Физика_задачи. Физические основы механики

• Название: Физические основы механики
• Дата: 31.01.2019
• Размер: 1.24 Mb.
• Имя файла: Физика_задачи.docx
• Тип: Закон; #65995

ФИЗИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ МЕХАНИКИ

Предмет физики. Методы физического исследования: наблюдение, эксперимент, гипотеза теория. Роль физики в развитии техники, влияние техники на развитие физики. Связь физики с другими науками.

Физические основы классической механики

Пространство, время, движение.

Механическое движение как простейшая форма движения материи. Представление о свойствах пространства и времени, лежащие в основе классической (ньютоновской) механики. Способы описания движения в механике. Системы отсчета. Элементы кинематики материальной точки: скорость и ускорение как производные радиус-вектора по времени, нормальное и тангенциальное ускорения. Принцип относительности Галилея. Преобразование координат и времени в классической механике.

Кинематика поступательного и вращательного движения абсолютно твердого тела.

Угловая скорость. Угловое и линейное ускорения. Связь векторов линейной и угловой скорости, линейного и углового ускорения.

Динамические принципы механики .

Масса. Импульс. Определение состояния частицы и системы частиц в классической механике. Основное уравнение динамики поступательного движения. Принцип причинности в классической механике. Силы. Виды сил. Консервативные силы. Поле как форма материи, осуществляющая взаимодействие между частицами вещества. Фундаментальные взаимодействия и их общая характеристика. Работа силы. Кинетическая энергия. Потенциальная энергия материальной точки в силовом консервативном поле.

Динамика вращательного движения абсолютно твердого тела.

Основное уравнение динамики вращательного движения. Момент импульса и момент силы относительно неподвижной оси вращения. Момент инерции тела. Кинетическая энергия вращающегося тела.

Законы сохранения.

Закон сохранения импульса и его связь с однородностью пространства. Кинетическая энергия механической системы и ее связь с работой внешних сил, приложенных к системе. Энергия как универсальная мера различных форм движения и взаимодействия. Закон сохранения механической энергии и его связь с однородностью времени. Закон превращения энергии как проявление вечности материи и ее движения. Закон сохранения момента импульса и его связь с изотропностью пространства.

Колебания и волны.

Общая характеристика колебательных движений. Гармонические колебания. Дифференциальное уравнение гармонических колебаний. Пружинный, физический и математический маятники. Энергия гармонических колебаний. Биение. Затухающие колебания. Апериодическое движение. Вынужденные колебания. Амплитуда, частота и фаза вынужденных колебаний. Резонанс. Распространение колебаний в упругой среде. Волновое уравнение. Продольные и поперечные волны и их характеристика. Фазовая скорость и дисперсия волн. Энергия волны. Принцип суперпозиции волн. Интерференция волн. Образование стоячих волн. Волновой пакет. Групповая скорость волн. Отражение волн от границы раздела двух сред.

Элементы специальной (частной) теории относительности

Принцип относительности Эйнштейна. Постулат об инвариантности скорости света. Преобразование Лоренца для координат и времени. Релятивистское изменение длины и промежутков времени. Пространственно–временной интервал. Релятивистский импульс, полная энергия частицы. Закон взаимосвязи массы и энергии. Критика философского релятивизма и энергетизма.

Элементы квантовой механики и квантово- механической теории атомов

Физические основы квантовой механики.

Корпускулярно-волновой дуализм материи, его проявления и способы описания. Соотношение неопределенностей. Формула де Бройля. Границы применимости классической механики. Понятие о принципах дополнительности и соответствия. Определение состояния в квантовой механике. Волновая функция и ее статистический смысл. Стационарные состояния. Общее уравнение Шредингера для стационарных состояний. Основная задача квантовой механики и общая схема ее решения. Изображение механических величин операторами. Принцип причинности в квантовой механике. Критика идеалистического толкования принципов неопределенности и причинности. Квантование механических величин. Законы сохранения в квантовой механике.

Квантово–механические задачи о движении микрочастиц

Задача о движении свободной микрочастицы. Движение микрочастиц в потенциальных полях. Финитное и инфинитное движение. Микрочастица в одномерной “потенциальной яме” с прямоугольными непроницаемыми “стенками”.

Сравнение квантово-механического и классического рассмотрений задач о движении микрочастиц.

