Диагностика и надежность автоматизированных систем. Даныкина Донцова Диагностика и надежность автоматизированных сис. Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего профессионального образования Сибирский федеральный университет
 Скачать 0.75 Mb.
|
Расчет вероятностных характеристик и построение функции надежно- сти можно производить в любом программном продукте, относящемся к сис- темам компьютерной математики. Ниже приведен пример выполнения расче- тов с помощью ПП MathCAD (рис. 2.1). 11 t 2 2 1 1 8 3 8 3 1 7 1 9 10 8 1 4 11 12 7 2 7 12 10 2 12 8 14 6 1 9 ⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝ ⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠ := n length t ( ) := Mx max t ( ) := mx min t ( ) := m 10 := var t ( ) 16.729 = t1 mean t ( ) := D 0 n 1 − i t i t1 − ( ) 2 ∑ = n 1 − := σ D := v σ t1 := n 30 = Mx 14 = mx 1 = k 0 m := t1 6.067 = D 17.306 = σ 4.16 = v 0.686 = int k mx k m Mx mx − 0.0001 + ( ) ⋅ + := h hist int t , ( ) := h 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 2 1 1 3 4 4 1 3 1 = int 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 2.3 3.6 4.9 6.2 7.5 8.8 10.1 11.4 12.7 14 = r 4 0 n 1 − i t i t1 − ( ) 4 ∑ = σ 4 := M 0 1 10 10 2 10 ⋅ 0 − 2 − ⋅ + := K t1 M 0 − ( ) σ := r 4 47.413 = M 0 6.556 = K 0.118 − = μ 0 n 1 − i ln s i ( ) ∑ = n := D 0 n 1 − i ln s i ( ) μ − ( ) 2 ∑ = n 1 − := m1 exp μ ( ) := R1 t ( ) 1 1 D 2 π ⋅ ⋅ 0 t u 1 u exp ln u m1 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ 2 2 D ⋅ − ⎡⎢ ⎢ ⎢⎣ ⎤⎥ ⎥ ⎥⎦ ⋅ ⌠ ⎮ ⎮ ⎮ ⎮ ⌡ d ⋅ − := s sort t ( ) := s 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 4 6 7 = R s ( ) exp s − t1 ⎛⎜ ⎝ ⎞⎟ ⎠ := R s ( ) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.848 0.848 0.848 0.848 0.848 0.848 0.719 0.719 0.719 0.719 0.61 0.61 0.517 0.372 0.315 = R1 s i ( ) 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 0.94 0.94 0.94 0.94 0.94 0.94 0.792 0.792 0.792 0.792 0.649 0.649 0.531 0.362 0.303 = Рис. 2.1. Пример расчета характеристик в ПП MathCAD 12 Контрольные вопросы и задания 1. Выполните расчет вероятностных характеристик и постройте функ- цию надежности по исходным данным, приведенным в таблице 2.1. Таблица 2.1 – Наработка экскаватора на отказ Вариант Вариационный ряд наработки на отказ, сут 1 1; 6; 10; 7; 1; 7; 1; 2; 2; 3; 7; 8; 1; 4; 1; 6; 10; 1; 2; 4; 10; 13; 6; 1; 4; 5; 2; 11; 11; 9. 2 3; 1; 7; 10; 4; 1; 16; 5; 6; 11; 17; 1; 12; 14; 7; 5; 6; 2; 6; 1; 1; 1; 5; 8; 2; 2; 12; 2; 1; 2. 3 2; 2; 1; 1; 8; 3; 8; 3; 1;7; 1; 9; 10; 8; 1; 4; 11; 12; 7; 2; 7; 12; 10; 2; 12; 8; 14; 6; 1; 9. 4 7; 1; 5; 1; 13; 5; 9; 1; 17; 12; 23; 4; 1; 14; 1; 8; 1; 9; 6; 1; 5; 9; 6; 1; 13; 13; 1; 6; 4; 2. 5 6; 1; 7; 2; 1; 1; 14; 7; 1; 12; 1; 9; 1; 1; 1; 14; 5; 10; 1; 10; 1; 16; 5; 11; 2; 7; 7; 1; 3; 13. 6 8; 1; 1; 1; 1; 14; 2; 3; 6; 31; 5; 1; 4; 12; 15; 8; 1; 11; 10; 6; 9; 11; 1; 3; 1; 8; 1; 20; 17; 21. 7 18; 1; 1; 8; 33; 1; 14; 1; 23; 7; 16; 1; 19; 3; 22; 1; 2; 1; 15; 4; 7; 1; 1; 11; 4; 1; 1; 1; 1; 32. 8 1; 5; 1; 32; 1; 1; 8; 1; 6; 1; 26; 1; 17; 6; 6; 8; 20; 9; 3; 1; 17; 1; 2; 8; 39; 1; 1; 9; 1; 6. 9 2; 12; 16; 14; 1; 20; 1; 7; 6; 38; 14; 1; 19; 23; 16; 1; 1; 1; 1; 5; 2; 11; 22; 1; 19; 36; 1; 18; 27; 25. 10 1; 8; 1; 1; 24; 1; 18; 1; 1; 1; 14; 10; 1; 1; 3; 19; 14; 9; 1; 22; 6; 8; 7; 21; 1; 31; 29; 1; 21;20. 11 14; 38; 11; 35; 22; 1; 26; 17; 1; 46; 2; 16; 7; 26; 13; 2; 23; 7; 8; 1; 26; 20; 4; 1; 2; 1; 14; 1; 1; 11. 12 44; 8; 19; 10; 25; 6; 43; 12; 6; 26; 1; 21; 13; 1; 19; 23; 47; 22; 16; 21; 30; 1; 14; 2; 17; 32; 1; 10; 1; 1. 13 1; 10; 22; 28; 30; 1; 14; 35; 12; 14; 52; 1; 4; 46; 24; 1; 28; 25; 1; 22; 1; 1; 1; 13; 21; 1; 40; 34; 39; 10. 