Контрольная работа по математике. 2семестр_Контрольная работа для заочников по математике_1-2. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования уфимский государственный нефтяной технический университет
 Скачать 1.22 Mb.
|
|
МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ОБРАЗОВАНИЯ «УФИМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ НЕФТЯНОЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ» Филиал УГНТУ в г. Октябрьском Кафедра информационных технологий, математики и естественных наук «Высшая математика» учебно-методическое пособие для студентов заочного отделения Уфа 2016 В учебно – методическом пособии приводятся образцы решений задач, подобных вариантам заданий контрольной работы, и варианты контрольных заданий для студентов заочной формы обучения всех специальностей. Составители: Игтисамова Г.Р., д-р пед. наук, проф. каф. ИТМЕН Ихсанова Ф.А., канд. пед. наук, доц. каф. ИТМЕН Ларин П.А., ст. преподаватель каф. ИТМЕН Усманова Ф.К., ст. преподаватель каф. ИТМЕН Рецензент Тынчеров К. Т. проф., д-р техн.наук © ФГБОУ ВО «Уфимский государственный нефтяной технический университет», 2016 ВВЕДЕНИЕ Дисциплина «МАТЕМАТИКА» лежит в основе фундаментальной подготовки, как специалистов, так и бакалавров, независимо от будущей специальности выпускника, и составляет базовую часть образовательной программы математического и естественно-научного цикла дисциплин. Фундаментальная подготовка и, в частности, математическое образование необходимо для успешной профессиональной деятельности, для возможности самостоятельного приобретения знаний в новых областях науки и техники, самостоятельного повышения квалификации, адекватного восприятия и использования новой информации. Математика является основой для развития логического мышления, для формирования обоснованных суждений по профессиональным, научным и этическим вопросам, для умения научно анализировать проблемы и процессы в профессиональной области, умения ставить задачи и находить способы их решения, а также для грамотной интерпретации полученных результатов. Математика дает не только универсальную базу для изучения общепрофессиональных и специальных дисциплин, но также надежный аппарат изучения в дальнейшем сложных систем в любой предметной области, дает аппарат для моделирования, анализа и синтеза, прогноза и диагностики функционирования таких систем, создания и эксплуатации новых сложных систем. Основными целями изучения дисциплины «Математика» являются: - развитие логического мышления; - повышение уровня математической культуры; - овладение современным математическим аппаратом, необходимым для изучения естественнонаучных, общепрофессиональных и специальных дисциплин; - освоение методов математического моделирования. ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ СТУДЕНТУ-ЗАОЧНИКУ ПО РАБОТЕ НАД КУРСОМ МАТЕМАТИКИ Основной формой обучения студента-заочника является самостоятельная работа над учебным материалом, которая состоит из следующих элементов: изучение материала по учебникам, решение задач, самопроверка, выполнение контрольных работ. В помощь заочникам институты организуют чтение лекций, практические занятия и лабораторные работы. Кроме того, студент может обращаться к преподавателю с вопросами для получения письменной или устной консультации. Указания студенту по текущей работе даются также в процессе рецензирования контрольных работ. Однако студент должен помнить, что только при систематической и упорной самостоятельной работе помощь университета будет достаточно эффективной. Завершающим этапом изучения отдельных частей курса математики является сдача зачетов и экзаменов в соответствии с учебным планом. 1. Чтение учебника 1.1. Изучая материал по учебнику, следует переходить к следующему вопросу только после правильного понимания предыдущего, выполняя на бумаге все вычисления (в том числе те, которые ради краткости опущены в учебнике) и вычерчивая имеющиеся в учебнике чертежи. 1.2. Особое внимание следует обращать на определения основных понятий. Студент должен подробно разбирать примеры, которые поясняют такие определения, и уметь строить аналогичные примеры самостоятельно. 1.3. Необходимо помнить, что каждая теорема состоит из предположений и утверждения. Все предположения должны обязательно использоваться в доказательстве. Нужно добиваться точного представления о том, в каком месте доказательства использовано каждое предположение теоремы. Полезно составлять схемы доказательств сложных теорем. Правильному пониманию многих теорем помогает разбор примеров математических объектов, обладающих и не обладающих свойствами, указанными в предположениях и утверждениях теорем. 1.4. При изучении материала по учебнику полезно вести конспект, в который рекомендуется выписывать определения, формулировки теорем, формулы, уравнения и т.п. На полях конспекта следует отмечать вопросы, выделенные студентом для получения письменной или устной консультации преподавателя. 1.5. Письменное оформление работы студента имеет исключительно важное значение. Записи в конспекте должны быть сделаны чисто, аккуратно и расположены в определенном порядке. Хорошее внешнее оформление конспекта по изученному материалу не только приучит студента к необходимому в работе порядку, но и позволит ему избежать многочисленных ошибок, которые происходят из-за небрежных, беспорядочных записей. 1.6. Выводы, полученные в виде формул, рекомендуется в конспекте подчеркивать или обводить рамкой, чтобы при перечитывании конспекта они выделялись и лучше запоминались. Опыт показывает, что многим студентам помогает в работе составление листа, содержащего важнейшие и наиболее часто употребляемые формулы курса. Такой лист не только помогает запомнить формулы, но и может служить постоянным справочником для студента. 