Длина, площадь, объём. 10.Длина площадь объем. ГА. Мерзон, ив. Ященко Длина Площадь Объём Электронное издание

• Название: ГА. Мерзон, ив. Ященко Длина Площадь Объём Электронное издание
• Анкор: Длина, площадь, объём
• Дата: 28.03.2022
• Размер: 3.99 Mb.
• Имя файла: 10.Длина площадь объем.pdf
• Тип: Документы; #420875
• страница: 3 из 3

Задача 0. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. Насколько ещё стирок хватит оставшегося куска?
(На каждую стирку уходит одно и тоже количество мыла.)
Задача 1. Грузчик на складе может поднять упаковку размером × 3 × 3 литровых пакетов молока. Смогут ли три грузчика поднять упаковку 9 × 9 × 9 пакетов?
Задача 2. Детский надувной бассейн имеет высоту 30 см, а его дно представляет собой квадрат со стороной 1 м. Сколько весит такой бассейн с водой?
Задача 3. а) Саша сложил картинку из квадратиков со стороной см (см. рис. слева, а Юра | аналогичную картинку из квадратиков со стороной 4 см. Во сколько раз площадь Сашиной картинки меньше площади Юриной картинки?
б) Кубарик сложен из нескольких деревянных кубиков (см. рис.

в центре. Как изменится его масса, если размеры каждого кубика увеличить в 2 раза?
в) Как изменится масса слона, если увеличить его (по всем размерам) в 2 раза?
Задача 4. а) Какую долю площади квадрата размером 12 × 12 составляют приграничные клетки б) Какую долю объёма куба размером × 12 × 12 составляют приграничные кубики?
Задача 5. б) На рынке продаётся два вида арбузов одинакового диаметра. Первый | по 100 рублей, зато сочень тонкой коркой,

а второй по 70 рублей, но 20% его радиуса занимает корка (которую придётся выкинуть. Какие арбузы выгоднее покупать?
Задача 6. Длина экватора глобуса равна 1 м. а) Каков масштаб глобуса б) Какую площадь на нём имеет Россия (Длина земного экватора равна 40 000 км площадь России | примерно 17 000 000 км

Одно занятие про размерность
Вариант поcложнее

Задача 0. После семи стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. Насколько ещё стирок хватит оставшегося куска?
(На каждую стирку уходит одно и тоже количество мыла.)
Задача 1. Грузчик на складе может поднять упаковку размером × 3 × 3 литровых пакетов молока. Смогут ли три грузчика поднять упаковку 9 × 9 × 9 пакетов?
Задача 2. Детский надувной бассейн имеет высоту 30 см, а его дно представляет собой квадрат со стороной 1 м. Сколько весит такой бассейн с водой?
Задача 3. а) Кубарик сложен из нескольких деревянных кубиков (см. рис.).

Как изменится его масса, если размеры каждого кубика увеличить в 2 раза?
б) Как изменится масса слона, если увеличить его (по всем размерам) в 2 раза?
Задача 4. а) Обозначим площадь круга радиуса 1 через V
2
. Чему равна площадь круга радиуса R? б) Обозначим объём шара радиуса 1 через V
3
. Чему равен объём шара радиуса Задача 5. На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и 5, а на правую один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит (Все шары изготовлены целиком из одного итого же материала.)

Задача 6. а) Какую долю объёма куба размером 12 × 12 × 12 составляют приграничные кубики?
б) На рынке продаётся два вида арбузов одинакового диаметра.
Первый | по 100 рублей, зато сочень тонкой коркой, а второй по рублей, но 20% его радиуса занимает корка (которую придётся выкинуть. Какие арбузы выгоднее покупать?
Задача 7. Длина экватора глобуса равна 1 м. а) Каков масштаб глобуса б) Какую площадь на нём имеет Россия (Длина земного экватора равна 40 000 км площадь России | примерно 17 000 000 км

Дополнительные задачи

Задача 8. Ширина плоского медного кольца при нагревании увеличилась в 1;5 раза. Как изменилась площадь дырки?
Задача 9
∗
: Земной шар стянули обручем по экватору. Затем обруч удлинили нам (так, что образовавшийся зазор везде одинаков).

Пролезет ли под обручем кошка?
Задача 10
∗

: Воздушный шарик (в форме идеального шара) надули так, что его площадь увеличилась на 9%. Как изменился его радиус?
Задача 11
∗
: Можно ли вырезать из квадрата со стороной 10 см несколько кружков и приставить их друг к другу так, чтобы получилась цепочка длиной больше километра?
Задача 12
∗
: На левую чашу весов положили две круглых монеты,
а на правую | ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного итого же материала, все монеты имеют одинаковую толщину

Два занятия про размерность
Первое занятие

Задача 0. После 7 стирок длина, ширина и высота куска мыла уменьшились вдвое. Насколько еще стирок хватит оставшегося куска?
(На каждую стирку уходит одно и тоже количество мыла.)

