Примеры расчета задач
Задача 4.1. Плотность распределения наработки до отказа технических объектов имеет вид
(
)
1 2
)
(
t
t
e
e
t
f
λ
−
λ
−
−
λ
=
Необходимо получить аналитические выражения для вычисления таких показателей надежности, как вероятность безотказной работы, средняя нара- ботка до отказа, параметр потока отказов.
Решение. Вероятность безотказной работы вычисляется следующим об- разом:
(
)
(
)
∫
∫
∞
λ
−
λ
−
λ
−
λ
−
λ
−
λ
−
∞
−
=
−
=
−
λ
=
=
t
t
t
t
t
t
t
t
e
e
e
e
dt
e
e
dt
t
f
t
p
2 2
1 2
)
(
)
(
2
19
Средняя наработка до отказа
(
)
∫
∫
∞
λ
−
λ
−
∞
λ
=
−
=
=
τ
0 2
0 2
3 2
)
(
dteedttpttДля вычисления параметра потока отказов используется уравнение
Вольтерра, которое обычно решается с использованием преобразования Лап- ласа:
)
(
1
)
(
)
(
sfsfs−
=
ω
Вычислим
f(
s):
(
)
∫
∫
∞
−
λ
−
λ
−
∞
−
+
λ
λ
−
+
λ
λ
=
⋅
−
λ
=
⋅
=
0 0
,
2 2
2 1
2
)
(
)
(
ssdteeedtetfsfstttstТогда преобразование Лапласа параметра потока отказов
(
)
(
)
3 3
2 3
2 3
2
)
(
1
)
(
)
(
2
sssssfsfs+
λ
λ
−
λ
=
+
λ
λ
=
−
=
ω
Для отыскания
ω(
t) найдем обратное преобразование Лапласа, предва- рительно разложив полученную дробь на простые дроби
(
)
1 3
2
)
(
3
tetλ
−
−
λ
=
ω
Контрольные вопросы и задания 1. Что такое «ресурс» и «срок службы»?
2. Перечислите критерии долговечности.
3. Что такое интенсивность отказов и интенсивность восстановления?
4. Расскажите сущность критерия «параметр потока отказов».
5. Объясните разницу между единичными и комплексными показателя- ми надежности объектов.
6. За наблюдаемый период эксплуатации в аппаратуре было зафиксиро- вано 8 отказов. Время восстановления составило:
t1
= 12 мин.
t2
= 24 мин.
t3
= 15 мин.
t4
= 9 мин.
t5
= 18 мин.
t6
= 30 мин.
t7
= 25 мин.
t8
= 40 мин.
Требуется определить среднее время восстановления аппаратуры.
7. Коэффициент готовности одной из подсистем АСОИУ, которая пред- ставляет
собой сложную восстанавливаемую систему, равен 0,9. Среднее время ее восстановления составляет 100 ч. Требуется найти вероятность за- стать систему в исправном состоянии в момент времени
t = 12 ч.
8. Выведите уравнение, связывающее параметр потока отказов объекта и плотность распределения наработки до отказа.
9. Покажите, как аналитически связана вероятность и интенсивность восстановления объекта.
20
Практическая работа 5 Моделирование потоков отказов многоэлементной системы Содержание работы:
1) изучить свойства простейшего потока отказов и его количественную характеристику;
2) рассчитать параметры потока отказов многоэлементной системы;
3) выполнить сравнительный анализ надежности всей системы в целом и ее подсистем (анализ провести на основе графиков функции надежности, раз- личном наклоне графиков на разных временных промежутках и их высоте).
Краткие теоретические сведения Потоком отказов является последовательность отказов объекта, возни- кающих одни за другим в какие-то моменты времени.
Различия в условиях эксплуатации, качестве изготовления и конструкци- ях машин приводит к тому, что нельзя рассматривать потоки отказов отдель- ных машин как реализации одного случайного процесса. Приходится иметь дело в каждом случае с единственной реализацией случайного процесса.
Наиболее часто встречаются модели, заключающиеся в том, что
поток отказов является простейшим, а наработка на отказ распределена экс- поненциально.
Поток является
простейшим при условии его стационарно- сти, ординарности и отсутствия последействия.
Стационарность потока означает, что количество отказов, возникаю- щих в не котором интервале времени, не зависит от положения этого интер- вала на временной оси. Иными словами, поток не должен иметь тенденции, к возрастанию или убыванию.
