Делимость чисел. Делимость_чисел. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования орловский государственный университет имени И. С. Тургенева панюшкин св, Козичева Л. М. Делимость чисел в курсе алгебры
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ ОРЛОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени И.С. ТУРГЕНЕВА» Панюшкин СВ, Козичева Л.М. Делимость чисел в курсе алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики Орел – 2018 - 2 - Рецензент доктор педагогических наук, профессор кафедры геометрии и методики преподавания математики О.В. Тарасова Технический редактор кандидат педагогических наук, доцент кафедры геометрии и методики преподавания математики Т.Л. Овсянникова Панюшкин СВ, Козичева Л.М. Делимость чисел в курсе алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики. Методическая разработка- Орел ОГУ имени И.С. Тургенева, 2018. – с. Данная методическая разработка адресована учащимся общеобразовательных организаций, слушателям Подготовительного отделения. В разработке содержатся основные теоретические сведения школьного курса математики, набор задач поэтому разделу, советы и рекомендации по методике решения задач на данную тему. Цель представленных в разработке материалов – помочь слушателям Подготовительного отделения ФГБОУ ВО ОГУ имени И.С.Тургенева при подготовке к основному государственному экзамену (ОГЭ). ФГБОУ ВО ОГУ им. И.С. Тургенева, 2018 г. - 3 - СОДЕРЖАНИЕ Введение 1. Делимость чисел в программе по математике и учебниках для классов с углубленным изучением предмета 2. Делимость чисел 3. Деление с остатком 4. Десятичная запись числа. Признаки делимости 5. Простые и составные числа 6. Наибольший общий делитель и наименьшее общее кратное двух чисел. Взаимно простые числа 7. Алгоритм Евклида 8. Уравнение Пифагора 9. Контроль знаний, умений и навыков по теме Делимость чисел 9.1 . Разноуровневый контроль качества знаний по математике 9.2 . Тестовые задания 9.3 Примерные варианты контрольной работы по теме Делимость чисел. Олимпиадные задачи по теме Делимость чисел Заключение Литература - 4 - ВВЕДЕНИЕ Тема данной методической разработки – Делимость чисел в курсе алгебры классов с углубленным изучением математики. В разработке исследуется вопрос о необходимости изучения данной темы, атак же приведены приемы и методы изложения учебного материала. Может показаться, на первый взгляд, что теория делимости чисел не представляет интереса для восьми- и девятиклассников, так как они уже знают деление с остатком, разложение чисел на простые множители, наименьшее общее кратное и наибольший общий делитель. Однако, эти сомнения неосновательны. В школьном курсе арифметики, теория делимости излагается, в сущности без доказательств, на примерах, при этом не раскрывается ее логическая структура. Между тем, теория делимости является одной из тех немногих глав математической науки, которую можно без всяких пропусков и сокращений сообщить школьникам. Обладая логической стройностью и завершенностью, материал разработки разбит на несколько параграфов, включающих самые важные определения, свойства, теоремы. Каждая тема сопровождается примерами, иллюстрирующими применение того или иного свойства при решении задач, подобраны опорные задачи, даны упражнения с ответами, решениями и указаниями. Данная работа включает теорему Евклида о существовании сколь угодно больших простых чисел, алгоритм Эратосфена построения таблицы простых чисел и алгоритм Евклида для отыскания наибольшего общего делителя с применением к решению линейных уравнений с двумя неизвестными в целых числах. Уже из этого перечня видна исключительная роль, которую играет тема Делимость чисел в математическом воспитании подростка. Ведь упомянутые предложения и методы, составляя фундамент теории чисел, в тоже время представляют простейшие доступные школьнику примеры теорем существования и единственности и примеры