14 43; 22; 2; 19; 26; 1; 35; 36; 3; 23; 36; 20; 3; 19; 16; 1; 50; 8; 1; 1; 25; 23; 1; 25; 1; 1; 11; 27; 1; 6. 15 14; 14; 10; 1; 40; 2; 37; 1; 24; 35; 1; 13; 23; 49; 24; 1; 22; 17; 47; 14; 4; 22; 1; 6; 1; 22; 31; 20; 14; 1. 16 1; 26; 4; 49; 1; 1; 11; 1; 6; 29; 32; 22; 1; 5; 14; 9; 17; 1; 5; 21; 10; 1; 11; 1; 35; 8; 23; 19; 13; 2. 17 25; 52; 1; 1;50; 39; 34; 1; 19; 39; 1; 8; 22; 18; 11; 41; 1; 35; 17; 2; 1; 30; 27; 20; 1; 40; 1; 1; 16; 24. 18 1; 40; 1; 39; 50; 14; 39; 26; 8; 24; 14; 42; 30; 21; 19; 1; 1; 6; 30; 53; 26; 28; 56; 1; 4; 3; 17; 48; 1; 36; 1; 24. 19 1; 40; 1; 39; 50; 50; 39; 34; 1; 19; 2; 6; 1; 38; 19; 33; 36; 14; 43; 1; 1; 1; 14; 30; 3; 45; 28; 49; 15; 9. 20 78; 2; 4; 1; 11; 1; 36; 1; 1; 22; 1;2; 1; 1; 26; 15; 58; 1; 1; 2; 2; 35; 27; 1; 4; 57; 15; 1; 24; 1. 2. Сравните и проанализируйте функции надежности для разных рас- пределений наработки на отказ. 3. Что называют модой? 4. Как определить дисперсию и коэффициент вариации? 5. Запишите аналитическое соотношение для определения ассиметрии. 6. Что характеризует эксцесс. 13 Практическая работа 3 Расчет количественных показателей надежности с учетом стохастических закономерностей Содержание работы : 1) изучить аналитические зависимости определения количественных показателей надежности системы; 2) рассчитать показатели надежности для экспоненциального и нор- мального закона распределения времени безотказной работы объекта. Краткие теоретические сведения Вероятность безотказной работы изделия на интервале времени от 0 до t ( ) ( ) 1 ) ( 0 λ t 0 ∫ − = = ∫ − t dt t dt t f e t p (3.1) Вероятность отказа изделия на интервале времени от 0 до t ). ( 1 ) ( t p t q − = (3.2) Частота отказов изделия или плотность вероятности времени безот- казной работы изделия Т ) ( ) ( ) ( dt t dp dt t dq t f − = = (3.3) Интенсивность отказа изделия ) ( ) ( ) ( λ t p t f t = (3.4) Среднее время безотказной работы изделия ( ) ∫ ∞ = 0 ) ( τ dt t p t (3.5) Формулы (3.1)-(3.5) для экспоненциального закона распределения вре- мени безотказной работы изделия примут вид: ; ) ( λt e t p − = ; 1 ) ( λt e t q − − = ; λ ) ( λt e t f − = ( ) ( ) ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ⋅ − − = = − − t t e e dt t dq t f λ λ λ λ 0 ) ( ; λ ) ( λ = t λ 1 ) ( τ = t ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ − − = − = = ∞ ∞ − ∞ − ∫ λ 1 1 λ 1 λ 1 ) ( τ 0 0 λ 0 λ e e e dt e t t t Формулы (3.1)-(3.5) для нормального закона распределения времени безотказной работы изделия примут вид: 14 ( ) ( ) , Ф 5 0 ) ( , Ф 5 0 ) ( 0 0 z t q z t p + = − = ( ) π 2 1 Ф , σ 0 2 0 2 ∫ − = − = z z dz e z m t z ( ) ( ) ; 2 1 , ) ( 2 2 z e z z t f − π = ϕ σ ϕ = ( ) ( ) ; Ф 5 0 1 ) ( λ 0 z z t − ⋅ σ ϕ = , τ m = где m, σ – параметры нормального распределения. На рисунке 3.1 приведены значения функции Ф 0 (z) и ее график. z Ф 0 (z) z Ф 0 (z) -4.0 -0.500 0 0 -3.5 -0.500 0.5 0.191 -3.0 -0.499 1.0 0.341 -2.5 -0.494 1.5 0.433 -2.0 -0.477 2.0 0.477 -1.5 -0.433 2.5 0.494 -1.0 -0.341 3.0 0.499 -0.5 -0.191 3.5 0.500 Рис. 3.1. Функция Ф 0 (z) Формулы (3.1)-(3.5) для закона распределения Вейбулла-Гнеденко при- мут вид: ; ) ( k t e t p α − = ; 1 ) ( k t e t q α − − = ; ) ( k t t k e kt t f α − − α = ; ) ( t k kt t − α = λ , 1 1 τ 1 k k Г k α ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = где α, k – параметры закона распределения Вейбулла-Гнеденко; Г – гамма-функция значения. Примеры расчета задач Задача 3.1. Время работы элемента до отказа подчинено экспоненци- альному закону распределения с параметром λ = 