Элементы квантово–механической теории атомов

Краткий очерк развития представлений о строении атома. Теория атома водорода по Бору. Постулаты Бора. Дискретность энергетических уровней в атомах. Задача о квантово–механических состояниях электрона в водородо-подобном ионе. Спин электрона. Принцип Паули.

РАЗДЕЛ 1. МЕХАНИКА

1.1. Кинематика

Методические указания

1. Прямая задача кинематики: по известному закону движения определить характеристики движения (скорость, ускорение, траекторию). Задача решается путем дифференцирования уравнения, выражающего закон движения, а также с помощью формул связи одних характеристик движение с другими.

2. Обратная задача: по известным характеристикам движения и начальным условиям найти закон движения. Задача решается интегрированием характеристик движения. Для нахождения траектории движения, т.е. для установления связи между координатами у = f(х), следует исключить время из системы уравнений, выражающих законы движения вдоль координатных осей.

При решении задач необходимо:

• 
   обратить внимание на относительный характер движения, рациональный выбор системы отсчета и векторный характер кинематических параметров:
  

радиус-вектора

,

где - единичные векторы вдоль координатных осей X, Y и Z;

скорости

,

где - проекции вектора скорости на оси координат;

ускорения

_,

где а_х, а_у, а_z - проекции вектора ускорения на оси координат;

• 
  знать, что любое сложное движение может быть представлено как сумма простых его составляющих;
  
• 
  иметь в виду, что средняя скорость не равна средней путевой скорости <V> = ΔS/Δt – (- вектор перемещения; ΔS– путь, пройденный за время Δt);
  
• 
  знать формулы связи кинематических величин поступательного и вращательного движений:
  
• 
  путь, пройденный материальной точкой по дуге окружности радиуса R,
  

S = RΔφ (Δφ - угол поворота);

• 
  линейная скорость точки на круговой траектории
  

, или ;

• 
  тангенциальное ускорение на круговой траектории
  

, или ;

• 
  нормальное ускорение (центростремительное)
  

.

Основные формулы и примеры решения задач

Таблица 1.1

Сопоставление поступательного и вращательного движений

Поступательное движение	Вращательное движение
- вектор линейного перемещения за время Δt	- вектор углового перемещения за время Δt
Средняя скорость перемещения	Средняя скорость вращения
Мгновенная линейная скорость	Мгновенная угловая скорость
Ускорение линейное ; ; , где и - нормальная и тангенциальная составляющие ускорения.	Ускорение угловое
Закон равнопеременного движения , где и - начальные радиус- вектор и скорость	Закон вращательного движения , где и - начальные угловое положение и угловая скорость
Зависимость скорости от времени при равнопеременном движении	Зависимость угловой скорости от времени при равнопеременном вращении

Пример 1.1

Два тела движутся в одном направлении вдоль оси X согласно уравнениям и , где А₁ = 20 м, А₂ = 2 м, В₁ = 8 м/с, В₂ = 2 м/с, С₁ = – 4 м/с², С₂  =  0,5 м/с².

В какой момент времени скорости этих тел будут равны? Найти скорости V₁, V₂ и ускорения а₁, а₂ в этот момент.

Решение

По определению скорость есть первая производная от координаты по времени, а ускорение, соответственно, вторая производная. Найдем выражения для

скоростей тел ,

и для ускорений , _.

При V₁ = V₂ имеем B₁ +2C₁t = B₂+2C₂t . Решая это уравнение относительно t, найдем

.

Подставив найденное значение t в выражение для скорости, получим

V₁ =  V₂ =  8 – 8 (2/3) = 2,7 м/с .

Ускорения a₁ и а₂ от времени не зависят и равны соответственно

а₁ = – 8 м/с², а₂ = 1 м/с² .

Это означает, что первое тело тормозится, а второе разгоняется.

Пример 1.2

O X

V_x

V_y V

S_x

Y V

С башни высотой Н = 25 м горизонтально брошен камень с начальной скоростью V_о = 15 м/с.

Найти:

1) время падения;

2) расстояние от основания башни до места падения;

3) скорость камня в момент удара о землю;

4) угол  между вектором мгновенной скорости камня и горизонтом через одну секунду после начала движения.

