Контрольная работа по математике. 2семестр_Контрольная работа для заочников по математике_1-2. Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего образования уфимский государственный нефтяной технический университет
 Скачать 1.22 Mb.
|
Задача № 3Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее указанным начальным условиям.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Задача № 4 1. Тяжелое тело без начальной скорости скользит по наклонной плоскости. Найти путь, пройденный телом за время , если угол наклона равен , а коэффициент трения равен . 2. Найти зависимость давления воздуха от высоты , если известно, что это давление равно 1 на 1 на уровне моря и 0,92 на 1 на высоте 500 . 3. Материальная точка массы 2 без начальной скорости медленно погружается в жидкость. Найти путь, пройденный точкой за время 1 с, считая, что при медленном погружении сила сопротивления жидкости пропорциональна скорости погружения (коэффициент пропорциональности 2). 4. В резервуаре находится 100 раствора, содержащего 10 растворенной соли. В резервуар втекает вода со скоростью 3 , а смесь вытекает со скоростью 2,5 , причем концентрация поддерживается равномерной путем перемешивания. Сколько соли останется в резервуаре по истечении часа. 5. Катер движется в спокойной воде со скоростью V = 10 км/ч. На полном ходу его двигатель был выключен, и через 2 скорость катера уменьшилась до V = 0,5 км/ч. Определить скорость, с которой двигался катер через 40 с после выключения двигателя, считая сопротивление воды пропорционально скорости движения катера. 6. Найти уравнение кривой, если длина отрезка касательной от точки касания до пересечения ее с осью имеет постоянную длину . 7. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что отрезок любой ее касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания в отношении 2:3, считая от оси ординат. 8. Найти уравнение кривой, радиус кривизны которой равен постоянной величине . 9. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что касательная к ней в точке с координатами проходит через точку с координатами . 10. Найти уравнение кривой, проходящей через точку и обладающей тем свойством, что касательная к ней в любой точке пересекает прямую в точке, ордината которой в три раза больше ординаты точки касания. 11. Кривая проходит через точку . В произвольной точке этой кривой проведена касательная. Точка пересечения касательной с осью Ох имеет абсциссу, вдвое большую, чем абсцисса точки касания. Найти уравнение кривой. 12. В комнате, где температура 20 С, тело остыло за 20 мин от 100 до 60°С. Найти закон охлаждения тела. Через сколько минут оно охладится до 30°С? Повышением температуры в комнате пренебречь. 13. Составить уравнение линии, проходящей через точку М (0; 3), если угловой коэффициент касательной в любой точке линии равен произведению координат точки касания. 14. Точка массой 4 г движется прямолинейно без начальной скорости. На точку действует сила, пропорциональная времени с коэффициентом пропорциональности 22 м/с3. Кроме того, на точку действует сила сопротивления среды, пропорциональная скорости с коэффициентом пропорциональности 3 г/с. Найти зависимость скорости от времени. 15. Составить уравнение линии, у которой площадь треугольника, построенного на абсциссе любой точки и начальной ординате касательной в этой точке есть величина постоянная, равная 9. 16. Находящееся в жидкости тело массы 6 кг под действием собственного веса погружается вниз без начальной скорости. Сопротивление жидкости прямо пропорционально скорости тела с коэффициентом пропорциональности 3 кг/с. Найти закон движения тела (зависимость пути от времени). 17. Составить уравнение линии, у которой начальная ордината любой касательной на две единицы масштаба меньше абсциссы точки касания. 18. Согласно опытам, в течение года из каждого килограмма радия распадается 0,44 г. Через сколько лет распадается половина имеющегося количества радия? (Количество распадающегося вещества за единицу времени пропорционально имеющемуся количеству вещества). 19. Футбольный мяч массы 0,4 кг брошен вверх со скоростью 20 м/с. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Н при скорости 1 м/с. Вычислить время подъема мяча. 20. Найти кривую, у которой точка пересечения касательной с осью абсцисс одинаково удалена от точки касания и от начала координат. 21. Лодка замедляет свое движение под действием сопротивления воды, которое пропорционально скорости лодки. Начальная скорость лодки 1,5 м/с, через 4 с скорость её 1 м/с. Какой путь пройдет лодка до её остановки? 22. Найти кривую, у которой расстояние между касательной и началом координат равно абсциссе точки касания. 