Ординарность потока означает, что вероятность одновременного на- ступления двух или более независимых отказов пренебрежимо мала по срав- нению с вероятностью наступления одного отказа. Действительно, фактиче- ски наблюдаются одновременно отказы двух элементов машины только то- гда, когда отказ одного из них влечет за собой отказ другого.
Поток отказов
не имеет последействия, если количество отказов маши- ны в будущем не зависит от предыстории.
Простейший поток можно ожидать при формировании его из суммы независимых потоков отказов узлов. При этом наработки на отказ этих узлов могут быть распределены но любому закону. Поскольку технологические машины достаточно сложны и состоят из большого количества элементов
(узлов и деталей), их поток отказов должен быть простейшим.
Для количественной характеристики потока отказов восстанавливаемых объектов используется параметр потока отказов, величина которого определя- ется на основании статистических данных. Параметр потока отказов характе-
21
ризует среднее число отказов объекта в единицу времени и может быть опре- делен по формуле
( )
( )
( )
(
)
1
tFtft−
=
ω
Результирующий поток отказов системы представляет собой суперпо- зицию потоков отказов всех ее элементов.
Примеры расчета задач Для показанной на рис. 5.1 структуры событий отказа ковша мехлопаты в соответствии с приведенными в таблице 5.1 исходными данными выполним следующие расчеты с помощью ПП MathCAD:
1) рассчитаем параметры потока отказов ковша как многоэлементной системы. При этом вычислим параметры потока отказов всех подсистем, включающих в себя другие элементы. Т.е. определим параметры потока отка- зов не только всего ковша (событие 1), но и ряда подсистем (события 1.1, 1.2,
1.4, 1.4.1, 1.4.3). Структурная схема события отказов показывает, что отказ любого элемента ковша равнозначен
отказу как содержащей этот элемент подсистемы, так и всего ковша. Это означает, что данная конструкция описы- вается с точки зрения надежности последовательным соединением элементов.
2) построим на одном графике функций надежности ковша и всех его подсистем, т.е.
p(
t) для событий 1, 1.1, 1.2, 1.4, 1.4.1, 1.4.3 (рис. 5.2).
1 – ковш; 1.1 – коромысло; 1.1.1 – пальцы и втулки коромысла;
1.1.2 – проушины коромысла; 1.1.3 – балки коромысла; 1.2 – корпус ковша;
1.2.1 – петли и пальцы корпуса; 1.2.2 – проушины и втулки корпуса;
1.2.3 – стенки корпуса; 1.3 – зубья; 1.4 – днище; 1.4.1 – салазки днища;
1.4.1.1 – палец салазки; 1.4.1.2 – другие элементы салазки; 1.4.2 – петля днища;
1.4.3 – засов днища; 1.4.3.1 – вилка засова; 1.4.3.2 – другие элементы засова;
1.4.4 – плита днища; 1.5 – другие элементы ковша
Рис. 5.1. Структура события отказа ковша мехлопаты
1 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.4.1 1.4.2 1.4.3 1.4.4 1.4.1.1 1.4.1.2 1.4.3.1 1.4.3.2
22
W
0.115 0.004 0.038 0.078 0.073 0.145 0.137 0.085 0.163 0.033 0.038 0.532 0.034 0.023
⎛
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎞
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
:=
w11 0
2
i
W
i
∑
=
:=
f11 t
( )
e w11
−
t
⋅
:=
Ww
0 13
i
W
i
∑
=
:=
fw t
( )
e
Ww
−
t
⋅
:=
w12 3
5
i
W
i
∑
=
:=
f12 t
( )
e w12
−
t
⋅
:=
0 200 400 600 800 0
0.5 1
f11 t
( )
f12 t
( )
f14 t
( )
f141t
( )
f143t
( )
fw t
( )
t w14 7
12
i
W
i
∑
=
:=
f14 t
( )
e w14
−
t
⋅
:=
w141 7
8
i
W
i
∑
=
:=
f141 t
( )
e w141
−
t
⋅
:=
w143 10 11
i
W
i
∑
=
:=
f143 t
( )
e w143
−
t
⋅
:=
Рис. 5.2. Пример решения поставленной задачи
Контрольные вопросы и задания
1. Дайте определение параметра потока отказов.
2. Назовите свойства простейшего потока отказов.
3. Рассчитайте параметры потока отказов ковша как многоэлементной системы. Исходные данные приведены в таблице 5.1. Результаты оформите в форме отчета.
