Делимость чисел. Делимость_чисел. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования орловский государственный университет имени И. С. Тургенева панюшкин св, Козичева Л. М. Делимость чисел в курсе алгебры
 Скачать 0.9 Mb.
|
|
Задача 5.3. а) Какое наибольшее число одинаковых букетов можно составить из 192 белых и 264 красных георгинов б) Каков будет ответ в общем случае, если белых георгинов а штука красных – b штук Задача 5.4. Пусть си Докажите, что Указание Используйте свойство 3) взаимно простых чисел. Сравните эту задачу с задачей 1.2 е. Задача 5.5. Сколькими нулямиоканчивается число а) 25!= 25 2 1 ; б) 200!= 200 199 Рассмотрим без доказательства следующую теорему. Теорема Пусть аи простые числа, ). , ( , 0 b a D d ab Тогда существуют числа u и v, такие, что d bv au Пример 1 30 2 18 6 , 6 ) 30 , 18 ( D Здесь u=2, v=-1. 7. Алгоритм Евклида. Слово алгоритм означает общий метод, применимый к целому классу задач. Обычно в математике подразумевается, что этот метод можно сформулировать в виде совершенно точного описания – настолько точно и определенно, что любой человек, умеющий только читать и считать, может его - 37 - выполнить (для любой конкретной задачи, те. для любых заданных ему значений параметров. Разложение на простые множители может оказаться делом нелегким, когда это число велико. Попробуйте, например, разложить на простые множители число 869107, наименьший простой множитель которого равен 877 (869107= 991 877 ), где 877 и 991 – простые числа. Т.к 877 является м по порядку простым числом, то вам придется испытывать в качестве возможных делителей 150 простых делителей, прежде чем обнаружится делитель 877. Вот почему отыскание ) , ( b a D в случае, когда аи велики, не следует вести путем разложения аи на множители. Задачу можно решить и без этого, если воспользоваться способом, который Евклид предложил 2000 лет назад для отыскания общей меры отрезков. Способ этот называется алгоритмом Евклида. Вообще же в математике алгоритмами называют способы решения однотипных задач, в которых указывается какие именно действия ив каком порядке нужно производить, чтобы прийти к решению каждой задачи данного типа. Разъясним алгоритм Евклида сначала на числовом примере. Пусть нужно найти ). 62267 , 869107 ( D Будем делить 869107 на 62267; получим в частном 13 ив остатке 59636; 59636 13 62267 869107 Отсюда видно, что каждый общий делитель чисел 869107 и 62267 должен быть делителем остатка 59636. Поэтому он объявляется общим делителем чисел 62267 и 59636. Обратно, любой общий делитель двух последних чисел будет делителем числа 869107; следовательно, он является общим делителем чисел 869107 и 62267 (такие же, как и для пары чисел 62267 и 59636, то и НОД для обеих пар один и тот же ). 59636 , 62267 ( ) 62267 , 869107 ( D D ). Но для второй пары искать НОД легче здесь числа меньше. Для второй пары делаем тоже, что делалось для первой делим 62267 на 59636. Получим в частном 1 ив остатке 2631; 62267=59636 + 2631. Повторяя прежнее рассуждение, найдем ). 2631 , 59636 ( ) 59636 , 62267 ( D D Теперь делим на 2631. Получим в частном 22 ив остатке 1754, - 38 - 1754 22 2631 59636 Следовательно, ). 1754 , 2631 ( ) 2631 , 59636 ( D D Делим на 1754, получим 877 1 1754 2631 Отсюда выводим, что ). 877 , 1754 ( ) 1754 , 2631 ( D D Наконец, деля 1754 на 877, получаем в частном 2, а в остатке 0: 2 877 1754 Это и означает, что число 877/1754; вместе стем является ). 