Длина, площадь, объём. 10.Длина площадь объем. ГА. Мерзон, ив. Ященко Длина Площадь Объём Электронное издание
 Скачать 3.99 Mb.
|
|
ГА. Мерзон, ИВ. Ященко Длина Площадь Объём Электронное издание Издательство МЦНМО Москва, 2016 УДК 51(07) ББК 22.1 М52 Мерзон ГА, Ященко И. В. Длина, площадь, объём Электронное издание М.: МЦНМО, 2016 48 с Шестая книжка серии Школьные математические кружки посвящена различным подходам к сравнению и вычислению площадей и объёмов и предназначена для занятий со школьниками 6{11 классов. В неё вошли разработки четырёх занятий математического кружка, в каждом из которых подробно разобраны задачи различной сложности и даны методические указания для учителя. Приведён также список дополнительных задач. В приложении имеются различные варианты раздаточного материала. Брошюра адресована школьным учителям математики и руководителям математических кружков. Надеемся, что она будет интересна школьниками их родителям, студентам педагогических вузов, а также всем любителям математики. Подготовлено на основе книги ГА. Мерзон, ИВ. Ященко. Длина, площадь, объём. | е изд, стереотип. | М МЦНМО, 2015. | ISBN Издательство Московского центра непрерывного математического образования, Москва, Большой Власьевский пер, тел. (499) 241{08{04. http://www.mccme.ru ISBN 978-5-4439-2424-3 © Мерзон ГА, Ященко ИВ МЦНМО, 2016. Предисловие Брошюра посвящена ряду вопросов, связанных с вычислениями площадей и объёмов. Основной текст брошюры состоит из четырёх занятий. Чувство размерности | понимание того, как меняются те или иные числовые характеристики (объёмы и площади фигур и т. п) при пропорциональном изменении размеров, | желательно начать развивать до того, как ребенок научится вычислять их по известным заранее формулам, не задумываясь о сути происходящего. Эту задачу и старается решить первая часть брошюры: в первом занятии обсуждается, как изменяются площади и объ- ёмы при масштабировании, во втором | то, как изменяется при масштабировании площадь поверхности, и вообще эффекты сочетания разных размерностей водной задаче. Эти занятия рассчитаны на школьников 6{8 классов. Соображений размерности достаточно, чтобы понять, как зависит, например, объём шара от его радиуса. Но для точного вычисления этого объёма таких соображений недостаточно. Помогает здесь идея послойного рассмотрения объёмной картинки а точнее, принцип Кавальери. В третьем занятии мы знакомимся с принципом Кавальери для фигур, составленных из кубиков, когда он особенно нагляден. Вычисление объёмов таких фигур позволяет нам найти геометрически суммы 1+: : :+n и 1+: : :+n 2 . Это занятие (исключая самый конец) предназначено для школьников с 7 класса. В четвёртом занятии при помощи принципа Кавальери вычисляются объёмы конуса и шара. В конце занятия приводятся вычисления площадей круга и сферы. Это занятие рассчитано на школьников начиная с 8{9 класса, но может быть использовано ив классе как дополнительный материал к курсу стерео- метрии. Мы подходим к площадями объёмам неформально, нона определённом этапе полезно познакомиться и с аксиоматическим определением площади. Оно приводится в приложении Различные варианты заданий кружка (вместе с дополнительными задачами | среди которых есть как задачи на повторение, таки задачи повышенной сложности) приведены в приложении Авторы благодарны А. В. Шаповалову, взявшему на себя труд по рецензированию брошюры и не только указавшему авторам наряд неудачных мест, но и предложившему для неё несколько задача также МА. Берштейну, АД. Блинкову и Т. И. Голени- щевой-Кутузовой за полезные обсуждения. Авторы будут признательны читателям за сообщения об ошибках и опечатках (e-mail: merzon@mccme.ru, Григорий Мерзон). 