23. Мяч падает с высоты 16,3 м без начальной скорости. Сопротивление воздуха пропорционально квадрату скорости и равно 0,48 Н при скорости 1 м/с. Найти скорость в конце падения. 24. Найти уравнение кривой, у которой точка пересечения касательной с осью абсцисс имеет абсциссу, вдвое меньшую абсциссы точки касания. 25. Резиновый шнур длиной 1 м под действием силы 5 Н удлиняется на 0,05 м. На сколько удлиняется такой же шнур длины 10 м и веса 40 Н под действием своего веса, если его подвесить за один конец? 26. Составить уравнение линии, у которой площадь трапеции, ограниченной осями координат, касательной и ординатой точки касания, равна 48. 27. Цилиндрический бак имеет отверстие в дне и поставлен вертикально. Из полного бака половина воды вытекает за 5 мин. За какое время вытечет вся вода? (Из сосуда жидкость вытекает со скоростью , где - высота воды над отверстием). 28. Найти кривую, у которой радиус кривизны обратно пропорционален косинусу угла между касательной и осью абсцисс. (Радиус кривизны определяется по формуле ). 29. Найти атмосферное давление на высоте 1 км, если на поверхности земли давление равно 9,8 и плотность воздуха 1,2 кг/ . (Использовать закон Бойля-Мариотта: плотность пропорциональна давлению). 30. Найти кривую, проходящую через точку (2; 4), у которой отрезок касательной, заключенный между осями координат, делится в точке касания пополам. Задача № 5 Найти общее решение системы дифференциальных уравнений. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА № 5 Контрольная работа № 8 состоит из пяти задач. Ниже рассмотрены варианты решения заданий. Образец выполнения задания № 1 Задача. Исследовать на сходимость числовой ряд . Решение. Проверяем сходимость ряда по признаку Даламбера. Имеем , отсюда , Получилось , следовательно, наш ряд сходится. Образец выполнения задания № 2 Задача. Найти интервал сходимости степенного ряда . Решение. Имеем , отсюда , . Потребуем, чтобы было ; тогда , , . Таким образом, внутри интервала исходный ряд сходится абсолютно. Исследуем сходимость на концах этого интервала. При исходный ряд становится числовым: ; сравним этот ряд с рядом , который расходится: - получилось число больше 0, поэтому ряд подобен ряду , т.е. расходится. При исходный ряд становится таким: - знакочередующийся ряд, который нужно исследовать по признаку Лейбница. Сравним с : при больших ; таким образом , т.е. члены ряда уменьшаются по абсолютной величине. Кроме того, , т.е. члены ряда стремятся к 0. Следовательно, знакочередующийся ряд сходится. Таким образом, - интервал сходимости исходного степенного ряда. Образец выполнения задания № 3 Задача. Вычислить интеграл с точностью до путем предварительного разложения подынтегральной функции в ряд. Решение. Применим формулу разложения в ряд Тогда . Образец выполнения задания № 4 Задача. Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд функции , являющейся частным решением дифференциального уравнения , . Решение. Искомое решение имеет вид (А) Имеем , отсюда , отсюда Подставив эти значения в (А), получим ответ Образец выполнения задания № 5 Задача. Функцию в интервале (0, 3) разложить в ряд: а) косинусов, б) синусов. Решение. а) Разложение в ряд косинусов имеет вид , где , . В нашем случае интервал (0, 3) имеет длину , поэтому , . Поэтому . Это выражение можно упростить, если заметить, что Тогда . б) Разложение в ряд синусов имеет вид , где . В нашем случае . Поэтому . Ввиду того, что , это равенство можно записать так: . ЗАДАНИЯ К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ № 5Задание № 1Исследовать на сходимость ряд.1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Задание № 2 Определить интервал сходимости рядов. 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Задание № 3 Вычислить определенный интеграл с точностью до 0,001. С этой целью подынтегральную функцию следует разложить в ряд и затем почленно проинтегрировать. 1. . 2. . 3. . 4. . 5. . 6. . 7. . 8. . 9. . 10. . 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. Задание № 4 Найти три первых отличных от нуля члена разложения в степенной ряд интеграла дифференциального уравнения, удовлетворяющего заданному начальному условию. 1. при , . 2. при , . 3. при , . 4. при , . 5. при , . 6. при , . 7. при , . 8. при , . 9. при , . 10. при , . 11. при 12. при 13. при 14. при 15. при 16. при 17. при 18. при 19. при 20. при 21. при 22. при 23. при 24. при 25. при 26. при 27. при 28. при 29. при 30. при Задание № 5 1. Функцию в интервале (0, 2) разложить в ряд косинусов. 2. Функцию в интервале (0, ) разложить в ряд косинусов. 3. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов. 4. Функцию в интервале (0, ) разложить в ряд синусов. 5. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд косинусов. 