877 , 1754 ( D Итак, путем последовательного деления ранее полученного остатка на новый получаем, что В этом последовательном делении и состоит алгоритм Евклида. При нахождении НОД с помощью алгоритма Евклида процесс последовательного деления выполняют поболее компактной схеме, запись которой начинают с правого края листа. Так процесс нахождения ) 62267 , 869107 ( D удобно провести так 869107 62267 62267 13 246437 186801 62267 59636 59636 1 59636 2631 5262 22 7016 5262 2631 1754 1754 1 1754 877 1754 2 0 - 39 - Задача 6.1. Найти наибольший общий делитель чисел 86 и 213 и записать их линейное выражение. Решение 213 86 172 2 86 41 82 2 41 4 40 10 4 1 4 4 0 1 ) 86 , 213 ( D 86 ) 52 ( 21 213 1 , 10 86 2 86 213 21 1 , 2 86 213 41 , 10 86 41 21 1 , 10 ) 2 41 86 ( 41 1 , 2 41 86 4 , 10 4 41 Ответ d=1, u=21, v=-52. Задача 6.2. С помощью алгоритма Евклида найти наибольший общий делитель чисел и записать их линейное выражение. аи б) 912 и 74. Рассмотрим алгоритм Евклида в общем виде. Задача заключается в отыскании НОД двух положительных чисел. Обозначим большее изданных чисел через а, а меньшее через b и разделим a на b. Пусть в частном получится, а в остатке 1 r , тогда 0 , 1 1 1 b r r bq a Если первый остаток 0 1 r , то b a и, следовательно, ) , ( b a D =b. Если же 0 1 r , то рассуждая также, как ив предыдущем примере, найдем, что Делим b на 1 r ; получаем Если окажется, что 0 2 r , то 1 r b , следовательно. Если же 0 2 r , то заключаем, что 1 1 r r D r b D Деля на , 2 r получим 0 , 2 3 3 3 2 Заметим, что остатки при последовательном делении убывают, оставаясь неотрицательными числами 0 Т. к. количество всех вообще неотрицательных чисел, меньших чем b, равно b, то после повторения указанных операций некоторое число раз n ( b n ) получим остаток, равный нулю. Это означает, что деление остатка 2 n r на 1 n r выполняется нацело 0 , 1 Поэтому ) , ( 1 Те. наибольшим общим делителем будет остаток 1 n r , непосредственно предшествующий нулевому остатку. Среди различных применений алгоритма Евклида укажем здесь только решение в целых числах линейного уравнения с двумя неизвестными. Простейшим примером задачи, приводящей к такому уравнению может служить следующая Сколько монет 5- и 3- копеечного достоинства нужно дать, чтобы оплатить сумму в 62 копейки Обозначая число первых копеек через ха число вторых через у, получаем уравнение х + у = 62. По самому смыслу задачи, в качестве решения в данном случае годятся только пары неотрицательных чисел, например, х, у (одно решение, или х, у (другое решение) и - 41 - т. д. В общем виде речь идет об отыскании всех пар чисел хи у, удовлетворяющих уравнению ах где а, b, c – целые заданные числа. Положим ; ) , ( D b a D если уравнение имеет хотя бы одно решение , , 0 0 y y x x то 0 0 by ax есть целое число, делящееся на D. Т. к. оно равно сто необходимо, чтобы с делилось на D. Иными словами, если D не делится на D, то уравнение ах не имеет ни одного решения в целых числах. Например, ни одного решения в целых числах не имеет уравнение , 100 15 х т. к. 100 не делится на ). 15 , 6 ( 3 D Если же с делится на , ) , ( D b a D то D является общим делителем всех трех чисел a, b и с. Положим целые числа. Тогда уравнение принимает вид Очевидно, что каждое решение исходного уравнения удовлетворяет последнему уравнению и обратно. Поэтому первоначальная задача сводится к отысканию всех целых решений уравнения Для его коэффициентов выполняется условие , 1 ) , ( b a D те взаимно простые числа. Действительно, если допустить, что b a , имеют общий делитель 1 d , то dq b dp a , и, следовательно, , ) ( , ) ( q Dd b D b p Dd a D a те и b имеют общий делитель Dd, больший, чем D. Но ведь это невозможно, т. к. Начнем с уравнения вида 1 by ax Необходимое условие для существования целых решений этого уравнения, как мы видели, - это, чтобы , ) , ( 1 D b a D те Если это условие выполнено, то уравнения имеет целые решения ипритом бесконечное множество таких решений. Покажем это на примере уравнения 1 71 991 y x Проверим, что 1 ) 71 , 991 ( D Воспользуемся алгоритмом Евклида - 42 - 0 2 1 2 , 1 1 2 3 , 2 22 3 68 , 3 1 68 71 , 68 13 71 Отсюда видим, что 1 ) 71 , 991 ( D Конечно, этот факт можно установить и без алгоритма