Диагностика и надежность автоматизированных систем. Даныкина Донцова Диагностика и надежность автоматизированных сис. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет
 Скачать 0.75 Mb.
|
|
Примеры расчета задач Задача 6.1. Определить вероятность безотказной работы системы со- стоящей из двух элементов, соединенных параллельно (рис. 6.4) . Вероят- ность безотказной работы каждого элемента равна p a = p b = 0.8. Решение. ab b a c ∨ ∨ = b a a b b a c ∨ = ∨ ∨ ∨ = ) 1 ( ) 1 ( ab b a b a − + = ∨ 96 0 = − + = b a b a c p p p p p Рис. 6.4. 26 Пример 6.2. Определить вероятность безотказной работы системы со- стоящей из пяти элементов, соединенных как показано на рис. 6.5. Вероятно- сти безотказного состояния элементов за заданное время равны p 1 = p 2 = 0.6, p 3 = p 4 = 0.8, p 5 = 0.9. Решение. Вероятность безотказного состояния узла 1-2: 84 0 36 0 2 1 2 1 2 1 2 1 = − = − + = − p p p p p Вероятность безотказного состояния узла 1-2-3-4: 94 0 64 0 84 0 64 0 84 0 4 3 2 1 4 3 2 1 4 3 2 1 = ⋅ − + = = − + = − − − − − − − p p p p p Рис. 6.5. Вероятность безотказного состояния устройства 846 0 9 0 94 0 5 4 3 2 1 = ⋅ = = − − − p p p Задача 6.3. Определить вероятность безотказной работы системы со- стоящей из четырех элементов, соединенных как показано на рис. 4.6. Веро- ятности безотказного состояния элементов за заданное время равны p 1 = p 2 = 0.5, p 3 = p 4 = 0.9. Решение. Вероятность безотказного состояния узла 1-2: 75 0 2 1 2 1 2 1 = − + = − p p p p p Вероятность безотказного состояния узла 3-4: 99 0 4 3 4 3 4 3 = − + = − p p p p p Вероятность безотказного состояния устройства: 9975 0 99 0 75 0 99 0 75 0 4 3 2 1 4 3 2 1 = ⋅ − + = = − + = − − − − p p p p p Рис. 6.6. Контрольные вопросы и задания 1. Объясните, как Вы понимаете существо логико-вероятностных мето- дов расчета надежности систем. 2. Раскройте алгоритм расчета надежности с помощью логико- вероятностного метода для систем, имеющих параллельную структуру. 3. Определить вероятность безотказной работы системы состоящей из шести элементов, соединенных как показано на рис. 4.6. Вероят- ности безотказного состояния элементов за за- данное время равны p 1 = p 2 = 0.85, p 3 = p 5 = 0.9, p 4 = p 6 = 0.94. 27 Практическая работа 7 Расчет надежности при основном соединении элементов в системе Содержание работы : 1) ознакомиться с методом расчета надежности системы, состоящей из последовательного соединения элементов; 2) рассчитать показатели надежности при основном соединении эле- ментов в системе. Краткие теоретические сведения Соединение элементов называется последовательным, если отказ хотя бы одного элемента приводит к отказу всей системы. Система последователь- но соединенных элементов работоспособна тогда, когда работоспособны все ее элементы. Вероятность безотказной работы системы за время t определяется формулой , ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 2 1 с ∏ = = ⋅ = n i i n t p t p t p t p t p K (7.1) где p i (t) – вероятность безотказной работы i-го элемента за время t. Если p i (t) = p(t), то p с (t) = p n (t). (7.2) Выразим p с (t) через интенсивность отказов λ i (t) элементов системы. Имеем: ( ) , λ exp ) ( 10 с ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∑∫ = n i t i dt t t p (7.3) или ( ) , λ exp ) ( 0 c с ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = ∫ t dt t t p (7.4) где ( ) λ ) ( λ 1 с ∑ = = n i i t t (7.5) Здесь λ i (t) – интенсивность отказов i-го элемента; λ с (t) – интенсивность отказов системы. Вероятность отказа системы на интервале времени (0, t) равна ( ) λ 1 ) ( 1 с ∏ = − = n i i t t q (7.6) Частота отказов системы f с (t) определяется соотношением 28 ( ) 1 ) ( c с dt t dp t f − = (7.7) Интенсивность отказов системы ) ( ) ( ) ( λ c c c t p t f t = (7.8) Среднее время безотказной работы системы: ) ( τ 0 c ∫ ∞ = dt t p (7.9) В случае экспоненциального закона надежности всех элементов систе- мы имеем λ i (t) = λ i = const. (7.10) ( ) λ λ ) ( λ с 1 с = = ∑ = n i i t t (7.11) ) ( λt i e t p − = (7.12) ) ( c λ с t e t p − = (7.13) λ ) ( c λ c с t e t f − ⋅ = (7.14) 1 ) ( c λ с t e t q − − = (7.15) λ 1 λ 1 τ 1 с c ∑ = = = n i i (7.16) λ 1 τ i i = (7.17) При расчете надежности систем часто приходится перемножать вероят- ности безотказной работы отдельных элементов