Контрольная работа по математике. 2семестр_Контрольная работа для заочников по математике_1-2. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования уфимский государственный нефтяной технический университет

• Название: Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования уфимский государственный нефтяной технический университет
• Анкор: Контрольная работа по математике
• Дата: 15.03.2023
• Размер: 1.22 Mb.
• Имя файла: 2семестр_Контрольная работа для заочников по математике_1-2.docx
• Тип: Учебно-методическое пособие; #992955
• страница: 2 из 4

17. а)

б)

в)
18. а)

б)

в)
19. а)

б)

в)
20. а)

б)

в)

21. а)

б)

в)
22. а)

б)

в)
23. а)

б)

в)
24. а)

б)

в)
25. а)

б)
в)
26. а)

б)

в)
27. а)

б)

в)
28. а)

б)

в)
29. а)

б)

в)
30. а)

б)

в)

Контрольная работа № 3
Контрольная работа № 5 состоит из трех задач. Ниже подробно рассмотрены варианты решения заданий.
Образцы выполнения заданий № 1-3
Задача 1. Вычислить определенные интегралы

а) б) в) .
Решение:

а) = [Подынтегральная функция четная] =

б) [Применив формулу интегрирования по частям] =

в) = [Обозначим Тогда . Найдем новые пределы интегрирования:

нижний предел при будет Верхний предел при будет ] =
Задача 2. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

а) б)
Решение:

а) [Подынтегральная функция имеет особые точки . Но они не входят в интервал интегрирования ] =

б) [Особая точка входит в интервал интегрирования [0; 3]] = интеграл расходится.
Задача 3. Вычислить площадь, заключенную между линиями .
Решение. Найдем абсциссы точек пересечения этих линий, решив систему .

Получим (рис. 1).

Искомая площадь равна .


Рис. 1
Задача 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией в полярных координатах.
Решение:

Графиком функции является четырехлепестковая роза. Искомая площадь равна , где - площадь одного лепестка.


Рис. 2
.
Задача 5. Найти длину линии при .
Решение:


Задача 6. Найти длину одной арки циклоиды, заданной параметрическими уравнениями .

Решение:

Когда параметр изменяется от до , получается одна из арок (рис. 3).

.

Рис. 3 Рис. 4

Задача 7. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ох фигуры, ограниченной линиями , , .
Решение. Когда фигура, изображенная на рис. 4, вращается вокруг оси Ох, то получится тело, объем которого .

ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 3

Задание № 1.
В задачах 1-10 вычислить указанные определенные интегралы.

1. . 2. .

3. . 4. .

5. . 6. .

7. . 8. .

9. . 10. .

Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.

11. . 15. .

12. . 16. .

13. . 17. .

14. . 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.
<sup>Задание №2

В задачах 1-20 найти площадь фигуры, ограниченной данными линиями, сделать чертеж.</sup>

1. 
   x-2y+6=0, x=-2, x=4, y=0.
   
2. 
   y=x²+2, x=-1, x=2, y=0
   
3. 
   xy=6, y=7-x
   
4. 
   y=-x²-1, x=1, x=4, y=0
   
5. 
   y=x²-6x, y=0
   
6. 
   y=x³, y=x, y=2x
   
7. 
   y=-x²+4, y=x²-2x
   
8. 
   y=x²+2x, y=0
   
9. 
   y=-2x²-2, x=-1, x=2, y=0
   
10. 
    y=-x²+5, y=x+3
    
11. 
    y=x², y=2x
    
12. 
    y=x², y=1-x²
    
13. 
    y=x²-x-6, y=0
    
14. 
    y=x²+2x+1, y=0, x=-3, x=2
    
15. 
    у= x²+3x+4, y= x+1,
    

x=-1, x=2

16. 
    - x²+2x, y= x+
    
17. 
    2x+y-2=0, x=-2, x=0
    
18. 
    2x+y-2=0, x=-4, x=0
    
19. 
    x²+y²=4, x=0, x=2
    
20. 
    (x+1)²+y²=1, (y≥0),
    

x=0, x=-

21. Вычислить площадь фигуры ограниченной гиперболой и прямой .

22. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной параболами и .

23. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси фигуры, ограниченной окружностью , параболой и осью .

24. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболами и .

25. Фигуры ограничена линией, заданной уравнением в полярных координатах. Вычислить площадь той ее части, которая расположена вне круга с центром в полюсе и радиусом .

26. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой и прямой .

27. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линией и параболой .

28. Вычислить длину дуги параболы .

29. Вычислить длину дуги кривой, заданной параметрическими уравнениями , , между точками ее пересечения с осями координат.

30. Вычислить длину полукубической параболы , если
Задание №3
Решить физические задачи с помощью определенного интеграла.

1. Определить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной параболами и .

2. Определить координаты центра тяжести однородной плоской фигуры, ограниченной осями координат и параболой .

3. Найти координаты центра тяжести полукруга, ограниченного осью абсцисс и полуокружностью .

4. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду из конического сосуда, обращенного вершиной вниз, радиус основания которого равен 2 м и высота 6 м.

5. Цилиндрический сосуд, площадь поперечного сечения которого 20 см², а высота 60 см, наполнен газом под атмосферным давлением (1,033 кГ/см²). Пользуясь законом Бойля – Мариотта, определить работу, затрачиваемую на изотермическое сжатие газа, если поршень, закрывающий цилиндр, будет вдвинут на 40 см вовнутрь цилиндра.

6. Вертикальная плотина имеет форму трапеции. Вычислить силу давления воды на плотину, если известно, что верхнее основание плотины м, нижнее основание м, а высота м.

7. Сжатие пружины пропорционально приложенной силе. Вычислить работу силы при сжатии пружины на 8 см, если для сжатия ее на 1 см требуется сила в 0,05 н.

8. Деревянный поплавок цилиндрический формы, площадь основания которого см², а высота см, плавает на поверхности воды. Удельный вес дерева Г/см³. Вычислить, какую работу нужно затратить, чтобы вытащить поплавок из воды.

9. Тело движется прямолинейно по закону , где - длина пути, проходимого за время , . Сопротивление среды пропорционально квадрату скорости, причем коэффициент пропорциональности равен . Найти работу, производимую сопротивлением при передвижении тела от точки , до точки .

10. Найти проекции на оси координат силы, с которой материальная полуокружность массы и радиуса действует на материальную точку находящуюся в ее центре (две материальные точки притягиваются с силой, модуль которой ). Начало координат следует взять в центре полуокружности, а оси координат направить соответственно по горизонтальному и вертикальному диаметрам.

Сила взаимодействия двух точечных масс определяется по формуле , где и - массы точек, - расстояние между ними, а - коэффициент пропорциональности, равный (закон Ньютона). Учитывая это, решить задачи 11-22 (Предполагается, что плотность постоянна).

11. Стержень АВ, длина которого , масса , притягивает точку С массы , которая лежит на его продолжении на расстоянии от ближайшего конца В стержня. Найти силу взаимодействия стержня и точки. Какую точечную массу нужно поместить в А, для того чтобы она действовала на С с той же силой, что и стержень АВ? Какую работу совершит сила притяжения, когда точка, отстоявшая от стержня на расстоянии , приблизится к нему на расстояние , двигаясь вдоль прямой, составляющей продолжение стержня?

12. С какой силой полукольцо радиуса и массы действует на материальную точку массы , находящуюся в его центре?

13. С какой силой проволочное кольцо массы , радиуса действует на материальную точку массы , лежащую на прямой, проходящей через центр кольца перпендикулярно к его плоскости. Расстояние от точки до центра кольца равно . Какую работу совершит сила притяжения при перемещении точки из бесконечности в центр кольца?