Задача 1. Квадрат со стороной а) 3 см б) 1 м разрезали на квадраты со стороной 1 см. Сколько квадратиков получилось?
Куб со стороной в) 3 см гм разрезали на кубики со стороной 1 см.

Сколько кубиков получилось?
Задача 2. Грузчик на складе может поднять упаковку размером × 3 × 3 литровых пакетов молока. Смогут ли три грузчика поднять упаковку 9 × 9 × 9 пакетов?
Задача 3. Детский надувной бассейн имеет высоту 30 см, а его дно представляет собой квадрат со стороной 1 м. Сколько весит такой бассейн с водой?
Задача 4. Саша и Юра построили по башне из кубиков.
Обе башни имеют квадратное основание и составлены из одинакового числа кубиков.

а) Сторона основания Юриной башни в четыре раза больше, чем Сашиной. Во сколько раз Сашина башня выше?
б) Сашина башня в четыре раза выше, чем Юрина.

Во сколько разу Юриной башни больше сторона основания?
Задача 5. а) Саша сложил картинку из квадратиков со стороной см (см. рис. слева, а Юра | аналогичную картинку из квадратиков со стороной 4 см. Во сколько раз площадь Сашиной картинки меньше площади Юриной картинки?
б) Кубарик сложен из нескольких деревянных кубиков (см. рис.
справа). Как изменится его масса, если размеры каждого кубика увеличить в 2 раза

Задача 6. Как изменится масса слона, если увеличить его (по всем размерам) в 2 раза (Считать, что слон имеет форму параллелепипеда,

конечно, нельзя) Как изменится площадь слона на фотографии?
Задача 7. а) Обозначим площадь круга радиуса 1 через V
2
. Чему равна площадь круга радиуса R? б) Обозначим объём шара радиуса через V
3
. Чему равен объём шара радиуса Два занятия про размерность
Второе занятие

Задача 0. Чему равна площадь поверхности у куба со стороной а см б) 12 см?
Задача 1. Куб со стороной 1 м разрезали на кубики со стороной см и сложили из них башенку с основанием в один кубик. Какова площадь поверхности получившейся башенки Больше или меньше она площади поверхности исходного куба Во сколько раз?
Задача 2. Куб с ребром 12, сложенный из кубиков с ребром облили белой краской. У скольких из маленьких кубиков оказалась покрашено граней 1 грань 2 грани 3 грани?

Задача 3. а) Какую долю площади квадрата размером 12 × 12 составляют приграничные клетки?
б) Какую долю объёма куба размером 12 × 12 × 12 составляют приграничные кубики?
Задача 4. На рынке продаётся два вида арбузов одинакового диаметра. Первый | по 100 рублей, зато сочень тонкой коркой, а второй по 70 рублей, но 20% его радиуса занимает корка (которую придётся выкинуть. Какие арбузы выгоднее покупать?
Задача 5. Длина экватора глобуса равна 1 м. а) Каков масштаб глобуса б) Какую площадь на нём имеет Россия (Длина земного экватора равна 40 000 км площадь России | примерно 17 000 000 км

Задача 6. На кубик размером а) 3 × 3 × 3; б) 100 × 100 × плотно надели бумажный поясок. Зазор какой величины возникнет,

если удлинить поясок на 8 (поясок при этом остаётся квадратным)?
Задача 7. Земной шар стянули обручем по экватору. Затем обруч удлинили нам (так, что образовавшийся зазор везде одинаков).

Пролезет ли под обручем кошка?
Дополнительные задачи

Задача 8. Какая из кастрюль вместительнее | левая, более широкая, или правая, втрое более высокая, но вдвое более узкая?
Задача 9. На левую чашу весов положили два шара радиусов 3 и а на правую | один шар радиуса 8. Какая из чаш перевесит (Все шары изготовлены целиком из одного итого же материала.)
Задача 10
∗
: На левую чашу весов положили две круглых монеты,
а на правую | ещё одну, так что весы оказались в равновесии. А какая из чаш перевесит, если каждую из монет заменить шаром того же радиуса (Все шары и монеты изготовлены целиком из одного итого же материала, все монеты имеют одинаковую толщину.)
Задача 11. Можно ли вырезать из квадрата со стороной 10 см несколько кружков и приставить их друг к другу так, чтобы получилась цепочка длиной больше километра?

