Г. Ф. Пеньковский основы информационных технологий и автоматизированного проектирования в строительстве конспект
 Скачать 1.66 Mb.
|
|
4.2. Проектирование строительных конструкций 1. Порядок и методы проектирования несущих конструкций Применение вычислительной техники для расчета строительных конструкций является хорошо освоенной областью проектирования бла- годаря наличию традиционно сложившегося математического обеспече- ния задач строительной механики и сопротивления материалов. Согласно действующим строительным нормам Российской Феде- рации [21, 22] расчет несущих конструкций производится методом пре- дельных состояний. Предварительно составляется расчетная схема кон- струкции с указанием всех размеров, материала и нагрузок. Расчет осу- Площадь А 0 = 1584 м 2 Рис. 24. План одноэтажного здания Таблица 5 Подсчет потребности железобетона № п/п Элементы здания Расход ж/б на один элемент, м 3 Количество элементов Расход ж/б на все эле- менты, м 3 Условие 1 Ж/б ребристые пли- ты покрытия 3 u6 м (b = 6 м) 1 88 88 3 Балка покрытия, l = 12 м, b = 6 м 1,65 24 39,6 5 Колонны 400 u400 мм (l = 6 – 12 м, b = 6 м) 0,672 40 26,88 h = 4,2 м 6 Ограждение. Неуте- пленные стеновые панели 1 м 2 0,06 756 45,36 7 Фундаменты под колонны периметра (a t 1,5 м, b = 6 м) 2,67 30 80,25 Давление р 0 = 200 кПа 8 Фундаменты под внутренние колонны (a t 1,5 м, b = 6 м) 5,00 10 50,05 а-сторона фундамента 330,13 Примечание. Строки 2 и 4 пропущены, поскольку здание одноэтажное. Для зданий с несколькими этажами в этих строках содержатся данные здания для этажей ниже верхнего. Общий объем железобетона для здания составил 330,13 м 3 , приведенный к единице площади расход железобетона: м 208 , 0 1584 13 , 330 120 121 Для обеспечения необходимой точности и устойчивости счета при- меняют следующие приемы [17]: 1. Путем итераций подбирают такие значения шага сетки (размер элемента), при которых точность счета достаточна и устойчивость обес- печена. По Рунге – Кутту, точность считается достаточной, если при за- мене шага X на X/2 результаты счета для основных параметров отли- чаются не более чем на 5 %. 2. Применяют разные шаги сетки на разных участках объекта или во времени в МКР, аналогично в МКЭ – разные по размерам элементы, уменьшенные в области отверстий и сопряжений, и укрупненные супер- элементы на различных участках расчетной схемы. 3. Вводят искусственную вязкость в описание математической мо- дели, применяют итерации с вязкостью. 4. Используют способ обратной связи шагов счета в ДШМ, обеспе- чивающий сглаживание скачков меняющихся параметров в шагах вы- числений. После определения усилий и деформаций в конструкциях произво- дится расчет прочности сечений. Нагрузки и прочность материалов обладают природной изменчи- востью и носят вероятностный характер. В методе предельных состоя- ний это обстоятельство учитывается методологией назначения расчет- ных и нормативных характеристик материалов и нагрузок с помощью математического аппарата теории вероятностей и математической ста- тистики. Изменчивость свойств строительных материалов описывается нор- мальным законом распределения Гаусса ) 2 ) ( ( exp 2 1 ) ( 2 2 G S G M R R P , (14) где P(R) – вероятность реализации прочности материала R как случайной величины (рис. 25, а); М – математическое ожидание прочности материала при испытании n образцов ¦ n i i R n M 1 1 ; G – среднеквадратическое ое отклонение, D G ; D – дисперсия, ¦ n i i M R n D 1 2 ) ( 1 ществляется в два этапа. Вначале определяются усилия в элементах кон- струкций, затем делается расчет по прочности и по деформациям с уточ- нением размеров поперечных сечений элементов. Для определения усилий в программных средствах САПР получи- ли развитие численные методы на основе дискретных в пространстве и во времени расчетных схем – метод конечных разностей (МКР), метод конечных элементов (МКЭ), дискретно-шаговые методы (ДШМ), метод граничных элементов (МГЭ). Основная идея МКР состоит в замене точных значений производ- ных их приближенными значениями через конечные разности