14. Определить, с какой силой плоский диск, радиус которого равен , масса - , действует на материальную точку массы , которая лежит на его оси на расстоянии от центра.

15. Радиусы оснований усеченного прямого круглого конуса равны и , высота , плотность . С какой силой действует он на материальную точку массы , помещенную в его вершине?

16. Два одинаковых стержня (длиной и массы каждый) лежат на одной прямой на расстоянии один от другого. Подсчитать силу взаимного притяжения.

17. Капля с начальной массой падает под действием силы тяжести и равномерно испаряется, теряя ежесекундно массу, равную . Какова работа силы тяжести за время от начала движения до полного испарения капли? (Сопротивлением воздуха пренебрегаем.)

18. Какую работу нужно произвести, чтобы насыпать кучу песка в форме усеченного конуса высоты , имеющего радиусы оснований и ? Удельный вес равен (песок поднимает с поверхности земли, на которой покоится большее основание конуса).

19. Вычислить работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать жидкость удельного веса из резервуара, имеющего форму обращенного вершиной вниз конуса, высота которого равна , а радиус основания . Как изменится результат, если конус будет обращен вершиной кверху?

20. Вычислить работу, которую необходимо затратить, чтобы выкачать воду, наполняющую полусферический резервуар радиуса м.

21. Котел имеет форму параболоида вращения (рис. 5). Радиус основания м., глубина котла м. Он наполнен жидкостью, удельный вес которой Г/см³. Вычислить работу, которую нужно произвести, чтобы выкачать жидкость из котла.

Рис. 5

22. Найти работу, которую нужно затратить, чтобы выкачать воду из цистерны, которая имеет следующие размеры (рис. 6): м., м., м. Боковая поверхность цистерны – параболический цилиндр.

Рис. 6
Кинетическая энергия тела, вращающегося вокруг неподвижной оси, равна , где - угловая скорость, а - момент инерции относительно оси вращения. Зная это, решить задачи 23-30.

23. Стержень АВ (рис. 7) вращается в горизонтальной плоскости вокруг оси ОО’ c угловой скоростью . Поперечное сечение стержня , длина его см, плотность материала, из которого он изготовлен, г/см³. Найти кинетическую энергию стержня.

Рис. 7

24. Прямоугольная пластинка, стороны которой см и см, вращается постоянной угловой скоростью , равной с^-1, вокруг стороны . Найти кинетическую энергию пластинки. Толщина пластинки равна 0,3 см, плотность материала, из которого сделана пластинка, равна 8 г/см³.

25. Треугольная пластинка, основание которой см, а высота см, вращается вокруг своего основания с постоянной угловой скоростью с^-1. Найти кинетическую энергию пластинки, если толщина её см, а плотность материала, из которого она изготовлена, г/см³.

26. Пластинка в форме параболического сегмента (рис. 8) вращается вокруг оси параболы с постоянной угловой скоростью с^-1. Основание сегмента см, высота см, толщина пластинки см, плотность материала г/см³. Найти кинетическую энергию пластинки.

Рис. 8
27. Тонкая проволока массы согнута в виде полуокружности радиуса и вращается вокруг оси, проходящей через концы полуокружности, делая оборотов в минуту. Вычислить её кинетическую энергию.

Вычислить кинетическую энергию, если осью вращения служит касательная в средней точке полуокружности.

28. Пластинка в форме треугольника погружена вертикально в воду так, что её основание лежит на поверхности воды. Основание пластинки , высота . Подсчитать силу давления воды на каждую из сторон пластинки.

29. Квадратная пластинка погружена вертикально в воду так, что одна из вершин квадрата лежит на поверхности воды, а одна из диагоналей параллельна поверхности. Сторона квадрата равна . С какой силой вода давит на каждую сторону пластинки?

30. Вычислить силу, с которой вода давит на плотину, имеющую форму равнобочной трапеции, верхнее основание которой м, нижнее м, а высота м.