2. Решение задач 2.1. Чтение учебника должно сопровождаться решением задач, для чего рекомендуется завести специальную тетрадь. 2.2. При решении задач нужно обосновать каждый этап решения исходя из теоретических положений курса. Если студент видит несколько путей решения, то он должен сравнить их и выбрать из них самый лучший. Полезно до начала вычислений составить краткий план решения. 2.3. Решения задач и примеров следует излагать подробно, вычисления располагать в строгом порядке, отделяя вспомогательные вычисления от основных. Чертежи можно выполнять от руки, но аккуратно и в соответствии с данными условиями. Если чертеж требует особо тщательного выполнения, например при графической проверке решения, полученного путем вычислений, то следует пользоваться линейкой, транспортиром, лекалом и указывать масштаб. 2.4. Решение каждой задачи должно доводиться до ответа, требуемого условием, и по возможности в общем виде с выводом формулы. Затем в полученную формулу подставляют числовые значения (если таковые даны). В промежуточных вычислениях не следует вводить приближенные значения корней, числа и т.п. 3. Контрольные работы 3.1. В процессе изучения курса математики студент должен выполнить ряд контрольных работ, главная цель которых – оказать студенту помощь в его работе. Рецензии на эти работы позволяют студенту судить о степени усвоения им соответствующего раздела курса; указывают на имеющиеся у него пробелы, желательное направление дальнейшей работы; помогают сформулировать вопросы для постановки их перед преподавателем. 3.2. Не следует приступать к выполнению контрольного задания, не решив достаточного количества задач по материалу, соответствующему этому заданию. Опыт показывает, что чаще всего неумение решить ту или иную задачу контрольного задания объясняется тем, что студент не выполнил это требование. 3.3. Контрольные работы должны выполнять самостоятельно. Несамостоятельно выполненная работа не дает возможности преподавателю-рецензенту указать студенту на недостатки в его работе, усвоении им учебного материала, в результате чего студент не приобретает необходимых знаний и может оказаться не подготовленным к устному зачету и экзамену. 3.4. Прорецензированные контрольные работы вместе со всеми исправлениями и дополнениями, сделанными по требованию рецензента, следует сохранять. Без предъявления прорецензированных контрольных работ студент не допускается к сдаче зачета и экзамена. Содержание Курса «математика» II СЕМЕСТР Неопределенный интеграл Понятие первообразной и неопределенного интеграла. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Теорема об инвариантности формы интегрирования. Интегрирование методом замены переменной. Интегралы вида: , , , . Интегрирование по частям. Основные случаи интегрирования по частям. Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: , . Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: . Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: , . Представление дробно-рациональных функций в виде простейших дробей. Интегрирование простейших дробей: , , , . Интегрирование иррациональных функций вида: , . Интегрирование дифференциального бинома: . Интегрирование выражений содержащих тригонометрические функции. Универсальная замена. Теорема об интегрировании функций, нечетных относительно или . Теорема об интегрировании функций, четных относительно или . Интегрирование выражений вида: , , , . Понятие «не берущийся интеграл». Определенный интеграл Задачи, приводящие к понятию определенного интеграл: а) вычисление площади криволинейной трапеции; б) работа переменной силы. Определенный интеграл. Определение. Теорема существования определенного интеграла (без доказательства). Свойства определенного интеграла. Интеграл от суммы функций, вынесение постоянного множителя за знак интеграла, совпадение знака интеграла со знаком подынтегральной функции. Свойства определенного интеграл. Теорема о перестановке пределов интегрирования, о разбиении интеграла, об оценке определенного интеграла, теорема о среднем. Теорема о производной интеграла по верхнему пределу интегрирования. Формула Ньютона Лейбница, связь определенного интеграла с неопределенным. Замена переменной в определенном интеграле. Интегрирование по частям в определенном интеграле. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление площадей фигур. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление длин дуг в различных системах координат. Геометрические приложения определенного интеграла: вычисление объема тел по известным площадям поперечных сечений и объем тел вращения. Вычисление работы при помощи определенного интеграла. Несобственные интегралы: а) с бесконечными пределами; б) от разрывной функции. Рассмотреть случай: . Приближенное вычисление определенного интеграла: а) формула трапеции; б) формула парабол (формула Симпсона) с доказательством леммы. контрольная работа № 2 Контрольная работа № 4 состоит из пяти заданий. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий. Образцы выполнения заданий № 1, 2 1.Подведение под знак дифференциала (метод прикидки) Рассмотрим примеры вычисления неопределенных интегралов методом прикидки. 1.1) . Проверка. - получилась подынтегральная функция, следовательно, интеграл найден верно. 1.2) 2. Интегрирование по частям Пусть u, v функции от х, дифференцируемы, тогда дифференциал произведения . Интегрируя получаем:
– формула интегрирования по частям.