функций. Расчетная схема сооружений представляет собой сетку с заданным ша- гом по осям координат. Этот метод иногда называют методом сеток. В МКЭ конструкция разбивается на систему плоских или простран- ственных элементов, состояние которых описывается рекуррентными уравнениями равновесия, совместности деформаций и закона деформи- рования материала в элементах. Совместное решение уравнений с уче- том граничных условий раскрывает напряженно-деформированное со- стояние конструкции. ДШМ описывают состояние объекта в последовательных дискрет- ных шагах расчета от начала загружения с учетом изменения нагрузки и состояния конструкции в каждом шаге. Это дает возможность доста- точно просто учитывать нелинейные свойства деформации материалов и внешних воздействий путем аппроксимации нелинейных функций ку- сочно-линейными с любой заданной точностью приближения. ДШМ удобно применять в задачах динамики. Решение на ЭВМ получается до- статочно просто даже в тех случаях, когда невозможно получить анали- тическое замкнутое решение дифференциальных уравнений движения. Метод граничных элементов состоит в комбинации аналитических решений теории упругости и пластичности для некоторой центральной области сечений в конструкциях и приближенных численных способов решения для краевых участков сечений. Все численные методы расчета являются приближенными, поэто- му центральным вопросом их применения для расчета конструкций на ЭBМ является обеспечение необходимой точности и устойчивости сче- та. С уменьшением шагов сетки в МКР или шагов вычислений в ДШМ точность расчета повышается, но увеличивается при этом трудоемкость и продолжительность счета. При увеличении шагов может происходить накопление ошибок, счет оказывается неустойчивым, появляются сбои. 122 123 Для нормативной нагрузки ³ f t н 95 , 0 ) ( ) ( н N dN N P N N P . (18) Условие прочности конструкций для первой группы предельных состояний записывается в форме вероятностей математической модели ) , , ( Ф p p J d R S N , (19) где Ф – несущая способность конструкции в функции от ее геометричес- ких размеров S, расчетной прочности материала p R и условий работы J . Физический смысл условия прочности (19) состоит в том, что мак- симально возможное значение нагрузки при эксплуатации сооружения не должно превышать минимальную несущую способность конструк- ции с доверительной вероятностью не ниже 0,999. Вероятностные характеристики материалов и нагрузок представ- лены в нормах [21] их детерминированными значениями. В таблицах приводятся нормативные и расчетные значения прочности материалов, в их связь имеет вид м н p J R R . (20) Здесь расчетное сопротивление p R имеет доверительную вероят- ность не ниже 0,999 за счет деления нормативного сопротивления R н (бра- ковочного минимума, гарантируемого изготовителем с вероятностью 0,95) на коэффициент надежности по материалу 1 м ! J Расчетная нагрузка в детерминированном виде определяется по формуле н н p N N J , (21) где н J – коэффициент надежности по нагрузке ( 1 н ! J ). Расчетное условие для второй группы предельных состояний имеет вид ] [ f f d , (22) где f – деформация (или ширина раскрытия трещин в железобетонных конструкциях), определяемая при нормативных нагрузках и норматив- ных характеристиках материалов; [ f ] – допускаемое значение деформа- ции в нормальных условиях эксплуатации. Отметим, что расчеты по первой группе предельных состояний (по прочности) как более ответственные, выполняются по расчетным харак- а б P(R) P(N) R p R н M R M N н N p N Рис. 25. Законы распределения характеристик для материалов ( а) и для нагрузок ( б) (Ц. Т. – центр тяжестей) Расчетные и нормативные значения прочности материала ( p R и н R ) назначаются так, чтобы доверительная вероятность (обеспеченность) была для расчетной прочности ³ f t t р 999 , 0 ) ( ) ( p R dR R P R R P ; (15) для нормативной прочности ³ f t t н 95 , 0 ) ( ) ( н R dR R P R R P . (16) Изменчивость нагрузок описывается различным образом. Для на- грузок от собственного веса конструкций используется нормальный за- кон Гаусса. В