Евклида, но проведенные только что выкладки, как мы покажем, позволят найти одно из решений данного уравнения. Чтобы представить прием отыскания в более ясном виде, заменим в этих равенствах коэффициенты уравнения 991 и 71, атак же последовательные остатки 68, 3 и 2 (кроме предпоследнего остатка, равного ) 71 , 991 ( D ), соответственно буквами , , , , 3 2 1 r r r b a При этом последовательные частные 13, 1, 22, 1 и последний остаток (1) оставим в прежнем виде. Тогда получим равенства 1 , 22 , , 13 3 2 3 2 1 2 Из них выводим, начиная с последнего равенства , 1 3 2 r r (1) , 22 2 1 3 r r r (2) , 1 2 r b r (3) 13 1 b a r (4) Теперь подставим 3 r изв Сюда подставим выражение для 2 r из (3): 23 24 ) ( 23 1 1 Наконец, в последнее равенство подставим выражение для 1 r из (4): 335 24 23 ) 13 ( 24 Вспомним теперь, что 71 , 991 b a Получим - 43 - 1 335 Сравнивая сданным уравнением , 1 71 видим, что этому уравнению удовлетворяют целые числа 335 , 24 Итак, с помощью алгоритма Евклида найдено одно решение в целых числах данного уравнения. Это достаточно, чтобы найти остальные его решения. В самом деле, пусть хи у – любое решение этого уравнения 1 71 Вычитая отсюда почленно равенство , 1 71 991 где 0 0 , y x найденные выше числа, найдем , 0 ) ( 71 ) ( 991 откуда ). ( 71 ) ( 991 Отсюда видно, что ; 71 ) ( 991 0 x x но 1 ) 71 , 991 ( D Поэтому , 71 ) ( 71 ) ( 0 где t – целое число. Итак, t x x 71 0 . Подставляя это в полученное выше равенство, получим ), ( 71 71 991 откуда t y y 991 0 . Простая проверка подстановкой показывает, что пара чисел , 991 335 991 , 71 24 71 действительно удовлетворяют уравнению 1 71 при любых значениях t. Таким образом, это уравнение имеет бесконечное множество различных решений. - 44 - Остается рассмотреть уравнение ах где а ас любое целое число. Чтобы решить его, находим сначала с помощью алгоритма Евклида одно решение вспомогательного уравнения ах Если , 1 0 0 by ах то , ) ( ) ( 0 0 с сy b сх а откуда следует, что 0 0 , сy сx есть решения данного уравнения. Отсюда, рассуждая, как и выше, получаем, что общее решение этого уравнения можно записать в виде , , 0 где t – любое целое число. Вернемся к простейшему примеру уравнениях+ ус которого мы начали. Решаем сначала вспомогательное уравнение 1 3 5 y x Здесь достаточно было найти одно какое- либо решение. Можно, конечно, использовать алгоритм Евклида, но и без этого видно, что можно, например, положить 2 , 1 0 0 y x (или 3 , 2 0 0 y x и т. д. Умножая обе части равенства 1 3 5 0 0 y x на 62, получим 62 ) 62 ( 3 ) 62 ( 5 Итак, одно из решений данного уравнения 124 62 , 62 62 Поэтому общее его решение имеет вид , 5 124 , 3 62 t y t x t – любое целое число. Если нас интересуют только неотрицательные решения, то нужно потребовать, чтобы одновременно выполнялись неравенства , 0 5 124 0 3 62 t и t откуда 5 4 24 3 2 20 t и t Т.к. t – целое число, то годятся лишь следующие его значения 24 , 23 , 22 , 21 4 3 2 1 t t t t - 45 - Каждому из них соответствует свое решение предложенного уравнения 4 , 10 ; 9 , 7 ; 14 , 4 ; 19 , 1 4 4 3 3 2 2 В теме Делимость чисел можно предложить школьникам ознакомиться со следующим параграфом. 8. Уравнение Пифагора. В этом параграфе будет идти речь о решении в целых числах уравнения 2 Задача Пусть ас целые числа, составляющие решение уравнения 2 2 2 z y x Докажите, что число ab делится на 2. Решение. Допустим, что число ab не делится на 2. Тогда a и b – нечетные числа , 1 2 , 1 2 n b m a и , 2 4 4 4 4 ) 1 2 ( ) 1 2 ( 2 2 2 2 2 2 n n m m n m b a откуда следует, что число 2 2 b a делится на 2, ноне делится на 4 (объяснить, почему. Следовательно, простое число 2 входит в разложение числа 2 2 b a на простые множители в нечетной степени, равной 1, что невозможно. Из доказанного утверждения легко следует, что если аи с – взаимно простые целые числа и , 2 а то число с нечетное, а числа аи имеют различную четность. Теорема 1. 