алгоритмов, без чего немыслимо создать верное представление о математической науке. - 5 - Учитывая возраст учащихся, уровень их математического развития, в данной методической разработке сложные теоремы предложены без доказательства, а элементарные свойства и утверждения выносятся на самостоятельное рассмотрение. Исходя из вышесказанного, можно отметить, что данная работа направлена на реализацию следующих задач обобщение и систематизация знаний, полученных в курсе математики классов реализация внутрипредметных связей, способствующих лучшему усвоению материала овладение конкретными математическими знаниями, необходимыми для применения к решению задач интеллектуальное развитие учащихся, формирование алгоритмической, логической и эвристической составляющей мышления формирование базы для продолжения математического образования. - 6 - 1. Делимость чисел в программе по математике и учебниках для классов с углубленным изучением предмета. Делимость чисел встречается в программе по математике уже в 6 классе. Рассмотрение этой темы продолжается в курсе алгебры 8 класса. В настоящее время существует несколько учебников по алгебре, адресованных учащимся с углубленным изучением математики. Программы все чаще требуют особого внимания к вопросам данного разделано, как показывает практика, немногие авторы уделяют теории делимости должное внимание. Например, учебник по алгебре для 8 класса СМ. Никольского, М. К. Потапова, Н. Н. Решетникова, А. В. Шевкина (М Просвещение, 2000) не содержит раздела Делимость чисел. И как отмечают сами авторы в предисловии данного учебника, это учебное пособие нового типа, где, видимо, таким неинтересным вопросам теории делимости чисел просто не нашлось места. Разумеется, выбор учебника – это, в конечном счете, дело вкуса учителя. Просмотрев и составив диагностику многочисленных пособий по алгебре для 8 класса с углубленным изучением предмета относительно темы Делимость чисел, можно придти к следующему выводу. К оптимальным вариантам учебников по алгебре для 8 класса, отражающим данный вопрос следует отнести учебник Н. Я. Виленкина (М Просвещение, 1995) и учебник Ю. А. Макарычева, Н. Г. Миндюка. Данные пособия удовлетворяют общепринятым критериям оценки учебников соответствуют утвержденной программе, сочетают научность изложения с ясностью и доступностью для понимания школьника. Теоретический материал и практическая часть по теме Делимость чисел хорошо сбалансированы. Также теоретический и практический материал в данных пособиях изложен в разумном объеме, не перегружен тематически и при этом создает у обучающихся законченное и правильное представление о понятии делимости чисел. Глава Делимость чисел (впрочем, как и остальные главы) заканчивается подборкой задач для - 7 - самостоятельного решения, к большинству из них даны ответы и указания. Таким образом, вопросы делимости чисел здесь рассмотрены достаточно полно и интересно. Проанализировав учебные программы по теме Делимость чисел, составленные к различным учебным пособиям, необходимо было определить наиболее оптимальное поурочное планирование. При разработке планирования данной темы использован учебно- методический комплект для углубленного изучения математики, в который входит учебник Алгебра – 8 кл. (авт. Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк и др, учебник Алгебра Дополнительные главы к школьному учебнику 8 класса (Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк), атак же Дидактические материалы по алгебре для 8 класса с углубленным изучением математики (Ю. А. Макарычев, Н. Г. Миндюк). Учебная нагрузка в 8 классе составляет 5 часов алгебры в неделю, всего 170 ч. в год. Глава 2. Делимость чисел. - свойство делимости (4 ч) - признаки делимости (4 ч) - частное и остаток (3 ч) - контрольная работа (1 ч) Так как тема Делимость чисел может быть представлена для изучения в различном объеме, тов данной работе