4 Занятие Масштаб и объём Знакомство с понятием размерности стоит начать с клетчатого варианта, в котором любое соображение можно проверить прямым подсчётом. Начать можно со следующей известной задачи, которую часто решают неправильно. Задача 1.1. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. Насколько ещё стирок хватит оставшегося куска (На каждую стирку уходит одно и тоже количество мыла.) Рис. 1.1а На этот вопрос часто дают ответ «ещё на 7 стирок. Убедиться в его ошибочности можно, задумавшись над следущим вопросом. Если всего куска хватает на 14 стирок, а маленького на 7, то, наверное, из двух маленьких кусков можно сложить один большой как же это сделать? Если представить себе трёхмерную ситуацию Рис. б не получается, полезно сначала разобраться со случаем плоского и квадратного мыла | там уже нетрудно увидеть, что большой кусок состоит из че- тырёх маленьких. На самом деле, как мы увидим в следующих задачах, большой кусок мыла состоит из восьми маленьких соответственно на первые 7 стирок ушло 7 маленьких кусков, значит и одного оставшегося маленького куска хватит на одну стирку. Если занятие начинается с этой задачи, то совершенно необязательно сразу подробное разбирать. Надо только объяснить, что с наивным рассуждением имеется какая-то проблема. Задача 1.2. Квадрат со стороной а) 3 см б) 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см. Сколько квадратиков получилось? Куб со стороной в) 3 см гм разрезали на кубики со стороной см. Сколько кубиков получилось? Посчитать что-нибудь непосредственно на объёмной картинке всегда непросто. Обычно приходится так или иначе сводить всё к плоской задаче. Один из способов сделать это | рассмотреть картинку послойно (поэта- жам»). Решение. в) Куб размером 3 × 3 × 3 состоит из трёх одинаковых слов. Каждый из этих слоёв представляет собой квадрат размером 3 × 3, который, как мы уже выяснили в предыдущей задаче, состоит из 3·3 = 9 клеток. Значит, всего кубиков 3·9 = г) Аналогичным образом находим, что куб со стороной 1 м состоит из 100 3 = 1 000 000 сантиметровых кубиков (собственно, это рассуждение и объясняет, почему водном кубическом метре не сто кубических сантиметров, а целый миллион). Вообще, разрезая метровый, например, куб на достаточно маленькие кубики, можно сложить сколь угодно высокую башню (ср. также с задачей Задача 1.3. Грузчик на складе может поднять упаковку размером литровых пакетов молока. Смогут ли три грузчика поднять упаковку 9 × 9 × 9 пакетов? Решение. Даже если просто подсчитать вес большой упаковки пакетов, то есть примерно 729 кг, станет ясно, что втроем её не поднять. В любом случае, стоит разобраться, из скольких же маленьких упаковок состоит большая. Но нетрудно заметить, что эту задачу мы фактически уже решали выше (с кубиками вместо пакетов молока, и ответ | большая упаковка тяжелее маленькой враз Задача 1.4. Детский надувной бассейн имеет высоту 30 см, а его дно представляет собой квадрат со стороной 1 м. Сколько весит такой бассейн с водой? Решение. Вспомним, что 1 литр, то есть кубический дециметр, воды весит 1 кг. Поэтому вес бассейна с водой в кг равен его объёму в дм. Соответственно, объём нашего бассейна | 3 · 10 2 = 300 дм, а вес | 300 кг. Задача 1.5. Саша и Юра построили по башне Рис. из кубиков (см. рис. 1.5). Обе башни имеют квадратное основание и составлены из одинакового числа ку- биков. а) Сторона основания Юриной башни в четыре раза больше, чем