общем случае закон распределения для нагрузок имеет не- симметричный вид (рис. 25, б). Нагрузки малой величины (от снега, вет- ра) имеют более высокую вероятность проявления, чем большие нагруз- ки. Но подход к назначению и использованию расчетных и нормативных нагрузок ( p N и ) н N по доверительной вероятности реализации такой же, е, как в оценке прочности материалов. Разница только в том, что если для материалов представляет интерес область значений прочности p R R ! и н R R ! , то для нагрузок важны такие их значения, которые при эксплу- атации сооружения не превышают расчетных и нормативных. Для расчетной нагрузки ³ f t p 999 , 0 ) ( ) ( p N dN N P N N P . (17) 124 125 При малых напряжениях в конструкциях, далеких от появления пластических деформаций, при расчете конструкций в машиностроении, работающих в упругой стадии, вполне правомерно применять расчет по допускаемым напряжениям, как более простой и понятный. 2. Оптимизация сечений сжатых и изгибаемых железобетонных элементов В сжатых железобетонных элементах усилие сжатия воспринима- ется бетоном и арматурой пропорционально модулю упругости. Обычно напряжения в арматуре на порядок больше напряжений в бетоне, а об- щее усилие, воспринимаемое арматурой, зависит от содержания армату- ры в сечении и коэффициента армирования. Если учесть, что единица прочности 1 МПа для металла на порядок дороже, чем для бетона, то в сжатом железобетонном элементе целесообразно максимально сжимаю- щие усилия передать на бетон. Арматуру же ставить конструктивно с минимальным коэффициентом армирования. Для сжато-изогнутых и изгибаемых железобетонных элементов оптимальное по стоимости проектное решение можно найти с помощью альтернативного ДЦ (рис. 26). Уровни ДЦ Класс бетона Класс арматуры Ширина сечения b, мм Высота сечения h, мм Рис. 26. Дерево целей Варьируя все параметры на всех уровнях дерева целей и используя программу расчета железобетонного сечения (например SCAD), можем найти потребное количество арматуры в сечении и определить стоимость 1 пог. м элемента теристикам материалов и нагрузок с обеспеченностью не ниже 0,999. Расчеты по второй группе предельных состояний (по деформациям) осу- ществляются при соблюдении условий первой группы. Они являются про- верочными и имеют обеспеченность несколько меньше, но не менее 0,95. Как видим, в основе метода предельных состояний лежит вероят- ностная математическая модель работы конструкции под нагрузкой, но для удобства расчетов она приведена к детерминированному виду. В некоторых странах расчет строительных конструкций осуществ- ляют по допускаемым напряжениям. Этим методом пользовались и в нашей стране до введения метода предельных состояний. Условие проч- ности при этом имеет вид ] [ V d V , (23) где V – напряжения в наиболее нагруженной части сечения элемента; [ V] – допускаемое напряжение для материала конструкции, определяе- мое по формуле k т ] [ V V . (24) Здесь т V – напряжение, при котором начинается разрушение мате- риала конструкции или появляются пластические деформации текучес- ти в металлических конструкциях; k – коэффициент запаса, которым учи- тывается изменчивость свойств материала конструкции и нагрузок. В методе предельных состояний вместо одного коэффициента за- паса в расчете присутствуют три коэффициента надежности: по матери- алу, по нагрузке и условиям работы. При этом коэффициенты надежнос- ти по материалу и по нагрузке состоят из двух частей. Первая часть учи- тывает собственную изменчивость свойств материалов и нагрузок на- значением нормативных значений с доверительной вероятностью 0,95. Вторая часть учитывает важность расчетного аппарата назначением до- полнительного запаса надежности с повышением доверительной веро- ятности расчетных значений прочности материала и нагрузок до вели- чины 0,999. Такой дифференцированный подход к оценке изменчивости различ- ных факторов в расчете конструкций дает возможность получать более экономичные и достаточно надежные проектные решения, чем в методе расчета по допускаемым напряжениям. 