n 1 1 0 1 − по степени 1/n в ряд и пренебрегая членами ряда высшего порядка малости, получим ( ) 10 32 6 1 1 0 5000 1 1 1 0 1 5 5000 1 − ⋅ − = − ≈ − Учитывая, что ( ) t e t P j t j λ 1 λ − ≈ = − (разложение в ряд Тейлора), получим 5 10 32 6 1 λ 1 − ⋅ − = − t j или ч / 1 10 32 6 10 10 32 6 10 32 6 λ 6 5 5 − − − ⋅ = ⋅ = ⋅ = t j Контрольные вопросы и задания 1. Какое резервирование называют постоянным? 2. Напишите основные аналитические соотношения расчета надежности при раздельном резервировании для экспоненциального закона надежности отдельных элементов. 3. Напишите основные аналитические соотношения расчета надежности при общем резервировании для экспоненциального закона надежности от- дельных элементов. 4. Система состоит из 10 равнонадежных элементов, среднее время без- отказной работы элемента ч 100 = τ . Справедлив экспоненциальный закон надежности для элементов. Основная и резервная системы равнонадежны. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы с τ , а также частоту отказов ) ( c t f и интенсивность отказов ) ( c t λ в момент времени t = 50 ч для системы с постоянно включенным резервом. 37 Практическая работа 9 Расчет надежности комбинированной схемы технической системы и повышение ее надежности Содержание работы : 1) изучить методы преобразования комбинированных схем и оценки их показателей надежности; 2) изучить методы повышения надежности; 3) определить вероятности безотказной работы устройств с комбиниро- ванной структурной схемой. Краткие теоретические сведения Способ преобразования схемы с помощью эквивалентной замены тре- угольника звездой и обратно заключается в том, что узел сложной конфигу- рации заменяется на узел другой, более простой конфигурации, но при этом подбираются такие характеристики нового узла, чтобы показатели надежно- сти преобразуемой цепи сохранялись прежними. Пусть, например, требуется заменить тре- угольник (рис. 9.1, а) звездой (рис. 9.1, б) при ус- ловии, что вероятность отказа элемента а равна q 13 , элемента b равна q 12 , элемента c равна q 23 . Пе- реход к соединению звездой не должен изменять надежность цепей. Поэтому значения вероятно- стей отказов элементов звезды q 1 , q 2 , q 3 должны удовлетворять следующим равенствам: ( ) ; 31 23 31 23 12 2 1 2 1 q q q q q q q q q − + = − + ( ) ; 12 31 12 31 23 3 2 3 2 q q q q q q q q q − + = − + ( ) 23 12 23 12 31 1 3 1 3 q q q q q q q q q − + = − + Если пренебречь произведениями вида q i q j , q i q j q k , то в результате решения системы эти урав- нения можно записать в виде: ; ; 23 31 3 12 23 2 31 12 1 q q q q q q q q q = = = Для обратного преобразования звезды в тре- угольник: ; ; 2 3 1 31 1 3 2 23 3 2 1 12 q q q q q q q q q q q q = = = а) б) Рис. 9.1. Преобразование «треугольник-звезда» Способ преобразования сложных структур с помощью ее разложения по некоторому базовому элементу основан на использовании теоремы о сум- ме вероятностей несовместных событий. В сложной структуре выбирают ба- 38 зовый элемент (или группу базовых элементов) и делают следующие допу- щения: 1) базовый элемент находится в работоспособном состоянии (сигнал через него проходит); 2) базовый элемент находится в отказовом состоянии (сигнал через него не проходит). Для этих случаев, представляющих собой два несовместных события, исходная структурная схема преобразовывается в две новые схемы. В первой вместо базового элемента ставится короткое замыкание цепи, а во второй – разрыв. Вероятности безотказной работы каждой из полученных простых структур вычисляются и умножаются: первая – на вероятность безотказного состояния базового элемента, вторая – на вероятность отказа базового эле- мента. Полученные произведения складываются. Сумма равна искомой веро- ятности безотказной работы сложной структуры. Систему типа “m из n” можно рассматривать как вариант системы с параллельным соединением элементов, отказ которой произойдет, если из n элементов, соединенных параллельно, работоспособными окажутся менее m элементов (m < n). На рис. 9.2 представлена система “2 из 5”, которая работоспособна, если из пяти её эле- ментов работают любые два, три, четыре или все пять (на схеме пунктиром обведены функ- ционально необходимые два элемента, причем выделение элементов 1 и 2 произведено услов- но, в действительности все пять элементов рав- нозначны). Системы типа “m из n” наиболее часто встречаются в электрических и связных системах (при этом элементами выступают свя- зующие каналы), технологических