теория делимости представлена единым блоком (не разбита на отдельные уроки. Что касается методики отбора и изложения материала, то это право предоставляется учителю. Именно учитель с учетом недельной нагрузки по алгебре, наличия факультативных занятий, специфики класса и других факторов, способен разработать наиболее эффективную методическую модель изучения той или иной темы. - 8 - 1. Делимость чисел. Определение Целое число а делится на неравное нулю целое число b, если существует такое число q, что bq a В таком случае число а называется делимым, b- делителем, а q- частным. Запись обозначает, что число а делится на число b, те. b является делителем числа а, а запись сне- что число a не делится на число с, тес не является делителем а. Замечание. В литературе наряду с таким обозначением используется запись означающая, что b делит a, те. является делителем числа аи запись не делит a, те. не является делителем числа а Так как для любого b имеем , 0 0 b то для любого b справедливо, что 0 b Если , 0 , b b a то существует лишь одно число с такое, что , bc a называемое частным отделения а на b. В самом деле, пусть 2 1 2 1 , , c c bc a bc a , то ), ( 0 2 1 2 1 c c b bc bc чего не может быть, т. ка. Получили противоречие. Из равенства и 1 следует, что для любого а имеем, что и причем 1 a a , при 0 a и Запись 0 0 не имеет числового значения, т.к. для всех b справедливо равенство и 0 поэтому 0 0 нельзя определить однозначно. Не имеет числового значения и запись 0 a при , 0 a так как чае нет числа с такого, что Легко доказываются следующие утверждения о делимости чисел 1. Если а то ; b a 2. если , , a b b a то b a ; 3. если , , c b b a то ; c a 4. если ; , , c b а и c b а то c b с а - 9 - 5. если ; , , c не b а то c не b с а 6. если 0 , k b a , то ; kb ka 7. если , 0 , k kb ka то ; b a 8. если , bc a то , c b a а если , c b a то Докажем утверждения 4 и 5. Утверждение 4. Если , , c b а и c b а то c b с а Доказательство. Поскольку , c b и с а то 1 q с а и , 2 q с b где 2 1 , целые числа. Следовательно, ), ( ), ( 2 1 2 что означает, что c b а и c b а Ч. т. д. Утверждение 5. Если , , c не b а то c не b с а Доказательство проводится методом от противного Допустим, что а Тогда по утверждению 1, , c b a b а но по условию, c не b Тем самым мы пришли к противоречию, следовательно наше предположение, что c b а неверно, те. c не b а Ч. т. д. Аналогично можно доказать более общее утверждение. Утверждение. Если то c не а но с а с а с а n n , , , , , 1 2 1 1 2 1 c не а а а а n n Методическое указание При доказательстве теоремы методом от противного сначала допускают, что утверждение этой теоремы неверно. Затем посредствам некоторых рассуждений стараются получить либо заведомо неверное утверждение, либо утверждение, противоречащее условию теоремы. При правильных рассуждениях противоречие может получиться только за счет того, что неверным было первоначальное допущение о том , что теорема неверна. Следовательно утверждение теоремы верно. Задача 1.1. Докажите, что, если , , b a c b то c a - 10 - Задача 1.2. Какие из следующих утверждений верны, а какие нет Верные утверждения докажите, а для неверных приведите противоречащие примеры. a) Если одно из слагаемых делится на 15, а другое не делится на 15, то сумма не делится на 15. b) Если каждое из слагаемых не делится на 15, то и их сумма не делится на 15. c) Если каждый из двух сомножителей не делится на 15, то и произведение не делится на 15. d) Если один из сомножителей не делится на 15, а другой делится на 15, то их произведение не делится на 15. e) Если число делится на 15 и 21, то оно делится на их произведение. f) Если один из сомножителей делится на 3, а другой на 5, то их произведение делится на 15. g) Если произведение двух сомножителей делится на 15, то хотя бы один из сомножителей делится на 15. Решение (a), (g) Утверждение а) верно. Оно следует из утверждения 5. Утверждение