1) Пусть аи с – взаимно простые натуральные числа, являющиеся решением уравнения Пифагора 2 2 2 z y x Причем а – нечетное число. Тогда существуют взаимно простые натуральные числа u и v (u > v), различной четности, такие, что 2 2 2 2 2 v u c uv b v u a - 46 - 2) Обратно если u и v (u > v) – взаимно простые натуральные числа различной четности, то числа аи с, определенные с помощью системы уравнений 2 2 2 2 2 v u c uv b v u a , составляют решение уравнения 2 2 2 z y x ипритом взаимно просты. Данная теорема позволяет описать множество всех прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами. Задача 7.1*. Укажите длины сторон всех целочисленных прямоугольников, у которых длина гипотенузы меньше 30. 9. Контроль знаний, умений и навыков по теме Делимость чисел. Контроль знаний, умений и навыков является важной составной частью учебного процесса. Изучение характера усвоения учащимися учебного материала, оценка их знаний и умений, выявление умственного развития и развития познавательных особенностей – необходимая сторона процесса обучения, составляющая внутреннее содержание каждого его звена. Контроль знаний учащихся является очень сложными крайне тонким процессом как в творческом аспекте, таки в методическом плане его практических разработок, как в психологическом отношении, таки в плане организационном. Это связано стем, что на контроль возложена задача получения и накопления объективной информации для успешного управления обучением, развитием и воспитанием школьников. - 47 - 9.1. Разноуровневый контроль качества знаний по математике. Для выявления уровня сформированности системы качеств знаний у учащихся необходимы специально ориентированные поуровневые проверочные работы, которые должны точно соответствовать цели проверки выявлять знания и типичные ошибки школьников. Тексты проверочных работ следует составлять исходя из того, что качество знаний характеризуется совокупностью относительно устойчивых свойств прочности, действенности, системности. Кроме того, каждый ребенок индивидуален, имеет свои способности, склонности и интересы, требовать от всех учащихся усвоения программных знаний на одном уровне бесцельно и негуманно. Важно учитывать индивидуальные особенности ив соответствии сними осуществлять дифференцированную оценку знаний. 9.2. Тестовые задания В своей работе учителя математики реализуют различные формы проверки знаний, умений и навыков. В последнее время среди средств контроля в практике обучения активно используются тестовые задания или так называемые задания с выбором ответа (тестирование особенно актуально в связи с введением единого государственного экзамена ЕГЭ). Использование тестов является одним из рациональных дополнений к методам проверки ЗУН учащихся. Оно оптимально соответствует полной самостоятельности в работе каждого учащегося. Это одно из средств индивидуализации в учебном процессе, так как учитывается психологические особенности ребят, мешающие их успешной деятельности. Кроме того, тестовый контроль имеет и ряд преимуществ перед другими видами контроля. Он дает возможность проверить значительный объем изученного материала малыми порциями и быстро диагностировать овладение учебным материалом большого числа учащихся. При этом жесткая система проверки знаний учеников весьма объективна. - 48 - Каждый тест, как правило, состоит из достаточно большого количества заданий. В практике тестирования наиболее распространены 4 типа тестовых заданий открытые (заполнение пропусков в истинных утверждениях или в верно сформулированных определениях закрытые (тесты на выбор ответов, среди которых есть верные и неверные ответы и ответ, предполагающий отказ от выполнения данного задания (например, ответ нет правильного ответа) ); задания на установление