Таблица 5.1 – Параметр потока отказов элементов устройства, 10
-2
, сут
-1
№ 1.1.1 1.1.2 1.1.3 1.2.1 1.2.2 1.2.3 1.3 1.4.1.1 1.4.1.2 1.4.2 1.4.3.1 1.4.3.2 1.4.4 1.5 1 0,119 0,003 0,035 0,074 0,078 0,144 0,135 0,083 0,161 0,035 0,035 0,530 0,035 0,022 2 0,118 0,004 0,036 0,073 0,079 0,143 0,134 0,084 0,160 0,036 0,034 0,535 0,036 0,023 3 0,117 0,005 0,037 0,072 0,080 0,142 0,133 0,085 0,159 0,037 0,033 0,540 0,034 0,024 4 0,116 0,006 0,038 0,071 0,081 0,141 0,132 0,086 0,158 0,038 0,032 0,545 0,037 0,025 5 0,115 0,007 0,039 0,071 0,082 0,140 0,131 0,087 0,157 0,039 0,031 0,550 0,033 0,026 6 0,114 0,008 0,040 0,069 0,083 0,139 0,130 0,088 0,156 0,040 0,030 0,555 0,038 0,027 7 0,113 0,009 0,041 0,068 0,084 0,138 0,129 0,089 0,155 0,041 0,029 0,560 0,032 0,028 8 0,112 0,010 0,042 0,067 0,085 0,137 0,128 0,090 0,154 0,042 0,028 0,565 0,039 0,029 9 0,111 0,011 0,043 0,066 0,086 0,136 0,127 0,091 0,153 0,043 0,027 0,570 0,031 0,030 10 0,110 0,012 0,044 0,065 0,087 0,135 0,126 0,092 0,152 0,044 0,026 0,575 0,040 0,031 11 0,109 0,013 0,045 0,064 0,088 0,134 0,125 0,093 0,151 0,045 0,025 0,580 0,030 0,032 12 0,108 0,014 0,046 0,063 0,089 0,133 0,124 0,094 0,150 0,046 0,024 0,585 0,041 0,033 13 0,107 0,015 0,047 0,062 0,090 0,132 0,123 0,095 0,149 0,047 0,023 0,590 0,029 0,034 14 0,106 0,016 0,048 0,061 0,091 0,131 0,122 0,096 0,148 0,048 0,022 0,595 0,042 0,035 15 0,105 0,017 0,049 0,060 0,092 0,130 0,121 0,097 0,147 0,049 0,021 0,600 0,028 0,036 16 0,104 0,018 0,050 0,059 0,093 0,129 0,120 0,098 0,146 0,050 0,020 0,605 0,043 0,037 17 0,103 0,019 0,051 0,058 0,094 0,128 0,119 0,099 0,145 0,051 0,019 0,610 0,027 0,038 18 0,102 0,020 0,052 0,057 0,095 0,127 0,118 0,100 0,144 0,052 0,018 0,615 0,044 0,039 19 0,101 0,021 0,053 0,056 0,096 0,126 0,117 0,101 0,143 0,053 0,017 0,620 0,026 0,040 20 0,100 0,022 0,054 0,055 0,097 0,125 0,116 0,102 0,142 0,054 0,016 0,625 0,045 0,041
23
Практическая работа 6
Логико-вероятностные методы расчета надежности сложных систем
Содержание работы
:
1) изучить методику расчета надежности системы на основе использо- вания логических высказываний и операций;
2) рассчитать надежность системы на основе логико-вероятностного метода.
Краткие теоретические сведения
В основе расчетов надежности лежит исследование событий и высказы- ваний. Высказывания соединены между собой логическими операциями. Каж- дая из логических операций устанавливает определенную связь между истин- ностью сложного высказывания и истинностью простых высказываний. В таблице 6.1 приведены наиболее распространенные логические операции для двух простых высказываний x и y. Истинность высказывания обозначена еди- ницей, ложность – нулем.
Таблица 6.1
Название операции
a
0 0 1 1
Обозначение
b
0 1 0 1
Конъюнкция (логическое умножение) (И)
0 0 0 1
b
a
∧
)
(
b
a
⋅
Дизъюнкция (логическое суммирование) (ИЛИ)
0 1 1 1
b
a
∨
Эквивалентность
1 0 0 1
b
a
Отрицание
1 0 1 0
b
Импликация от b к
a
1 0 1 1
a
b
→
Отрицание конъюнкции (штрих Шеффера)
1 1 1 0
a
b /
Отрицание дизъюнкции (стрелка Пирса)
1 0 0 0
a
b \
Конъюнкция. Степень истинности конъюнкции двух высказываний (операции "И") совпадает со степенью ис- тинности менее истинного высказывания (рис. 6.1).