g) неверно. Приведем противоречащий пример число 15 30 10 3 , но 15 10 , 15 3 не не Методическое указание. Подчеркнем, что когда спрашивается верна ли какая- то теорема (какое- то математическое утверждение) или нетто имеется ввиду верно ли это при всех значениях букв, во всех возможных случаях. Поэтому, когда мы доказываем теорему, те. доказываем, что она верна, мы должны проводить рассуждения так, чтобы они годились для всех случаев. Если же мы хотим показать, что теорема неверна, то достаточно - 11 - привести один опровергающий пример (называемый контрпримером так мы построили ответ на вопрос g) . Задача 1.3. Докажите, что, если ), ( 2 b a a то Задача 1.4. Пусть c ab и c b a ) ( . Докажите, что ) ( 2 2 c b a 2. Деление с остатком. Отметим на числовой оси точки, соответствующие целым числам. Пусть b – некоторое натуральное (целое положительное) число. Выделим на рисунке все целые числа, делящиеся на b. Они расположены на осина равном расстоянии (равном b) друг от друга. Эти числа называют кратными числу b. Пусть теперь какое-то число а не кратно b. Тогда оно попадает между двумя числами, кратными b. Пусть это числа qb и (q+1)b. Поэтому поводу можно сформулировать следующее утверждение Если аи целые числа, причем b>0, то существует такое целое число q, что , r bq a где остаток r – целое число, удовлетворяющее равенству 0 b r Эти числа q и r определяются поданным аи единственным образом- 12 - _1005 91 _ 95 91 4 13 77 Пусть числа аи заданы своими записями в десятичной системе. Чтобы найти частное q и остаток r, ненужно, конечно, рисовать отрезок длины a на числовой оси и укладывать на нем много раз отрезок, длины b. Для этого существует более рациональный способ. Это – известное всем правило деления одного числа а на другое число b столбиком. Это деление можно производить до тех пор, пока остаток не станет меньше, чем делитель. Например, если делить 1973 на 31, то при делении получается частное 63 и остаток 20: или 20 63 31 Методическое указание В утверждении сказано, что делитель b - положительное число, а остаток таков, что но про делимое а ничего сказано не было. Разберем случай, когда a - отрицательное число. Пусть, например, 7 , 23 b a Тогда , 7 5 0 , 5 7 ) 4 ( 23 те. остаток при делении (-23) на 7 равен 5. Следовательно, условие по-прежнему выполняется. Задача 2.1. Какой остаток дает число 1. 1005 при делении на 13? 2. (-150) при делении на 19? 3. 1111 при делении на 37? 4. (-54321) при делении на 4? Решение 1. те. 4 13 77 Ответ 4. _1973 186 _113 93 20 31 63 - 13 - 2. 2 Ответ 2. Задача 2.2. Докажите, что числа 6 4 10 10 и дают одинаковые остатки при делении на 11. Решение I способ. Имеем 1 90909 11 10 , 1 909 11 10 6 4 Следовательно, оба числа при делении надают один и тот же остаток 1. Заметим, что условие «x дает при делении на m остаток r (где m r 0 )» эквивалентно такому целое число. Пусть в этой формуле t пробегает все множество чисел , , 2 , 1 , 0 , 1 , 2 , в то время как m и r фиксированы, не меняются (скажем, , 5 , 8 r m тогда 5 8 t x ). При этом формула дает всевозможные целые числа, для которых остаток отделения на m равен r. Если изобразить эти числа на оси, то получится множество точек, отстоящих друг от друга на расстоянии m: на нашем рисунке изображено множество чисел 5 8 t x ). Таким образом, если задано m>0, то все множество целых чисел можно разбить на m классов к одному классу отнести все числа, дающие приделе- нии на m остаток 1, к другому – остаток 2, итак далее. Эти классы можно записать таки, наконец, последний класс (вернее нулевой) mt x В него входят все числа, дающие при делении на m остаток 0, те. делящиеся на m. Например, если m=8, то всего 8 классов, каждое число обязательно попадет в один и только один класс. 7 8 , , 1 Заметим, что если m задано, то два числа 2 1 , x x попадают в один и тот же класс в томи только том случае, если разность 2 1 x x делится на m. |