Сашиной. Во сколько раз Сашина башня выше? б) Сашина башня в четыре раза выше, чем Юрина. Во сколько разу Юриной башни больше сторона основания? Ответ: а) враз б) в 2 раза. Центральный вопрос занятия | как изменяются объёмы и площади фигур произвольной формы при изменении линейных размеров враз (в самом простом виде этот вопрос уже встречался нам в задаче Рис. 1.6а Рис. 1.6б Задача 1.6. а) Саша сложил картинку из квадратиков со стороной 2 см (см. риса, а Юра | аналогичную картинку из квадратиков со стороной 4 см. Во сколько раз площадь Сашиной картинки меньше площади Юриной картинки? б) Кубарик сложен из нескольких деревянных кубиков (см. рис. б. Как изменится его масса, если размеры каждого кубика увеличить в 2 раза? Стоит также выяснить, какой будет ответ, если изменять размеры не в 2, а враз. Отметим, что он совершенно не зависит от формы фигуры. Отсюда можно сделать вывод, что тот же ответ имеет и следующая задача. Задача 1.7. Как изменится масса слона, если увеличить его (по всем размерам) в 2 раза (Считать, что слон имеет форму параллелепипеда, конечно, нельзя) Как изменится площадь слона на фотографии? Рис. 1.7а Рис. 1.7б Ответ: враз в 4 раза. Решение. Чтобы связать задачу с предыдущей, можно сначала представить себе, что слон «пиксельный» | сложен из небольших кубиков. Теперь, когда кубики становятся совсем маленькими, пиксельный слон становится неотличим от настоящего. . Никакого формального доказательства в этой задаче, конечно, не требуется, достаточно понять, каков ответ. На самом деле, с ростом размера слона его объём | а значит, и масса будет расти как куб линейных размеров. А площадь поперечного сечения ноги | а значит, и прочность костей | только как квадрат линейных размеров. То есть при увеличении размера масса слона будет расти существенно быстрее прочности ноги увеличенный слон не сможет стоять на ногах. Тот же эффект можно увидеть и на простой дискретной модели если складывать из кубиков большой куб, то нагрузка на отдельный кубик будет расти пропорционально размерам большого куба | просто из-за того, что будет расти башенка кубиков над ним. Поэтому в какой-то момент куб рухнет под собственным весом. Если известно, как меняются площади и объёмы примас- штабировании, то нетрудно понять, как (качественно) должны выглядеть разные формулы для площадей и объёмов. Задача 1.8. а) Обозначим площадь круга радиуса 1 через Чему равна площадь круга радиуса б) Обозначим объём шара радиуса 1 через V 3 . Чему равен объём шара радиуса Ответа б) Вычисление констант и V 3 | вопрос существенно более тонкий. Можно показать (см. занятие 4), что V 2 = , V 3 = Дополнительные задачи Задача 1.9. Какая из кастрюль вместительнее | левая, более широкая, или правая, втрое более высокая, но вдвое более узкая? Ответ: левая (в 1 1 3 раза). Рис. Рис. Задача 1.10. На левую чашу весов положили два шара радиусов и 5, а на правую | один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит (Все шары изготовлены целиком из одного итого же материала.) Типичный ответ на такой вопрос | это, конечно, никакая, потому что + 5 = Решение. Такой ответ можно опровергнуть совершенно наглядным геометрическим рассуждением заметим, что два маленьких шарика, если их поставить рядом, влезут внутрь большого значит, их суммарный объём меньше. Задача 1.11 ∗ : На левую чашу весов положили две круглых монеты, а на правую | ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного итого же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.) 