Решение

Движение камня криволинейное. Вектор скорости в любой момент времени касателен к траектории и может быть разложен на cоставляющие вдоль координатных осей: V_x = V_о = соnst (вдоль оси X движение равномерное) и V_у =gt (движение вдоль оси У равноускоренное). Время падения t_пад может быть найдено из закона движения вдоль оси У: у = Н = gt²/2. Следовательно,

.

Расстояние от основания башни до места падения камня

S_x= V_о t_пад =15 ∙ 2,26 = 33,9м.

Модуль вектора скорости камня в момент падения на землю находится как сумма скоростей и , а ее модуль по теореме Пифагора:

м/с.

В любой момент времени угол между вектором скорости и осью X может быть найден из отношения составляющих и :

.

Следовательно, для момента времени t = 1с, имеем

 = arctg(10/15) = 33°36'.

Заметим, что время падения зависит только от высоты башни, а все остальные величины (S_x,V,) зависят ещё и от начальной скорости бросания .

Пример 1.3

Диск вращается равноускоренно. Найти угол , который составляет вектор полного ускорения любой точки диска с радиусом в тот момент, когда диск совершает первые два оборота.

Решение

Разложив вектор в произвольной точке М диска на тангенциальное и нормальное ускорения, определим тангенс искомого угла:tg  = a_τ/a_n.

Тангенциальное и нормальное ускорения определяют быстроту изменения скорости по модулю и по направлению соответственно, и являются проекциями вектора полного ускорения на касательную к траектории и на нормаль (перпендикуляр) к ней.

a_τ a

α

М О a_n

Перейдем от а_ и а_n к угловым величинам  и , тогда . Для нахождения правой части этого равенства воспользуемся формулами равноускоренного движения: φ=ω₀t+εt²/2, ω=ω₀+εt.

Исключив из них время, получим . Учитывая далее, что φ_о = 0 и φ = 2πN, получим и, следовательно,

tg =1/(4πN)=0,040;  = 2,3°.

Заметим, что угол  не зависит от выбора точки М диска и полностью определяется углом φ поворота диска. При заданном угле поворота угол  не зависит от промежутка времени, в течение которого произошел этот поворот. При этом в начальный момент времени, N = 0, tg = ,  = π/2, т.е. вектор направлен по касательной к окружности в точке М. Наоборот, при возрастании оборотов N угол  убывает, стремясь к нулю при N → , а вектор направлен к центру кривизны траектории.

1.2 Динамика поступательного и вращательного движения

Основу динамики составляют три закона Ньютона.

Первый закон Ньютона (закон инерции): в инерциальных системах отсчёта (ИСО) всякое тело сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока на него не подействуют другие тела и не выведут его из этого состояния. Смысл первого закона Ньютона заключается в том, что второй и третий законы справедливы только в ИСО.

Свойство тел сохранять свою скорость неизменной называется инертностью. Мерой инертности при поступательном движении является масса тела m, а при вращательном движении - момент инерции тела I. Любое тело можно представить как совокупность материальных точек. Сумма моментов инерции этих точек относительно оси вращения, будет определять момент инерции тела в целом. В табл.1.2 приведены формулы расчета моментов инерции тел различной геометрической формы.

Момент инерции I тел относительно любой оси, не проходящей через центр масс, может быть рассчитан по теореме Штейнера: I = I_о + md ², где I_о - момент инерции тела относительно центра масс, d - кратчайшее расстояние от центра масс до рассматриваемой оси вращения.

Второй закон Ньютона (закон силы) устанавливает, как изменяется механическое движение тела под действием приложенных сил.

При взаимодействии тел изменяются динамические характеристики тел:

где импульс ;

момент импульса ;

кинетическая энергия поступательного движения К_п = mV ² / 2;

кинетическая энергия вращательного движения

К_вр = I² / 2.

Таблица 1.2

Моменты инерции некоторых тел правильной геометрической формы

Тело	Момент инерции иинерции	Положение оси вращения
Материальная точка	I=mr2	произвольное
Полый тонкостенный цилиндр радиусом r (обруч, кольцо)	I = mr2	совпадает с осью симметрии
Сплошной цилиндр или диск радиусом r	I = (1/2) mr2	совпадает с осью симметрии
Тонкий стержень длиной l	I= (1/12) ml2	проходит перпенди-кулярно стержню через его середину
Шар радиусом r	I = (2/5) mr2	проходит через центр

Третий закон Ньютона (закон равенства действия и противодействия): силы действия и противодействия равны по величине, противоположны по направлению и приложены к разным телам. Эти силы всегда действуют вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие тела, и являются силами одной природы. В таблице 1.3 представлены формулы, выражающие законы Ньютона для поступательного и вращательного движений.