2.5·10 -5 l/час. Требуется вы- числить количественные характеристики надежности элемента p(t), q(t), f(t), τ для t = 1000 час. Решение. Вычислим вероятность безотказной работы: 975 0 ) 1000 ( 1000 10 2.5 λ 5 = = = ⋅ ⋅ − − − e e p t 15 Вычислим вероятность отказа: 025 0 975 0 1 ) 1000 ( 1 ) 1000 ( = − = − = p q Вычислим частоту отказов: час / 1 10 438 2 10 5 2 λ ) 1000 ( 5 1000 10 5 2 5 λ 5 − ⋅ ⋅ − − − ⋅ = ⋅ ⋅ = = − e e f t Вычислим среднее время безотказной работы: час 10 4 10 5 2 1 λ 1 ) ( τ 4 5 ⋅ = ⋅ = = − t Задача 3.2. Время работы элемента до отказа подчинено нормальному закону с параметрами m = 8000 час, σ = 2000 час. Требуется вычислить коли- чественные характеристики надежности p(t), q(t), f(t), λ(t), τ для t = 10000 час. Решение. Вычислим вероятность безотказной работы: ( ) 341 0 1 Ф , 1 2000 8000 10000 σ 0 = = − = − = m t z ( ) ( ) 841 0 1 Ф 5 0 ) ( , 159 0 1 Ф 5 0 ) ( 0 0 = + = = − = t q t p Определим частоту отказа: ( ) , 242 0 2 1 2 1 2 1 2 2 = π = π = ϕ − − e e z z ( ) час. / 1 10 21 1 2000 242 0 ) ( 4 − ⋅ = = σ ϕ = z t f Рассчитаем интенсивность отказов: ( ) ( ) час / 1 10 6 7 29 6 10 21 1 0.341 5 0 1 2000 242 0 Ф 5 0 1 ) ( λ 4 4 0 − − ⋅ = ⋅ ⋅ = − ⋅ = − ⋅ σ ϕ = z z t Среднее время безотказной работы элемента: . час 8000 τ = = m Контрольные вопросы и задания 1. Перечислите теоретические законы распределения наработки до от- каза. 2. Запишите функцию распределения наработки до отказа при нормаль- ном и экспоненциальном распределениях. 3. Каким образом выглядит соотношение между плотностью распреде- ления и интенсивностью отказов при экспоненциальном законе наработки объекта до отказа? 4. Наработка системы до отказа описывается экспоненциальным рас- пределением с параметром λ = 3·10 -4 ч -1 . Определить вероятность безотказной работы и плотность распределения при t = 4000 час, а также среднюю нара- ботку до отказа. 5. Наработка до отказа системы описывается нормальным распределе- нием с параметрами m = 4000 час, σ = 1000 час. Определить вероятность без- отказной работы, плотность распределения, интенсивность отказов для t = 2000 час и среднюю наработку до отказа. 16 Практическая работа 4 Расчет надежности восстанавливаемых систем Содержание работы : 1) изучить количественные показатели оценки надежности восстанав- ливаемых систем; 2) получить аналитические выражения для показателей надежности восстанавливаемой системы и рассчитать их. Краткие теоретические сведения Для восстанавливаемых систем можно применять различные показате- ли безотказности. При задании потока отказов как дискретного случайного процесса η(t) – числа отказов на интервале (0, t) показателем безотказности является параметр потока отказов ω(t), определяемый соотношением: dt t dW t ) ( ) ( = ω , где W(t)=M[ η(t)], W(t) – ведущая функция потока, определяемая как математическое ожидание числа отказов за время t. Для статистического определения параметра потока отказов поставим на испытания N одинаковых восстанавливаемых систем в одинаковых усло- виях эксплуатации и при одинаковом техническом обслуживании. В момент t=0 все системы работоспособны и начинают работу. Продолжительностью восстановления будем пренебрегать. Обозначим n i (t)число отказов i-й систе- мы ( N i , 1 = ) на интервале (0, t). Тогда ∑ = Δ − Δ + = ω N i i i t N t n t t n t 1 ) ( ) ( ) ( Таким образом, параметр потока отказов – отношение числа отказов системы на некотором малом отрезке времени к значению этого отрезка. При задании потока отказов как последовательности случайных вели- чин 1 ξ , 2 ξ ... наработок между отказами показателем безотказности является средняя наработка на отказ ∫ ∞ = ξ = Θ 0 ) ( ] [ dt t tf M i ...) 