расчета, возводить их в сте- пень и извлекать корни. При значениях p(t), близких к единице, эти вычисле- ния можно с достаточной для практики точностью выполнять по следующим приближенным формулам: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 , 1 , 1 ) ( ) ( ) ( 1 2 1 n t q t p t Nq t p t q t p t p t p i n i i n i n i i n − = − = − ≈ ⋅ ∑ = K (7.18) 29 Примеры расчета задач Задача 7.1. Система состоит из трех устройств. Интенсивность отказов электронного устройства равна λ 1 = 0.16·10 -3 = const 1/час. Интенсивности от- казов двух электромеханических устройств линейно зависят от времени и оп- ределяются следующими формулами λ 2 = 0.23·10 -4 t 1/час, λ 3 = 0.06·10 -6 t 2 1/час. Необходимо рассчитать вероятность безотказной работы системы в те- чении 100 часов. Решение. На основании формулы (7.3) имеем: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) 86 0 151 0 exp 02 0 115 0 016 0 exp 3 100 10 06 0 2 100 10 23 0 100 10 16 0 exp 3 10 06 0 2 10 23 0 10 16 0 exp 10 06 0 10 23 0 10 16 0 exp λ λ λ exp λ exp ) ( 3 6 2 4 3 100 0 3 6 100 0 2 4 100 0 3 0 2 6 0 4 0 3 0 3 0 2 0 1 10 с = − = + + − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ ⋅ + ⋅ + ⋅ − = = ⎥ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + + − = ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − = − − − − − − − − − = ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∑∫ t t t dt t tdt dt dt t dt t dt t dt t t p t t t t t t n i t i Задача 7.2. Система состоит из трех блоков, среднее время безотказной работы которых равно: τ 1 = 160 часов, τ 2 = 320 часов, τ 3 = 600 часов. Для бло- ков справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется определить среднее время безотказной работы системы. Решение. На основании формулы (7.17) получим: , τ 1 λ , λ 1 τ i i i i = = 0017 0 600 1 τ 1 λ , 003125 0 320 1 τ 1 λ , 00625 0 160 1 τ 1 λ 3 3 2 2 1 1 = = = = = = = = = На основании формулы (7.11): ( ) 011 0 0017 0 003125 0 00625 0 λ λ ) ( λ с 1 с = + + = = = ∑ = n i i t t На основании формулы (7.16): час 91 011 0 1 λ 1 τ с c ≈ = = 30 Задача 7.3. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ср = 0.32·10 -6 1/час. Требуется определить: вероятность без- отказной работы системы в течение времени t (p с (t)), вероятность отказа сис- темы в течение времени t (q с (t)), частоту отказов (f с (t)), среднее время безот- казной работы системы ( τ с ) для t = 50 час. Решение. Интенсивность отказов системы по формуле (7.11) будет: ( ) час / 1 10 032 4 12600 10 32 0 λ λ ) ( λ 3 6 с 1 с − − = ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = = ∑ n t t n i i Из (7.13) имеем 817 0 ) ( 50 10 4.032 λ с -3 c = = = ⋅ ⋅ − − e e t p t Из (7.15) получим 183 0 817 0 1 1 ) ( c λ с = − = − = − t e t q Из (7.14) имеем час / 1 10 296 3 10 032 4 λ ) ( 3 50 10 4.032 3 λ c с -3 c − ⋅ ⋅ − − − ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ = e e t f t Из (7.16) получим час 248 10 032 4 1 λ 1 τ 3 с c = ⋅ = = − Задача 7.4. Система состоит из двух устройств. Вероятности безотказ- ной работы каждого из них в течение времени t = 100 час равны: p 1 (100) = 0.95, p 2 (100) = 0.97. Справедлив экспоненциальный закон надежно- сти. Необходимо найти среднее время безотказной работы системы. Решение. Найдем вероятность безотказной работы изделия: p c (100) = p 1 (100) ⋅ p 2 (100) = 0.95 ⋅ 0.97 = 0.92. Найдем интенсивность отказов изделия, воспользовавшись формулой ) ( c λ с t e t p − = час / 1 10 83 0 100 083 0 100 92 0 ln ln λ 3 c с − ⋅ = − = − = − = t p Тогда час 1205 10 83 0 1 λ 1 τ 3 с c = ⋅ = = − Задача 7.5. Вероятность безотказной работы одного элемента в течение времени t равна p(t) = 0.9997. Требуется определить вероятность безотказной работы системы, состоящей из n = 100 таких же элементов. Решение. Вероятность безотказной работы системы равна p с (t) = p n (t) = 0.9997 100 = 0.97. 31 Вероятность p с (t) близка к единице, поэтому для ее вычисления вос- пользуемся формулой (7.18). q(t) = 1 – p(t) = 1 – 0.9997 = 0.0003, p c (t) = 1 – 100 ⋅0.0003 = 0.97. Задача 7.6. Вероятность безотказной работы системы в течение времени t равна p c (t) = 0.95. Система состоит из n = 120 равнонадежных элементов. Необходимо найти вероятность безотказной работы элемента. Решение. Очевидно, что вероятность безотказной работы элемента будет ( ) ) ( c n i t p t p = Так как p(t) близка к единице, то вычисления удобно выполнить по формуле (7.18). q c (t) = 1 – p c (t) = 1 – 0.95 = 0.05, ( ) ( ) 99958 0 120 05 0 1 1 ) ( c c = − = − = = n t q t p t p n i Контрольные вопросы и задания 1. Какое соединение элементов называют основным? 