Таблица 1.3

Сопоставление поступательного и вращательного движений

Поступательное движение	Вращательное движение
Второй закон Ньютона
при m = const, где - линейное ускорение, приобретаемое телом под действием силы ; m- масса тела.	при I = const, где - угловое ускорение, приобретаемое телом под действием момента сил; (– радиус-вектор силы относительно оси вращения); I – момент инерции тела относительно рассматриваемой оси.
Третий закон Ньютона

Методические указания и примеры решения задач по динамике

1. Сделать рисунок и указать на нем все силы, действующие на тело (или на тела системы).

2. Выбрать систему отсчета, одна из осей которой должна быть направлена по направлению движения.

3. Указать направление скорости движения тел и их расположение в начальном и конечном состояниях.

4. Записать в векторной форме уравнения движения тел, т.е. основной закон динамики (второй закон Ньютона).

5. Спроецировать эти уравнения на оси координат и получить систему уравнений в скалярной форме.

6. Дополнить при необходимости систему полученных уравнений кинематическими уравнениями.

7. Решив полученную систему уравнений, определить искомые величины.

Пример 1.4

Закон движения материальной точки массой m = 0,1 кг задан в виде х = 8t² + 3t + 1, у = 5t - 7, где х и у - в метрах, время t- в секундах.

Определить проекции вектора силы на оси координат X, Y и модуль силы, действующей на материальную точку.

Решение

Движение точки происходит в плоскости ХОУ. Запишем основное уравнение динамики в проекциях на оси координат:

F_х = mа_х = m,

F_у = mа_у = m.

Модуль силыF = .

Проведя расчеты, найдем: а_х = = 16(м/с²);

а_у = = 0;F_х= 0,1 • 16 = 1,6 Н;F_У= 0; F =1,6 Н.

Пример 1.5

Какую силу надо приложить для подъема тела массой 50 кг по наклонной плоскости с углом наклона φ= 60°, если коэффициент трения тела о плоскость  = 0,2?

Решение

Y

X

N F

0

F_тр

φ mg

Полагая, что движение тела вдоль наклонной плоскости является равномерным и прямолинейным (ускорение а = 0), составим уравнение движения тела:



Направление сил, действующих на тело, показано на рисунке. В проекциях на координатные оси X и У это векторное уравнение запишется в виде двух скалярных уравнений:



Решив эту систему с учетом формулы для силы трения F_тр = N, получим

F=mg(sinφ + соsφ) = 50∙10[() / 2+0,2 (1/2)]= 475 Н.

Из полученного решения видно, что при неизменном значении коэффициента трения, сила тяги тем больше, чем больше угол наклона плоскости.

Пример 1.6

На тело массой m = 2 кг в течение времени t = 10 с действует сила F₁ = 50 Н. Коэффициент трения тела о плоскость   = 0,15. Найти приращение скорости и импульса тела за это время.

Решение

Согласно основному уравнению динамики в импульсной форме: , где . Интегрируя обе части этого уравнения, получим приращение импульса за время t:

, или при .

Эта формула представляет собой математическое выражение теоремы об изменении импульса. Проецируя вектор на направление движения, вычислим результирующую силу

= 50 – 0,15∙2∙10 = 47Н.

Подставим численные значения Fи t в формулу для приращения импульса: р=47∙10=470 Нс=470 кг∙м/с.

Приращение скорости определим из следующего соотношения:

V = = 235 м/с.

Пример 1.7

Диск массой m = 10 кг и радиусом R = 20 см вращается вокруг горизонтальной оси, проходящей через его центр. Уравнение вращения диска имеет вид: φ(t) = Вt² – Сt³ ; В = 4 рад/c², С = 1 рад/с³. Найти закон изменения момента сил, действующих на диск. Определить величину момента сил в момент времени t = 2 с.

Решение

Воспользуемся основным законом динамики вращательного движения , где угловое ускорение может быть найдено дифференцированием уравнения вращения:  == 2В – 6Сt = 8 – 6t.