126 127 2 b A R R R A M h s b s s s (27) Тогда формула для стоимости одного погонного метра балки (25) получит вид 1 1 C C ) 2 ( C s s b s b S s s A b A R R R A M b . (28) Обозначим s b R M b k 1 1 C ; 1 1 2 C 2 C s b b s R R k , получим s s A k A k 2 1 С . (29) Взяв производную s dA dС и приравнивая ее к нулю, получаем выра- жение для оптимальной площади арматуры в сечении с минимальной стоимостью 2 2 1 С k A k dA d s s ; 0 2 2 1 k A k s ; ) C 2 ( 2 ; 2 1 R R bM A k k A s s s , (30) где 1 1 C C C ; s b b s R R R Зная площадь арматуры из уравнениq (26) и (27), находим высоту сжатой зоны и высоту h для сечения с оптимальными параметрами. За- метим здесь, что прямоугольное поперечное сечение элемента можно трансформировать в тавровое (рис. 28) без изменения расчетных формул (30). При этом достигается дополнительная экономия бетона за счет умень- шения ширины сечения от b до 1 b на высоте h–x. Ширина ребра 1 b 1 1 C C C s s b b A A , (25) где s b A A , – площадь бетона и площадь арматуры в сечении, м 2 ; 1 1 C , C s b – стоимость единицы объема бетона и арматуры. При конструктивном армировании и малых нагрузках для изготов- ления элементов целесообразно использовать более дешевые низкопроч- ные бетоны и стали. При больших нагрузках, когда сечение бетона и ар- матуры определяется расчетом, выгоднее применять высокопрочные материалы. Это обстоятельство выявляется направленным перебором вариантов на уровнях ДЦ при синтезе проектного решения для сечения элемента. Для изгибаемого элемента с одиночным армированием (рис. 27) аналитическое решение с получением оптимальных по стоимости пара- метров сечения можно получить следующим образом: x h b M R b A s R s Рис. 27. Сечение элемента с одиночным армированием В соответствии с требованиями норм [21] запишем уравнение рав- новесия для сечения элемента: ° ¿ ° ¾ ½ ). 2 ( ; x h R A M A R bx R S S S S b (26) Здесь b R – расчетное сопротивление бетона; b, h – ширина и высотаа прямоугольного сечения; x – высота сжатой зоны бетона; s s A R , – рас- четное сопротивление и площадь арматуры; M – расчетное значение из- гибающего момента. Выражая из первого уравнения x и подставляя его во второе, полу- чим значение высоты сечения 128 129 определяется условиями размещения арматуры s A и необходимостью восприятия поперечной силы. b A s x h b 1 Рис. 28. Тавровое сечение элемента Если в сжатой зоне стоит конструктивная арматура s Ac , то формула (30) дает общую площадь арматуры в сжатой и растянутой зоне сечения. Представляет интерес получить оптимальные параметры прямоу- гольного сечения дискретно-шаговым методом с помощью электронных таблиц Excel с расчетом по алгоритму (рис. 29). Алгоритм расчета построен с использованием ранее приведенных формул (26) и (28). Минимальное значение площади арматуры min s A на- значается конструктивно (например 2 12 мм, s A = 2,26 см 2 ). Затем в пер- вой строке электронной таблицы Exсel записываются все формулы алго- ритма в адресах ячеек и расчет выполняется автоматически для всех зна- чений s A , которые назначаем так, чтобы величина стоимости балки С перешла через экстремум. По данным расчета строятся графики C , C , C s b (рис. 30), при этом относительная высота сжатой зоны не должна превы- шать граничное значение ). 4 , 0 ( | [ R Пример расчета приведен в табл. 6. Из таблицы и графиков на рис. 29 видно, что оптимальной является балка с высотой сечения 0,62 м и арматурой s A = 13 см 2 . Аналитическоее значение этой площади по формуле (30) s A = 13,1 см 2 . На рис. 31 показа- но армирование балки с такими параметрами. Аналитический и дискретно-шаговый методы дают возможность снизить трудоемкость расчета, получить параметры оптимального сече- ния элемента для последующего окончательного расчета с применением более сложных программных комплексов. b R A R X b s s 2 x A R M h s s c A s = A s + 1 C = C b + C s C s = A s C s 1 A s = A s min C b = b h C b 1 Исходные данные: M, b, R b , R s , C b 1, C s 1 A s = A s min Вывод: A s , x, h, C b , C s , C Рис. 29. Алгоритм расчета параметров сечения Таблица 6 |