2. Напишите основные аналитические соотношения расчета надежности при основном соединении элементов в системе. 3. Напишите основные аналитические соотношения расчета надежности при экспоненциальном законе надежности всех элементов системы. 4. Система состоит из 12600 элементов, средняя интенсивность отказов которых λ ср = 0.32·10 -6 1/час. Необходимо определить вероятность безотказ- ной работы в течение t = 50 час. 5. Система состоит из пяти приборов, среднее время безотказной рабо- ты которых равно: τ 1 = 83 ч; τ 2 = 220 ч; τ 3 = 280 ч; τ 4 = 400 ч; τ 5 = 700 ч. Для приборов справедлив экспоненциальный закон надежности. Требуется найти среднее время безотказной работы системы. 6. Прибор состоит из пяти блоков. Вероятность безотказной работы ка- ждого блока в течение времени t = 50 ч. равна: p 1 (50) = 0.98; p 2 (50) = 0.99; p 3 (50) = 0.998; p 4 (50) = 0.975; p 5 (50) = 0.985. Справедлив экспо- ненциальный закон надежности. Требуется определить вероятность и среднее время безотказной работы прибора. 32 Практическая работа 8 Расчет надежности систем с постоянным резервированием Содержание работы : 1) ознакомиться с методом расчета надежности систем с постоянным резервированием; 2) рассчитать показатели надежности при резервном соединении эле- ментов в системе. Краткие теоретические сведения При постоянном резервировании резервные элементы соединены па- раллельно с основным (рабочим) элементом в течение всего периода работы системы. Все элементы соединены постоянно, перестройка схемы при отказах не происходит, отказавший элемент не отключается. Вероятность отказа системы q c (t) определяется формулой ( ) , ) ( 0 с ∏ = = m j j t q t q (8.1) где q j (t) – вероятность отказа j-го элемента. Вероятность безотказной работы системы ) ( c λ с t e t p − = ( ) [ ] , 1 1 ) ( 0 с ∏ = − − = m j j t p t p (8.2) где p j (t) – вероятность безотказной работы j-го элемента. Если p j (t) = p(t), j = 0, 1, ... , m , то ( ) ( ) [ ] ⎪⎭ ⎪ ⎬ ⎫ − − = = + + 1 1 ) ( ; ) ( 1 с 1 с m m t p t p t q t q (8.3) При экспоненциальном законе надежности отдельных элементов имеем ( ) ( ) 1 1 λ 1 τ , 1 1 ) ( , 1 ) ( , ) ( ) ( 0 c c 1 λ с 1 λ с λ с с ∑ = + − + − − + = − − = − = = = m j m t m t t j j e t p e t q e t p t p j (8.4) Резервирование называется общим, если резервируется вся система, со- стоящая из последовательного соединения n элементов. Основная цепь со- 33 держит n элементов. Число резервных цепей равно m. Т.е. кратность резерви- рования равна m. Определим количественные характеристики надежности системы с об- щим резервированием (резервные цепи включены постоянно). Запишем вероятность безотказной работы j-ой цепи ( ) , , , 1 , 0 ; , , 1 , 0 ; ) ( 1 ∏ = = = = n i ij j m j n i t p t p K K (8.5) где p ij (t) – вероятность безотказной работы элемента Э ij Вероятность отказа j-ой цепи ( ) 1 ) ( 1 ∏ = − = n i ij j t p t q (8.6) Вероятность отказа системы с общим резервированием ( ) 1 ) ( 0 1 с ∏ ∏ = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = m j n i ij t p t q (8.7) Вероятность безотказной работы системы с общим резервированием ( ) 1 1 ) ( 0 1 с ∏ ∏ = = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = m j n i ij t p t p (8.8) Частный случай: основная и резервные цепи имеют одинаковую надеж- ность, т.е. p ij (t) = p i (t). (8.9) Тогда ( ) , 1 ) ( 1 1 с + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − = ∏ m n i i t p t q (8.10) ( ) 1 1 ) ( 1 1 с + = ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ − − = ∏ m n i i t p t p (8.11) Рассмотрим экспоненциальный закон надежности, т.е. р i (t)=е – λt (8.12) В этом случае формулы (8.10), (8.11) примут вид [ ] , 1 ) ( 1 λ с + − − = m t e t q (8.13) [ ] 1 1 ) ( 1 λ с + − − − = m t e t p (8.14) , λ λ 1 0 ∑ = = n i i (8.15) где λ 0 – интенсивность отказов цепи, состоящей из n элементов. Частота отказов системы с общим резервированием ( ) ( ) ( ) 1 1 λ ) ( 0 0 λ λ 0 c с m t t e m e dt t dp t f − − − ⋅ + ⋅ ⋅ = − = (8.16) |