1 Решение. Обозначим радиусы монет через R 1 , и Так как вначале весы были в равновесии, V 2 R 2 1 + V 2 R 2 2 = V 2 R 2 то есть R 2 1 + R 2 2 = R 2 3 . Аналогично, чтобы определить, что произошло с весами, после того как монеты заменили шарами, нужно сравнить R 3 1 + R 3 с R 3 3 . Но по сравнению с равенством выше, правая часть умножилась на больший радиуса два слагаемых в левой части | на меньшие радиусы и R 2 : R 3 1 +R 3 2 = R 2 1 · R 1 +R 2 2 · R 2 < R 2 1 · R 3 +R 2 2 · R 3 = (R 2 1 +R 2 2 )·R 3 = R 3 Значит, правая чаша перевесит. 1 Автор этой задачи | Г. Гальперин; она предлагалась на Турнире Ломоносова года Занятие Площадь поверхности Задача 2.1. Чему равна площадь поверхности у куба со стороной а) 10 см б) 12 см? Ответ: а) 6 · 10 2 = 600 (см б) 6 · 12 2 = 864 (см 2 ). В задаче 5 предыдущего занятия мы уже видели, что, разрезав любой куб на достаточно маленькие кубики, можно сложить из них сколь угодно высокую башню. Можно задаться вопросом, а велика ли площадь поверхности получившейся башни. Кажется, что башня узкая и площадь поверхности должна получиться небольшой. Проверим это. Задача 2.2. Куб со стороной 1 м разрезали на кубики со стороной 1 см и сложили из них башенку с основанием в один кубик. Какова площадь поверхности получившейся башенки Больше или меньше она площади поверхности исходного куба Во сколько раз? Ответ: 100 3 · 4 + 2 см м это примерно враз больше, чем площадь поверхности исходного куба. Задача 2.3. Куб с ребром 12, сложенный из кубиков с ребром, облили белой краской. У скольких из маленьких кубиков оказалась покрашено 0 граней 1 грань 2 грани 3 грани? Решение. Кубики без покрашенных граней образуют куб размером 10 × 10 × 10 | он состоит, как мы уже знаем, из 10 3 = = 1000 кубиков. Кубики стремя покрашенными гранями | это угловые кубики, их столько же, сколько вершин куба | 8. Все кубики с одной покрашенной гранью лежат внутри граней куба и всего их 6 · 10 2 = 600 (ср. задачей а. Наконец, кубики с двумя покрашенными гранями | это все кубики нар брах, кроме вершин, их 12 · 10 = 120. 3 3 3 3 2 2 2 Рис. Если сложить все эти числа, то возникает тождество 12 3 = 10 3 + 6 × × 10 2 + 12 · 10 + 8, | и вообще, если увеличить ребро куба с a до a + то аналогичным подсчетом можно доказать известную формулу (a + b) 3 = = a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3 , представляющую собой частный случай бинома Ньютона. Можно аналогичными рассуждениями доказать и общий бином Ньютона. Задача 2.4. а) Какую долю площади квадрата размером × 12 составляют приграничные клетки? б) Какую долю объёма куба размером 12×12×12 составляют приграничные кубики? Ответ: а) 31%; б) Решение. б) На первый взгляд, достаточно повторить решение задачи ау куба 6 граней, к каждой из которых прилегает по 12 · 12 = 144 кубика значит, всего должно быть 6 · 144 = 864 кубика. Но такое вычисление даёт неверный ответ из-за того, что некоторые кубики прилегают более чем к одной грани | и, соответственно, были посчитаны несколько раз. Нетрудно, впрочем, исправить это вычисление, воспользовавшись подсчётом из предыдущей задачи нас интересуют кубики, у которых покрашена хотя бы одна грань всего их 600 + 120 + 8 = 728, они составляют ≈ Можно решить задачу и проще, если подумать не про количество граничных, а про количество внутренних кубиков их будет 10 штук или 3 12 3 = 5 6 3 ≈ 58%. Соответственно, граничных кубиков будет 100% − 58% ≈ Отметим (особенно хорошо это видно, если добавить ещё ответ на аналогичный вопрос про отрезок длины 12, сложенный из отрезков длины 1), что доля граничных кубиков быстро растёт с увеличением размерности. Чуть позже мы увидим