Делимость чисел. Делимость_чисел. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования орловский государственный университет имени И. С. Тургенева панюшкин св, Козичева Л. М. Делимость чисел в курсе алгебры
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
II способ Т.к. 99 10 ) 1 100 ( 10 10 10 4 4 4 6 делится на 11, то числа 6 4 10 10 и дают одинаковые остатки при делении на 11. Задача 2.3. Докажите, что числа 1. 5 10 и -1, 2. -123456789 и 9876543210 дают одинаковые остатки при делении на 11. Задача 2.4. 1. Каково наименьшее из чисел, больших 1975, которое при делении надает остаток 3? 2. Каково наименьшее из чисел, меньших 2001, которое при делении надает остаток 8? Решение 1. Разделим 1975 нас остатком 1 7 282 1975 Остаток равен. Следовательно, искомое число 1975+2=1977, это число при делении надает остаток 3. Ответ 1977. Задача 2.5. Водном из подъездов восьмиэтажного дома на первом этаже находятся квартиры от №97 до №102. На каком этаже ив каком (по номеру) подъезде находится квартира №178? (На всех этажах одинаковое число квартир и все подъезды устроены одинаково. - 15 - Решение 48 квартир водном подъезде. 34 3 48 178 ) 2 квартира №178 находится в четвертом подъезде. 4 5 6 34 ) 3 квартира №178 расположена нам этаже. Ответ й подъезд, й этаж. Задача 2.6. Было 7 листов бумаги. Некоторые из них разрезали на 7 кусков итак сделали несколько раз. Могло ли в результате получиться 1998 кусков А 1999 кусков Указание Подумайте, как возрастает число кусков, когда один разрезают на 7 частей. Решение Когда один кусок разрезают на 7 частей, то число кусков возрастает на 6 кусков. Значит, число кусков должно удовлетворять равенству , 6 7 N n n a , 1991 6 , 6 7 1998 ) n n a 6 5 331 n не может. , 1992 6 , 6 7 1999 ) n n b 332 n может. Ответ 1998 – не может, 1999 – может. Задача 2.7. Какой остаток (при каждом натуральном n) даст число 1) 5 3 2 n n при делении на число 1 n 2) 1 2 n при делении на 4. Решение 1) Перепишем данное число 5 3 2 n n так 3 ) 2 )( 1 ( 5 3 2 n n n n Из этой записи видно, что если число больше 3, то остаток всегда равен 3. Если 3 1 n (при n=2), то остаток равен. Если 2 1 n (при n=1), то остаток равен 1. 2) Указание Рассмотрите два случая n- четно и n- нечетно. - 16 - Задача 2.8. а) Докажите, что из 8 целых чисел всегда можно выбрать два таких, разность которых делится наб) Верно ли, что из 100 целых чисел всегда можно выбрать два таких, у которых сумма делится на 7. в) Докажите, что из 5 чисел всегда можно выбрать два таких, у которых разность квадратов делится на 7. Решение а) Пусть даны любые 8 целых чисел. Найдем остаток каждого из них отделения на 7. Всего существует 7 возможных остатков 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. У нас имеется восемь остатков, значит, хотя бы два из них совпадают. Следовательно, по крайней мере, два из наших восьми чисел дают один и тот же остаток при делении на 7: 7 , 7 2 2 1 1 r q a r q a Тогда их разность ) ( 7 2 1 2 1 q q a a делится наб) Утверждение неверно. Например числа 1, 8, 15, 22, 29, … в) Указание Вместе с каждым остатком r рассмотрите дополнительный. Рассмотрим числа ). 7 ( 7 , 7 1 2 Оба равенства возведем в квадрат 14 14 98 49 49 , 14 49 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 Вычтем ) 2 14 7 ) ( 2 ) ( 7 ( 7 14 98 49 ) ( 14 ) ( 49 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 2 1 2 2 Отсюда следует, что 7 ) ( 2 2 2 1 a a Используя результаты задачи а) можно сформулировать следующий принцип, который называется принципом Дирихле. Принцип Дирихле В n клетках нельзя рассадить поодиночке n+1 кроликов, те. найдется клетка, где сидит не менее двух кроликов. - 17 - Обобщение принципа Дирихле Даны n клеток, и кроликов размещены в эти клетки. Тогда найдется клетка, где сидит не менее (k+1) кроликов. Принцип недостаточности Если разместить менее, чем 2 ) 1 ( ) 1 ( 2 1 0 n n n кроликов в n клетках, то найдутся хотя бы две клетки, в которых сидят по одинаковому числу кроликов. Задача 2.9 * . На столе лежат книги, которые надо упаковать. Если их связать попои по 6, то каждый раз остаѐтся одна лишняя книга, а если по 7 книг в пачку, то лишних книг не останется. Какое наименьшее количество книг может лежать на столе? Указание. Чтобы число делилось на 4, на 5, на 6, необходимо и достаточно, чтобы оно делилось на 60. Решение Учитывая указание, получаем, что книг должно быть не меньше 60. Т. к. одна книга осталась, то книг могло быть 61, ноне делится на 7. Книг могло быть и 121, и 181, и 241, и 301, и т. д. Из этих чисел 301 удовлетворяет всем условиям 43 7 301 , 1 75 6 301 , 1 75 5 301 , 1 75 Ответ 301 книга. Задача 2.10*. 