6. Функцию в интервале (0, ) разложить в ряд косинусов. 7. Функцию в интервале (0, 2) разложить в ряд синусов. 8. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов. 9. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов. 10. Функцию в интервале (0, 1) разложить в ряд синусов. 11. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 12. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 13. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 14. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 15. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 16. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 17. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 18. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 19. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 20. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 21. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 22. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 23. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 24. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 25. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 26. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 27. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 28. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. 29. Функцию в интервале разложить в ряд косинусов. 30. Функцию в интервале разложить в ряд синусов. СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ 1. Данко П.Е., Попов А.Г. Высшая математика в упражнениях и задачах. В 2 ч. Ч. 2. Учебное пособие для вузов. – 6-е изд. – М.: Издательский дом «ОНИКС 21 век»: Мир и Образование, 2003. – 416 с. 2. Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа: Учеб. пособие. – 22-е изд., перер. – СПб.: Изд-во «Профессия», 2006. – 432 с.: ил. 3. Ефимов Н.В. Краткий курс аналитической геометрии: Учеб. Пособие. – 13-е изд., смер. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. – 240 с. 4. Лурье Л.Н. Основы высшей математики: Учеб пособие. – М.: Изательско-торг. корпорация «Дашков и Ка». – 2002. -520 с. 5. Мышкис А.Д. Математика для технических вузов: Спец. Курсы. – СПб.: изд-во «Лань». – 2009. – 640 с.: ил. 6. Письменный Д.Т. Конспект лекций по теории вероятностей, математической статистике и случайным процессам. – 4-е изд., испр. – М.: Айрис-пресс, 2002. – 288 с. 7. Свешников А.А. Теория функций комплексной переменной: Учеб. пособие для втузов. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. – 336 с. Содержание Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Общие рекомендации студенту-заочнику по работе над курсом математики. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4 Содержание курса «Математика» I семестр. . . . . . . . . . . . . . . . . . .7 Контрольная работа № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9 Задания к контрольной работе № 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Контрольная работа № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .25 Задания к контрольной работе № 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 Контрольная работа № 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .50 Задания к контрольной работе № 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Содержание курса «Математика» II семестр . . . . . . . . . . . . . . . . .62 Контрольная работа № 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .66 Задания к контрольной работе № 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 Контрольная работа № 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .75 Задания к контрольной работе № 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Контрольная работа № 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .87 Задания к контрольной работе № 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 Содержание курса «Математика» III семестр. . . . . . . . . . . . . . . .102 Контрольная работа № 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106 Задания к контрольной работе № 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 Контрольная работа № 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .120 Задания к контрольной работе № 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Содержание курса «Математика» IV семестр. . . . . . . . . . . . . . . .130 Контрольная работа № 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .132 Задания к контрольной работе № 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140 Контрольная работа № 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .154 Задания к контрольной работе № 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165 Список литературы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174 |