истинности (ложности) предложенного утверждения и правильности сформулированного определения логические тесты (решить логические тесты – значит отыскать решение первых задач, по аналогии использовать его при решении последующих. Эти задания – некоторые математические сюрпризы, которые необходимо в первую очередь проанализировать и только потом решать. Стоит еще раз отметить, что, несмотря на достоинства тестирования, использование тестов является одним из рациональных дополнений к методам проверки ЗУН учащихся. Оно нив коей мере не заменяет проведения других форм тематических зачетов (например, контрольной работы, так как использование только тестовых заданий не позволяет выявить глубину усвоения теоретического и практического материала. Поэтому тестирование не может служить для учителя средством итогового контроля, а его результаты – основанием для выставления ученику итоговой оценки. В данной работе не представлены тестовые проверочные работы. Однако, очень хорошая подборка тестовых заданий дана в работе Блинкова Система тестов (Математика в школе ) - 49 - 9.3. Примерные варианты контрольной работы по теме Делимость чисел. Контрольная работа является широко применяемым в обучении математике средством контроля. С ее помощью можно наиболее полно проверить знание теоретического материала, умение применять его к решению задач, сформированность навыков, в том числе вычислительных, овладение приемами учебной работы и др. В процессе написания контрольной работы следует обеспечить полную самостоятельность ее выполнения каждым учеником и необходимые условия. Наиболее важной и трудоемкой частью контрольной работы, по сравнению с тестовыми заданиями, является анализирование работы. Тщательно проведенный анализ позволяет глубоко изучить пробелы и достижения отдельных учеников, выделить типичные ошибки и основные затруднения учащихся, изучить причины их появления и наметить пути их решения. Ниже предлагаются примерные варианты контрольной работы по теме Делимость чисел. Вариант 1. 1. Укажите, на какую цифру должно оканчиваться число 367*, чтобы оно делилось на а) 4; б) 5; в) 8; где. Вычислите 52). НОД(16;24; : НОД(16;52) НОК(52;16) 3. Докажите, что число , 3 4 2 4 n n где N n составное. 4. Докажите, что при любом n, где N n , ) 1 ( 2 n n делится на 6. 5. При каком значении параметра а корень уравнения x ax 8 является натуральным числом 6. Царь Дадон умеет считать только до пяти. Пересчитывая камни в сокровищнице, он брал каждый раз по пять камней ив ней всегда оставался - 50 - один камень. При расчете с Звездочетом он сказал Я буду брать каждый раз одинаковое количество камней, а остаток будет твоей наградой. Жадный Дадон рассуждал так Если я буду брать каждый раз по 4 камня, то остаток будет меньше и Звездочету не придется платить. Он начал брать по 4 камня и был удивлен, когда осталось 3 камня. Сколько камней было в сокровищнице, если известно, что камней было больше пяти пятков, ноне больше полсотни Вариант 2. 1. Укажите, на какую цифру должно оканчиваться число 456*, чтобы оно делилось на а) 4; б) 5; в) 8; где. Вычислите 56). НОД(14;28; : НОД(56;14) НОК(28;14) 3. Докажите, что число , 12 8 2 4 n n где N n составное. 4. Докажите, что при любом n, где N n , n n 5 7 делится на 2. 5. При каком значении параметра а корень уравнения 3 2 8 x ax является натуральным числом 6. Двое пиратов Котс и Ботс нашли сундук Флинта с одинаковыми золотыми монетами. Они умели считать только до десяти. Я, – сказал Котс, - буду брать себе по 10 штука тебе буду давать по 10 штуки еще одну монетку. А что останется, - скромно прибавил он, - я возьму себе. Так они и сделали. Кто из пиратов получил больше монет и насколько, если остаток составил монета Флинт считал по 26 монет, и остатка не было О сундуке известно, что он вмещает не более двух сотен монет. |