14 мальчиков собрали 100 орехов. Докажите, что какие- то два собрали одинаковое число орехов (каждый собрал хотя бы 1 орех. Указание Используйте принцип недостаточности. - 18 - 4. Десятичная запись числа. Признаки делимости. Вспомним, что означает привычная для нас запись числа в десятичной форме. Рассмотрим число 7053. В этом числе 7 тысяч, 0 сотен, 5 десятков и 3 единицы, те В общем случае, если 0 по порядку следующие цифры в десятичной записи числа М (обозначение 0 1 1 a a a a M n n ), то 10 10 10 0 1 Задача 3.1. Число а оканчивается на 5. Докажите, что число 2 a оканчивается на 25. Доказательство По условию задачи m m a , 5 10 количество десятков в числе a. Тогда 25 100 100 Число 100 2 оканчивается на 2 нуля, поэтому 2 a оканчивается на 25. Ч. т. д. Справедливо более общее утверждение, позволяющее в некоторых случаях быстро перемножать числа. Задача 3.2. Докажите следующие теоремы Теорема 1. У двух чисел одинаковое количество десятков, а сумма единиц равна 10. Чтобы перемножить эти числа, достаточно число их десятков умножить на число на единицу большее и приписать сзади произведение единиц (в случае, если число единиц этих чисел соответственно 1 и 9, то сзади приписывается 09). Примеры 11009 09 9 1 110 ) 1 10 ( 10 109 101 , 5616 16 8 2 56 ) 1 7 ( 7 78 72 - 19 - Теорема 2. Для нахождения квадрата числа, оканчивающегося на 5 достаточно перемножить число его десятков на число, большее на 1, и к полученному произведению приписать в конце 25. Примеры 570025 5700 75 5625 75 75 ) 1 75 ( 75 755 , 5625 56 ) 1 7 ( 7 75 2 2 Сформулируем некоторые признаки делимости. Методическое указание Если в формулировке теоремы есть слова тогда и только тогда, необходимо, достаточно, в томи только том случае и т. п, то фактически теорема содержит два утверждения. Например, для доказательства признака делимости на 2 требуется установить справедливость следующих утверждений 1) если число делится на 2, то это число оканчивается начетную цифру. 2) если с число оканчивается начетную цифру, то оно делится на 2. 3.1. Признак делимости на 2. Теорема На 2 делятся те и только те натуральные числа, которые оканчиваются четной цифрой. Доказательство Любое натуральное число N в десятичной системе исчисления можно представить в виде , 10 10 10 10 0 1 2 2 1 1 a a a a a N n n n n где каждое из чисел n n a a a a a , , , , , 1 2 1 0 принимает значения 0, 1, 2, … , 9, причем 0 a - цифра единиц числа N, 1 a цифра десятков, 2 a цифра сотен и т.д. Запишем число Т следующим образом , 10 10 10 10 10 0 1 2 2 1 1 a a a a a N n n n n те. в виде где , 10 10 10 10 0 1 2 2 Число А, очевидно, делится на 2, т.к. первый сомножитель делится на 2. Далее, если каждое слагаемое делится на некоторое число, то и их сумма делится на это число. Поэтому, если число делится на 2, то и число N также делится на 2. С другой стороны, если число N делится на 2, то и число N- 10A=B делится на 2. Действительно, 2 , 10 2 M N A M B Но однозначное число 0 a B делится на 2 только в том случае, если оно равно 0, 2, 4, 6, 8, то есть когда запись числа N оканчивается четной цифрой. Ч. т. д. 3.2. Признак делимости на 5. Теорема На 5 делятся те и только те натуральные числа, запись которых оканчивается нулем или цифрой 5. Доказательство Как ив пункте 1.1 произвольное натуральное число N представим в виде где , 10 10 10 10 0 1 2 2 Число А, очевидно, делится на 5. Поэтому, если число делится на 5, то и число N также делится на 5. С другой стороны, если число N делится на 5, тона делится и число 5 ), 2 ( 5 10 Но однозначное число 0 a B делится на 5 только в том случае, если оно равно или 5, то есть когда запись числа N оканчивается нулем или цифрой 5. Ч. т. д. 3.3. Признак делимости на 10. Теорема На 10 делятся те и только те натуральные числа, запись которых оканчивается нулем. Доказательство Как ив предыдущем пункте