С учетом того, что момент инерции диска

I= mR² / 2,

получим искомый закон изменения момента сил:

М(t) =(1/2)mR²(8 - 6t) = (1/2) 10 ∙ 0,04 ∙ (8 –6t) = 1,6 – 1,2t.

Отсюда следует, что зависимость М(t) – линейная. Для момента времени t = 2 с, величина момента сил

М = 1,6 – 1,2 ∙ 2 = – 0,8Н∙м.

Задачи

1. 
   Катер, двигаясь вниз по реке, обогнал плот в пункте А. Через τ = 60 мин после этого он повернул обратно и затем встретил плот на расстоянии l = 6,0 км ниже пункта А. Найти скорость течения, если при движении в обоих направлениях мотор катера работал одинаково.
   

2. 
   Точка прошла половину пути со скоростью v₀. Оставшуюся часть пути она половину времени двигалась со скоростью v₁, а последний участок — со скоростью v₂. Найти среднюю за все время движения скорость точки.
   

3. 
   Автомашина движется с нулевой начальной скоростью по прямому пути сначала с ускорением w = 5,0 м/с², затем равномерно и, наконец, замедляясь с тем же ускорением w, останавливается. Все время движения τ = 25 с. Средняя скорость за это время (vср) = 72 км/ч. Сколько времени автомашина двигалась равномерно?
   

4. 
   Точка движется по прямой в одну сторону. На рис. 1.1 показан график пройденного ею пути s в зависимости от времени t. Найти с помощью этого графика: 
   а) среднюю скорость точки за время движения; 
   б) максимальную скорость; 
   в) момент времени t₀, в который мгновенная скорость равна средней скорости за первые t₀ секунд; 
   г) среднее ускорение за первые 10 и 16 с.
   

Рисунок 1.1

5. 
   Две частицы, 1 и 2, движутся с постоянными скоростями v₁ и v₂. Их радиус-векторы в начальный момент равны r₁ и r₂. При каком соотношении между этими четырьмя векторами частицы испытают столкновение друг с другом?
   

6. 
   Корабль движется по экватору на восток со скоростью v₀ = 30 км/ч. С юго-востока под углом φ = 60° к экватору дует ветер со скоростью v = 15 км/ч. Найти скорость v' ветра относительно корабля и угол φ' между экватором и направлением ветра в системе отсчета, связанной с кораблем.
   

7. 
   Аэростат массы m начал опускаться с постоянным ускорением w. Определить массу балласта, который следует сбросить за борт, чтобы аэростат получил такое же ускорение, но направленное вверх. Сопротивлением воздуха пренебречь.
   

8. 
   В установке (рис. 1.9) массы тел равны m₀, m₁ и m₂, массы блока и нитей пренебрежимо малы и трения в блоке нет. Найти ускорение w, с которым опускается тело m₀, и натяжение нити, связывающей тела m₁ и m₂, если коэффициент трения между этими телами и горизонтальной поверхностью равен k. Исследовать возможные случаи.
   

Решение на картинке ниже, сама картинка мать ее где?

9. 
   Призме 1, на которой находится брусок 2 массы m, сообщили направленное влево горизонтальное ускорение w (рис. 1.23). При каком максимальном значении этого ускорения брусок будет оставаться еще неподвижным относительно призмы, если коэффициент трения между ними k < ctg α?
   

рис. 1.23

10. 
    Самолет делает «мертвую петлю» радиуса R = 500 м с постоянной скоростью v = 360 км/ч. Найти вес летчика массы m = 70 кг в нижней, верхней и средней точках петли.
    

11. 
    Частица массы m движется в некоторой плоскости P под действием постоянной по модулю силы F, вектор которой поворачивается в этой плоскости с постоянной угловой скоростью ω. Считая, что в момент t = 0 частица покоилась, найти: 
    а) ее скорость в зависимости от времени; 
    б) путь, проходимый частицей между двумя последовательными остановками, и среднюю скорость за это время.
    

12. 
    На экваторе с высоты h = 500 м на поверхность Земли падает тело (без начальной скорости относительно Земли). Пренебрегая сопротивлением воздуха, найти, на какое расстояние и в какую сторону отклонится от вертикали тело при падении.
    

Решение на картинке ниже