Делимость чисел. Делимость_чисел. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования орловский государственный университет имени И. С. Тургенева панюшкин св, Козичева Л. М. Делимость чисел в курсе алгебры
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
10. Олимпиадные задачи по теме Делимость чисел. В целях развития у учащихся интереса к математике во многих городах и сельских местностях проводятся математические олимпиады школьные, районные, городские, областные. Если разрешить участвовать в этих олимпиадах учащимся, не прошедшим должной подготовки в школе под руководством учителя или самостоятельно, то нередко после неудач они не только не заинтересовываются математикой, но, напротив, часто теряют веру в свои силы и вряд ли скоро возьмутся за решение трудных и даже просто занимательных задач. Поэтому очень важно организовывать для учащихся, наиболее интересующихся математикой, в школе или в объединении нескольких школ математические кружки, чтение лекций учителями, научными сотрудниками ближайших высших учебных заведений и исследовательских институтов. На кружковых занятиях основной целью следует считать решение интересных и оригинальных задач, расширяющих и углубляющих знания учащихся, получаемых на уроках. Однако, каждая задача, особенно на первых занятиях кружка, не должна содержать нагромождения многих трудностей логического, смыслового и вычислительного характера. В противном случае у учащихся очень быстро пропадает интерес к математике. Если же умело поддерживать любознательность учеников, предлагая им задачи, соответствующие их знаниям, то это привьет им вкус к самостоятельному мышлению и поможет развитию их математических способностей. Рассмотренные ниже олимпиадные задания могут служить первым шагом для стимуляции у учеников интереса к математике и перехода к задачам повышенной трудности. Задача 9.1. Натуральное число у назовем ординарным, если существует натуральное число х, при котором y x 4 простое число. Натуральное число у назовем неординарным, если для любого натурального числах число y x 4 составное. Укажите по одному ординарному и неординарному числу. Докажите, что множество таких чисел бесконечно. Решение. 1) Пусть р – простое число, , 1 , 1 4 p y x x p y Множество чисел 1 p y бесконечно. Например, при 4 , 5 y p ординарное число. 2) Пусть 4 4 к – натуральное число, 1 k ). Тогда ) 2 2 )( 2 2 ( ) 2 ( ) 2 ( 4 2 2 2 2 2 2 2 2 4 4 составное. Множество неординарных чисел 4 4 k бесконечно. Например, при 64 , 2 y k ▲ Задача 9.2. Найдите такое простое число р, что 7 2 p тоже постое. Решение 7 2 p нечетно, тогда 2 p и р – четные. Такое число одно р. ▲ Задача 9.3. Докажите, что 1 43 делится на 77. Решение 1 2 k a делится на 1 2 a , поэтому 1 43 1998 делится на 24 77 44 42 ) 1 43 )( 1 43 ( 1 43 2 ▲ Задача 9.4. Докажите, что число 1 2 2002 делится на 1 2 2 501 1001 без остатка. Указание Обозначьте 501 2 за х. Затем разложите на множители многочлен х Задача 9.5. Докажите, что число 2004 2003 2 13 13 13 13 делится на 7. Указание Сгруппируйте слагаемые попарно первое со вторым, третье с четвертыми т. д. Затем из каждой такой суммы вынесите за скобки общий множитель. - 53 - ▲ Задача 9.6. Первоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может записать число, делящееся на 2003. Указание Рассмотрите 2004 различных числа, записанных одними единицами. По принципу Дирихле среди них найдутся два числа, дающие одинаковые остатки при делении на 2003. Их разность число вида 11…1100…0) делится на 2003. Но тогда на будет делиться и число, полученное отбрасыванием у этой разности всех нулей. (Заметим, что искомое число содержит в своей записи единицы. ▲ Задача 9.7. Докажите, что среди шести человек обязательно найдутся трое попарно знакомых или трое попарно незнакомых (задача Рамсея). Указание Представьте каждого человека в виде вершины