произвольное натуральное число N представим в виде где , 10 10 10 10 0 1 2 2 Число А, очевидно, делится на 10. Поэтому, если число делится на 10, то и число N, представленное в виде суммы также делится на 10. С другой стороны, если число N делится на 10, то и второе слагаемое В делится на 10. Но однозначное число 0 a B делится на 10 только в том случае, если оно равно 0, то есть когда запись числа N. Ч. т. д. - 21 - 3.4. Признак делимости на 3. Теорема На 3 делятся те и только те натуральные числа, сумма всех цифр которых делится на 3. Доказательство Прежде всего заметим, что любая степень числа с натуральным показателем может быть представлена в следующим образом 1 9 99 0 00 1 10 , , 1 99 10 , 1 9 10 В результате любое натуральное число 0 1 2 2 1 1 10 10 10 10 a a a a a N n n n n будет представлено в виде ), ( 9 99 9 99 9 99 ) 1 9 ( ) 1 99 ( ) 1 9 99 ( ) 1 9 99 ( 0 1 2 1 1 2 1 1 0 1 2 1 1 а а а а а а а а а a а а а а N n n n n n n n n n n т.е. , 9 B A N , 11 1 11 1 11 0 1 2 1 1 2 1 1 а а а а а B a a a a A n n n n n n Число А, очевидно, делится на 3. Поэтому, если число равное сумме цифр числа делится на 3, то и их сумма 9А+В делится нате делится на 3. С другой стороны, если число N делится на 3, то делится на 3 и число поскольку в этом случае 3 ), 3 ( 3 То сумма, сумма цифр числа N делится на 3. Ч. т. д. 3.5. Признак делимости на 9. Теорема На 9 делятся те и только те натуральные числа, сумма всех цифр которых делится на 9. Доказательство Как показано в пункте 1.4. любое натуральное число можно представить в виде , 9 B A N , 11 1 11 1 11 0 1 2 1 1 2 1 1 а а а а а B a a a a A n n n n n n Число А, очевидно, делится на 9. Поэтому, если число равное сумме цифр числа делится на 9, то и их сумма 9А+В делится нате делится на 9. С другой стороны, если число N делится на 9, то делится на 9 и число - 22 - поскольку в этом случае 9 ), ( 9 9 9 M N A M A M B То. сумма, сумма цифр числа N делится на 9. Ч. т. д. 3.6. Признак делимости на 4. Теорема Число тогда и только тогда делится на 4, когда число, составленное из двух последних его цифр, делится на 4. Доказательство Пусть 0 1 1 1 10 10 10 a a a a M n n n n 10 ) 10 10 ( 10 0 1 2 3 1 2 2 a a a a a n n n n 10 , 100 0 1 a a B B A M 4 100 A (очевидно, поэтому, если , 4 B то С другой стороны, если 4 M , то , 4 ), 25 ( 4 100 4 100 , 4 N M A N A N A M B B таким образом, число, составленное из двух последних цифр числа М, делится на 4. Ч. т. д. 3.7. Признак делимости на 8. Теорема. Число тогда и только тогда делится на 8, когда число, составленное из трех последних его цифр делится на 8. Доказательство 0 1 1 1 10 10 10 a a a a M n n n n . Представим М в виде 10 10 ) 10 10 ( 10 0 1 2 2 3 4 1 3 М 10 , 1000 0 1 2 2 a a a B B A M 8 1000 A (очевидно, поэтому, если , 8 B то С другой стороны, если 8 M , то , 8 ), 125 ( 8 1000 8 1000 , 8 N M A N A N A M B B таким образом, число В, составленное из двух последних цифр числа М, делится на 8. Ч. т. д. В качестве задачи можно предложить учащимся самостоятельно доказать следующие признаки делимости. - 23 - 3.8. Признак делимости на 25. Теорема. На 25 делятся те и только те числа, у которых две последние цифры образуют число, делящееся на 25. Указание. Теорема доказывается как и признак делимости настой лишь разницей, что число надо представить в виде суммы числа сотен, содержащихся в данном числе, и числа, образованного двумя последними цифрами. 3.9. Признак делимости на 125. Теорема. На 125 делятся те и только те числа, у которых три последние цифры образуют число, делящееся на 125. Указание. Для доказательства достаточно данное число представить в виде суммы числа тысяч, содержащихся в данном числе, и числа, образованного тремя последними цифрами. 3.10. Признак делимости на 6. Теорема. На 6 делятся те и только те числа, которые делятся и на 2, и на 3 3.11. Признак делимости на 11. Теорема. Чтобы узнать, делится ли число на 11, надо отдельно сложить цифры его десятичной записи, стоящие начетных местах, и цифры, стоящие на нечетных местах, и из большей суммы вычесть меньшую. Если полученная разность делится на 11, то и само число делится на 11. Задача 3.3. Найдите все пятизначные числа 1) y x5 34 , которые делятся на 36, 2) , 1 71 y x которые делятся на 45. |