тот же эффект ив непрерывной ситуации. Задача 2.5. На рынке продаётся два вида арбузов одинакового диаметра. Первый | по 100 рублей, зато сочень тонкой коркой, а второй по 70 рублей, но 20% его радиуса занимает корка (которую придётся выкинуть. Какие арбузы выгоднее покупать? Рис. Можно, обменявшись неформальными аргументами, провести на занятии голосование кто какой арбуз предпочтёт купить. Мнения разделятся, носко- рее всего, большинство будет за покупку арбуза заруб, аргументируя это тем, что мякоти, вроде, на 20% меньше, а цена меньше на Решение. Для решения этой задачи необязательно знать точную формулу для объёма шара, достаточно понимания того, как объём меняется при изменении линейных размеров (см. задачи и 1.8). Радиус мякоти арбуза второго вида составляет 0;8 от радиуса мякоти арбуза первого вида. Но чтобы узнать, во сколько раз меньше будете объём, нужно 0;8 возвестив куб 8 = 0;64·0;8 = 0;512 | то есть почти половину второго арбуза занимает корка Так что покупать надо, конечно, первый арбуз. Поучительно сравнить, как меняется в такой задаче доля объёма корки, занимающей 20% по радиусу, в зависимости от размерности арбуза. Из таблицы хорошо видно, что доля корки довольно быстро растёт с увеличением размерности. размерность доля корки рисунок 1 − 0;8 = 0;2 2 1 − 0;8 2 = 0;36 3 1 − 0;8 3 ≈ 0;49 4 1 − 0;8 Задача 2.6. Ширина плоского медного кольца при нагревании увеличилась в 1;5 раза. Как изменилась площадь дырки? Ответ: увеличилась в 1;5 2 = 2;25 раза. Задача 2.7. Длина экватора глобуса рав- Рис. нам. а) Каков масштаб глобуса б) Какую площадь на нём имеет Россия (Длина земного экватора равна 40 000 км площадь России | примерно 17 000 000 км 2 .) Ответ: а) 1 : 40 000 000; б) примерно см 14 Здесь важно понимать, что при растяжении враз площади любых фигур, необязательно плоских, меняются в k 2 раз. Задача 2.8. Земной шар стянули об- Рис. 2.8 ручем по экватору. Затем обруч удлинили нам (так, что образовавшийся зазор везде одинаков. Пролезет ли подобру- чем кошка? Ответ: как ни удивительно, пролезет (получается зазор около 16 см). Чтобы разобраться в этой задаче, полезно сначала решить её дискретный ва- риант. Задача 2.9. На кубик размером а) 3 × 3 × 3; б) 100 × 100 × плотно надели бумажный поясок. Зазор какой величины возникнет, если удлинить поясок на 8 (поясок при этом остаётся ква- дратным)? Решение. Проще разобраться в обрат- Рис. ной задаче как меняется длина пояска при увеличении зазора. Если увеличить радиус пояска на 1, то каждая из его сторон увеличится на 2, то есть длина увеличится как раз на 4 · 2 = 8. Значит, и наоборот, если увеличить длину пояска на 8, возникнет зазор в Теперь можно решить и предыдущую задачу. Снова начнём с обратной задачи пусть радиус обруча увеличили с R до R + как изменится его длина Нетрудно видеть, что она увеличится на 2(R + ) − 2R = 2. Значит, при увеличении длины обруча нам возникает зазор в = 1 2 ≈ 0;16 м. Отметим, что в обеих задачах ответ совершенно не зависит от исходных размеров (кубика или земного шара. Это проявление линейности задачи. (Ср. с задачей 2.10.) 15 Дополнительные задачи Задача 2.10. Воздушный шарик (в форме идеального шара) надули так, что его площадь увеличилась на 9%. Как изменился его радиус? Ответ: увеличился враз, то есть примерно на Отметим, что в отличие от задачи 2.8, тона сколько сантиметров увеличился радиус, нельзя определить лишь потому, насколько квадратных сантиметров увеличилась площадь. Задача 2.11. Можно ли вырезать из квадрата со стороной см несколько кружков и приставить их друг к другу так, |