2 , 1 ( = i В простейшем потоке средняя наработка на отказ Θ и параметр потока ω связаны соотношением ω = Θ 1 17 Статистическое определение средней наработки на отказ ∑ = = Θ N i i t n Nt 1 ) ( Показателями ремонтопригодности являются вероятность восстановле- ния работоспособного состояния за заданное время 1 t и среднее время вос- становления соответственно { } 1 в 1 ) ( t T P t G < = ; ] [ в в T M = τ Статистические определения этих показателей: m t l t G ) ( ) ( 1 1 = ; ∑ = = m i i m t 1 в в τ , где ) ( 1 t l – число восстановлений, длительность которых меньше 1 t ; m – об- щее число восстановлений; i t в – время восстановления после i-гo отказа. Календарную продолжительность от начала эксплуатации системы до перехода в предельное состояние называют сроком службы системы. Срок службы системы может быть случайной величиной, которую обозначим ñ T . Тогда в качестве показателя долговечности можно принять средний срок службы ] [ c c T M t = , или гамма-процентный срок службы t γ , который определяется соотношением { } 100 c γ = > γ t T P В качестве случайной величины при рассмотрении долговечности мо- жет быть принят не только календарный срок службы системы, но и ее ресурс – наработка от начала эксплуатации до перехода в предельное состояние. Кроме приведенных выше показателей, каждый из которых характери- зует одну из составляющих надежности, используются также комплексные показатели, отражающие совместно безотказность и ремонтопригодность. Коэффициентом готовности k г называют вероятность того, что систе- ма окажется работоспособной в произвольно выбранный момент времени в установившемся процессе эксплуатации. В альтернирующем процессе вос- становления коэффициент готовности в г τ + Θ Θ = k , т.е. этот коэффициент численно равен средней доле времени, в течение кото- рого система пребывает в работоспособном состоянии. Для статистического определения коэффициента готовности, поставим на испытания N одинаковых восстанавливаемых систем и обозначим N р (t x ) число систем, находящихся в состоянии работоспособности в произвольный, достаточно удаленный от начала испытаний момент времени t x . Тогда 18 N t N k x ) ( p г = Коэффициентом оперативной готовности k ог (t) называют вероятность того, что система окажется работоспособной в произвольно выбранный мо- мент времени в установившемся режиме эксплуатации и что, начиная с этого момента, система будет работать безотказно в течение заданного интервала времени t. Из этого определения следует, что в альтернирующем процессе восстановления ) , ( τ ) ( в ог t t P t k x + Θ Θ = , где ) , ( t t P x – условная вероятность безотказной работы системы на интервале ) , ( t t t x x + при условии, что в момент t x система была работоспособна. Если распределение времени безотказной работы системы является экспоненциальным, тогда t e t k λ − + Θ Θ = в ог τ ) ( При определении коэффициента готовности и коэффициента оператив- ной готовности из рассмотрения исключены планируемые периоды времени, в течение которых применение систем по назначению не предусматривается (например, интервалы планового технического обслуживания). Эти периоды времени учитываются коэффициентом технического использования ∑ ∑ ∑ ∑ + + = в то p p ти τ τ τ τ k , где ∑ ∑ ∑ в то p τ , τ , τ – соответственно математические ожидания суммарных времен пребывания системы в работоспособном состоянии, технического об- служивания и восстановления за некоторый период эксплуатации ∑ τ |