линий, а также при структурном резервировании. Рис. 9.2. Система “2 из 5” Для расчета надежности систем типа “m из n“ при сравнительно не- большом количестве элементов можно воспользоваться методом прямого пе- ребора. Он заключается в определении работоспособности каждого из воз- можных состояний системы, которые определяются различными сочетаниями работоспособных и неработоспособных состояний элементов. Расчет надежности системы “m из n“ может производиться комбина- торным методом, в основе которого лежит формула биномиального распре- деления. Биномиальному распределению подчиняется дискретная случайная величина k – число появлений некоторого события в серии из n опытов, если в отдельном опыте вероятность появления события составляет p. При этом вероятность появления события ровно k раз определяется , ) 1 ( k n k k n k p p C P − − = 39 где k n C – биномиальный коэффициент, называемый “числом сочетаний по k из n“ (т.е. сколькими разными способами можно реализовать ситуацию “k из n“): )! ( ! ! k n k n C k n − = Поскольку для отказа системы “m из n“ достаточно, чтобы количество исправных элементов было меньше m, вероятность отказа может быть найде- на по теореме сложения вероятностей для k = 0, 1, ... (m-1): ) 1 ( 1 0 1 0 ∑ ∑ − = − − = − = = m k k n k k n m k k p p C P Q Аналогичным образом можно найти вероятность безотказной работы: ) 1 ( ∑ ∑ = − = − = = n m k k n k k n n m k k p p C P P Очевидно, что Q+P=1, поэтому в расчетах следует выбирать ту из фор- мул, которая в данном конкретном случае содержит меньшее число слагае- мых. Для системы “2 из 5“ (рис. 6.2) по формуле получим: 4 15 20 10 ) 1 ( 5 ) 1 ( 10 ) 1 ( 10 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 5 4 3 2 5 4 2 3 3 2 5 5 5 4 4 5 2 3 3 5 3 2 2 5 p p p p p p p p p p p p C p p C p p C p p C P − + − = + − + − + + − = + − + − + − = Вероятность отказа той же системы: , 4 15 20 10 1 ) 1 ( 5 ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( 5 4 3 2 4 5 4 1 5 5 0 5 p p p p p p p p p C p C Q + − + − = = − + − = − + − = что, как видно, дает тот же результат для вероятности безотказной работы. В табл. 9.1 приведены формулы для расчета вероятности безотказной работы систем типа “m из n“ при m<=n<=5. Очевидно, при m=1 система пре- вращается в обычную систему с параллельным соединением элементов, а при m = n – с последовательным соединением. Таблица 9.1 Общее число элементов, n m 1 2 3 4 5 1 p 2p – p 2 3p – 3p 2 + p 3 4p – 6p 2 + 4p 3 – p 4 5p – 10p 2 + 10p 3 – 5p 4 + p 5 2 - p 2 3p 2 – 2p 3 6p 2 – 8p 3 + 3p 4 10p 2 – 20p 3 + 15p 4 – 4p 5 3 - - p 3 4p 3 – 3p 4 10p 3 – 15p 4 + 6p 5 4 - - - p 4 5p 4 – 4p 5 5 - - - - p 5 40 Описание методов повышения надежности подробно приводится в кур- се лекций по дисциплине «Диагностика и надежность автоматизированных систем», а также в методических указаниях для самостоятельной работы сту- дентов с подробной методикой расчета увеличения надежности системы. Примеры расчета задач Задача 9.1. Определить вероятность безотказ- ной работы устройства, структурная схема которого изображена на рис. 9.3, если известно, что вероят- ности безотказной работы каждого из элементов схемы равны 0.9. Решение. Преобразуем соединение элементов 1, 2, 5 в треугольник (рис. 9.4, а), а затем в звезду (рис. 9.4, б). Определим эквивалентные значения вероят- ности отказов для новых элементов a, b, c. ; 01 0 1 0 1 0 2 1 = ⋅ = = q q q a ; 01 0 1 0 1 0 5 1 = ⋅ = = q q q b 01 0 1 0 1 0 5 2 = ⋅ = = q q q c Определим значения вероятности безотказно- го состояния элементов эквивалентной схемы (рис. 9.4, б) 99 0 = = = c b a p p p , 9 0 4 3 = = p p Определим вероятность безотказной работы эквивалентного устройства (рис. 9.5). ( ) 978 0 4 3 4 3 = − + = p p p p p p p p p p c b c b a Рис. 9.3 а) б) Рис. 9.4 Рис. 9.5 Задача 9.2. Решим задачу 9.1 методом разложения сложной структуры. Решение. В качестве базового элемента примем элемент 5 (рис. 9.3). Закоротим базовый элемент, т.е. сделаем допущение о том, что он обла- дает абсолютной проводимостью сигнала. Присоединим к полученной структуре последовательно базовый эле- мент с характеристикой его надежности p 5 . В результате вместо исходной структуры получим новую структуру (рис. 9.6, а). Произведем обрыв базового элемента, т.е. сделаем предположение об его абсолютной ненадежности. К полученной структуре присоединим последова- тельно базовый элемент с характеристикой его ненадежности (1 – p 5 ). В ре- зультате получим структуру (рис. 9.6, б). |