Дизъюнкция. Степень истинности дизъюнкции двух высказываний (операции "ИЛИ") совпадает со степенью истинности более истинного высказывания (рис. 6.1).
Отрицание. Степень истинности отрицания какого- либо высказывания (операции "НЕ") равна степени ложно- сти исходного высказывания.
Импликация. Степень истинности импликации (вы- сказывания " ЕСЛИ … ,ТО ") тем больше, чем меньше
Конъюнкция
Дизъюнкция
Рис. 6.1
24
степень истинности посылки и чем больше степень истинности заключения; если у заключения степень истинности больше, чем у посылки, то степень истинности импликации равна единице. Поясним, что используемая в даль- нейшем операция импликации соответствует высказыванию «если b, то a».
При этом высказывание y называется посылкой высказывания b
⇒ a, а a – его заключением.
При расчетах надежности наиболее часто используются следующие за- коны и правила для преобразования сложных высказываний (табл. 6.2).
Таблица 6.2 – Правила преобразования
1
a
b
b
a
∨
=
∨
6 1
=
∨ a
a
,
a
a
=
∨ 0 11
a
a
a
=
⋅
2
a
b
b
a
⋅
=
⋅
7
a
a
=
⋅1
,
1 1
=
∨
a
12
(
)
b
a
b
a
⋅
=
∨
3
(
) (
)
c
b
a
c
b
a
∨
∨
=
∨
∨
8 0
=
⋅ a
a
13
(
)
b
a
b
a
∨
=
⋅
4
( ) (
) (
)
c
a
b
a
c
b
a
∨
⋅
∨
=
⋅
∨
9
b
a
b
a
a
∨
=
∨
14
a
b
a
ab
=
∨
5
(
)
ac
ab
c
b
a
∨
=
∨
⋅
10
a
a
a
=
∨
15
(
)
a
b
a
a
=
∨
⋅
Логическое уравнение, содержащее операции дизъюнкции, конъюнкции и отрицания, можно привести к арифметическому виду, если заменить логи- ческие операции на арифметические по следующему правилу:
ab
b
a
b
a
−
+
=
∨
,
ab
b
a
=
∧
,
a
a
−
= 1
,
Для определения вероятностей сложных высказываний (событий) необ- ходимо логическую функцию сложного высказывания привести к минималь- ной бесповторной форме, арифметизировать ее и затем заменить высказыва- ния на их вероятности.
На рис. 6.2 представлено последовательное соединение элементов
a–b–c. Это означает, что устройство, состоящее из этих элементов, переходит в отказовое состояние при отказе любого элемента. Условие работоспособно- сти устройства можно сформулировать следующим образом: устройство ра- ботоспособно, если работоспособен элемент a, и элемент b, и элемент c. Это- му условию соответствует логическая функция
abc
F
=
л
Ее арифметическое представление совпадает с логическим:
abc
F
=
а
Вероятность работоспособного состояния устройства
c
b
a
p
p
p
p
=
Для устройства состоящего из n элементов, эта вероятность равна
n
p
p
p
p
p
3 2
1
=
25
Рис. 6.2. Пример последовательного соединения элементов
На рис. 6.3. представлено
параллельное соединение элементов
a,
b,
c.
Это означает, что устройство состоящее из этих элементов переходит в отказовое состояние по- сле отказа всех элементов.
Условие работоспособности устройства можно сформулировать следующим образом: устройство работоспособно, если работоспособен элемент
a, или элемент
b, или элемент
c, или элементы
a и
b,
a и
c,
b и
c. Этому условию соответствует логическая функ- ция, в которой
a,
b,
c – события, состоящие в том, что элементы
a,
b,
c находятся в работоспособном состоянии:
abcbcacabcbaF∨
∨
∨
∨
∨
∨
=
л
Рис. 6.3. Пример параллельного соединения элементов
Минимизируем это выражение:
cbaabacacabbcbaF∨
∨
=
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
∨
=
)
1
(
)
1
(
)
1
(
л
Арифметизируем:
abcbcacabcbaF+
+
+
−
+
+
=
)
(
а
Заменим события их вероятностями
cbacbcabacbappppppppppppp+
+
+
−
+
+
=
)
(
Вероятность безотказного состояния устройства, состоящего из
n па- раллельно соединенных элементов,
(
) (
) (
)
(
)
nnnpppppppppppppppppp3 2
1 2
1 3
2 1
3 1
2 1
2 1
±
−
+
+
+
+
+
−
+
+
=
Скачать 0.75 Mb.