выпуклого шестиугольника, знакомство двух людей – в виде его стороны или диагонали одного цвета, а незнакомство двух людей – в виде стороны или диагонали другого цвета. Далее на основании принципа Дирихле покажите наличие одноцветного треугольника. - 54 - ЗАКЛЮЧЕНИЕ Современный уровень развития науки и техники требует глубоких и прочных математических знаний. Математические расчеты, основанные на использовании алгоритмов основных математических действий, являются составной частью трудовой деятельности рабочего, инженера, экономиста и др. Умение пользоваться математическим аппаратом является непременным элементом политехнического образования. О наличие у учащихся вычислительной культуры можно судить по их умению производить устные и письменные вычисления, рационально использовать ход вычислений, убеждаться в правильности полученных результатов. Качество вычислительных умений определяется знанием правили алгоритмов вычислений. Поэтому степень овладения вычислительными умениями зависит от четкости сформулированного правила и от понимания принципа его использования. Умение формируется в процессе выполнения целенаправленной системы упражнений. Очень важно некоторые вычислительные умения доводить до навыков. При обучении вычислениями совершенствовании техники счета необходимо отчетливо представлять, какие умения и навыки у учащихся необходимо сформировать. Делимость чисел, правила и алгоритмы делимость позволяют повышать вычислительную культуру школьников. Поэтому основная школа призвана формировать сознательное усвоение законов и свойств арифметических действий. Данная разработка может быть использована учителем как методическое пособие обучению школьников по теме Делимость чисел в классах с углубленным изучением математики и на факультативных занятиях в школе. Однако доступность изложения позволяет использовать данную разработку как пособие и для учителей общеобразовательных школа кроме того, позволяет некоторые свойства и упражнения применять и на уроках математики в 5-6 классах. Основное содержание представлено в 9 параграфах, сопровождающихся задачами. Каждый учитель может вносить свои коррективы в систему упражнений и их дозировку, отбирая тот материал, который он сочтет наиболее целесообразным использовать в конкретных условиях своего класса. ЛИТЕРАТУРА 1.Виленкин Н. Я. Алгебра для 8 класса. Учебное пособие по математике для учащихся школ и классов с углубленным изучением математики. – М Просвещение, 1995. 2.Галочкин АИ. Числа и многочлены (Часть I. Делимость целых чисел. Методические разработки по математике для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета МГУ М МГУ, 1999 3. Галочкин АИ. Числа и многочлены (Часть II. Целочисленные уравнения. Методические разработки по математике для учащихся заочного отделения Малого механико-математического факультета МГУ М МГУ, 1999. Кожухов С. К, Галанина Е. А. Элективные курсы по математике в предпрофильной подготовке девятиклассников. Практикум по решению олимпиадных задач. – Орел ОГУ, 2005 5. Маркушевич АИ. Дополнительные вопросы целых чисел. // Математика в школе, 1967, №4. 6.Мурадова Е. Простые числа. Так ли проста их история // Математика. 7.Муромцева ЛИ. Дополнительные вопросы целых чисел. Методическое пособие для учителей восьмилетней школы. – Орел ОГУ, 1968. Программы для общеобразовательных школ, гимназий, лицеев Математика кл Составители ГМ. Кузнецова, Н.Г. Миндюк. - 56 - 9.Пронина Е. Б. Примерное тематическое планирование для классов с углубленным изучением математики. // Математика, 2000, №28. Фоминых Ю. Ф. Делимость чисел Математика в школе, 1998, №2. - 57 - Панюшкин Сергей Владимирович Козичева Любовь Михайловна Делимость чисел в курсе алгебры 8-9 классов с углубленным изучением математики МЕТОДИЧЕСКАЯ РАЗРАБОТКА Технический редактор Т.Л. Овсянникова ФГБОУ ВО ОГУ им. И.С. Тургенева, 2018 г. |