Рассмотрим примеры интегрированием по частям: 2.1 = =x sin x- 2.2 По формуле интегрирования по частям можно вычислить и так: 2.3) . 3. Интегралы, содержащие квадратный трехчлен В дополнительных преобразованиях переписываем квадратный трехчлен из знаменателя, выделяем в нем полный квадрат, делаем замену выражения под квадратом. Подставляем полученные значения под знак интеграла: 3.1) Получаем сумму двух табличных интегралов: 4. Интегрирование дробно-рациональных функций Опр. 1. Дробно-рациональной функцией называется функция вида Если n < m, то дробно-рациональная функция правильная. Если n m, неправильная. Чтобы получить правильную дробь, надо выделить целую часть посредством деления. Пр. Выделить целую часть При интегрировании простейших дробей могут встречаться следующие типы: 1. 4.1) 2. 4.2) 3. 4.3) . 1) В знаменателе коэффициент при выносим за скобку и выделяем полный квадрат: 2) Произведем замену: 3) Находим дифференциал: 4) Вычисляем х: 5) Подставляем в интеграл. 4. 4.4) Т (без доказательства). Если знаменатель дробно-рациональной функции разложим на простейшие множители (линейные, квадратные), то дробно-рациональную функцию можно разложить на простейшие дроби. Пр. A, B, C, D, E, F – неизвестные коэффициенты, которые определяются по методу неопределенных коэффициентов: 1. правую часть приводят к общему знаменателю; 2. приравнивают коэффициенты при одинаковых степенях неизвестных в левой и правой частях; 3. из системы находят неизвестные. Рассмотрим пример. д) 5. Интегрирование тригонометрических функций I. Интегралы вида , где m, n – целые числа 1) m, n – положительные, хотя бы одно нечетное число, пусть n = 2k + 1 m, n – положительные, неотрицательные, четные. 5.1) 3) m + n – четное число Подстановка , . Итак, . 5.2) II. Интегралы вида 1) Сделаем подстановку tg x=2 arctg t dx= . Значит, Данная подстановка дает возможность интегрировать всякую тригонометрическую функцию, поэтому ее называют универсальной, однако она приводит часто к сложным рациональным функциям. 5.3) 2. Если – в четных степенях хотя бы 1 отриц., то подстановка 5.4) III IV ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 2 Задание № 1 Найти указанные неопределенные интегралы. Результаты решения примеров проверить дифференцированием. 1. а) ; б) ; в) . 2. а) ; б) ; в) . 3. а) ; б) ; в) . 4. а) ; б) ; в) . 5. а) ; б) ; в) . 6. а) ; б) ; в) . 7. а) ; б) ; в) . 8. а) ; б) ; в) . 9. а) ; б) ; в) . 10. а) ; б) ; в) . 11. а) ; б) ; в) . 12. а) . б) ; в) . 13. а) . б) ; в) 14. а) б) в) 15. а) б) в) 16. а) б) в) 17. а) б) в) 18. а) б) в) 19. а) б) в) 20. а) б) в) 21. а) ; б) в) . 22. а) б) в) 23. а) ; б) ; в) . 24. а) ; б) ; в) . 25. а) ; б) ; в) . 26. а) ; б) ; в) . 27. а) ; б) ; в) . 28. а) ; б) ; в) . 29. а) ; б) ; в) . 30. а) ; б) ; в) . Задание № 2 Вычислить неопределенные интегралы 1. а) б) в) 2. а) б) в) 3. а) б) в) 4. а) б) в) 5. а) б) в) 6. а) б) в) 7. а) б) в) 8. а) б) в) 9. а) б) в) 10. а) б) в) 11. а) б) в) 12. а) б) в) 13. а) б) в) 14. а) б) в) 15. а) б) в) 16. а) б) в) |