Задача 12. Ширина плоского медного кольца при нагревании увеличилась в 1;5 раза. Как изменилась площадь дырки?
Задача 13. Воздушный шарик (в форме идеального шара) надули так, что его площадь увеличилась на 9%. Как изменился его радиус

Занятие про площади и суммы
Задача 1. а) В какой из фигурок, изображённых на рисунках,
больше квадратиков б) Найдите число этих квадратиков.
Задача 2. Треугольник лежит в прямоугольной коробке, так что одна из его сторон совпадает с дном коробки, а оставшаяся вершина лежит на противоположной стороне коробки (см. рис. справа. Какую часть площади коробки занимает треугольник?
Задача 3. а) Другой треугольник при укладке в коробку перекосило (см. рис. справа. Занимает ли он большую, меньшую, или такую же часть площади коробки, как предыдущий треугольник?
б)
∗
Можно ли положить треугольник площади 10 в прямоугольную коробку площади Задача 4. Площадь равнобедренного прямоугольного треугольника составляет половину площади квадрата со стороной, равной катету. А какова площадь
«пиксельного» (составленного из единичных квадратов) равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом, например, 20 (см. рис. справа)?
Определение. Площадь пиксельного треугольника с катетом n (то есть число 1 + 2 + 3 + : : : + n) называется м треугольным числом и обозначается Задача 5. Найдите T
100
= 1 + 2 + 3 + : : : + Задача 6. Найдите сумму всех двузначных чисел, делящихся на Задача 7. Найдите сумму двух последовательных треугольных чи- сел.
Задача 8. На какую из фигур справа уйдёт больше кубиков

Дополнительные задачи
Задача 9. Докажите теорему сложения треугольных чисел T
n
+ T
m
+ Задача 10. Какую часть кубической коробки может занимать лежащая в ней (неправильная) четырёхугольная пирамида (см. рис. сле- ва)?
Задача 11
∗
: а) В углу комнаты сложили пирамидку высоты см. рис. справа. Сколько на неё ушло кубиков б) Вычислите сумму 2
+ : : : + Задача 12
∗
: Найдите е пирамидальное число | сумму T
1
+ T
2
+
+ : : : + T
n последовательных треугольных чисел.
Задача 13
∗
: Докажите геометрически, что 1+: : :+n
3
= (1+: : :+n)
2 44

Занятие по принципу Кавальери
Задача 0. На какую из пирамидок, изображённых на рисунках,

уйдёт больше кубиков?
Пусть в пространстве имеются два тела, и пусть проведены все плоскости, параллельные данной. Принцип Кавальери утверждает, что если для каждой из плоскостей площадь сечения первого тела равна площади сечения второго тела, то объёмы тел равны.
Задача 1. Сформулируйте аналог принципа Кавальери для плоских фигур.
Задача 2. Докажите принцип Кавальери а) для трапеций, основания которых параллельны направлению сечений б) для выпуклых многоугольников на плоскости.

Задача 3. Объёмную фигуру растянули враз водном из направлений. Как изменился её объём?
Определение. Конусом в этом занятии называется тело, состоящее из плоской фигуры (основания конуса) вместе со всеми отрезками, соединяющими её с некоторой точкой (вершиной конуса) вне плоскости основания.
Задача 4. Пусть площадь основания конуса равна S, а его высота равна h. Найдите площадь сечения этого конуса параллельной основанию плоскостью, проходящей на расстоянии x от вершины.
Задача 5. Докажите, что объём конуса зависит только от его высоты и площади основания (и не зависит от формы основания).
Задача 6. Пусть объём конуса с площадью основания 1 и высотой равен c. Чему равен объём конуса с площадью основания S и высотой Задача 7. Рассмотрев пирамиду с квадратным основанием, найдите Задача 8. Найдите площадь сечения шара радиуса R плоскостью,
проходящей на расстоянии x от центра

Дополнительные задачи
Задача 9
∗
: Докажите, что T
1
+ T
2
+ : : : + T
n
= n · 1 + (n − 1) · 2 +
+ (n − 2) · 3 + : : : + 1 · Задача 10
∗
: Докажите, что объёмы шара и описанного около него многогранника относятся также, как площади их поверхностей.
Задача 11
∗
: а) На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах сетки, стороны которого не идут по линиям сетки.
Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков сетки внутри равна сумме длин горизонтальных отрезков сетки внутри б) Как обобщить утверждение на многоугольники, имеющие стороны, идущие по линиям сетки

Литература. ИВ. Артамкин, А. Л. Городенцев, А. Г. Кулаков, МА. Прохоров, СМ. Хорошкин, А. В. Хохлов. Числа и суммы. // Математическое образование, Ђ 2{3 (9{10), апрель{сентябрь 1999, с. Препринт доступен по адресу http://gorod.bogomolov-lab.ru/ps/scho/ns.ps.gz
2. Я. И. Перельман. Занимательная геометрия. МЛ, ГТТИ,
1950.
В главе 11 обсуждаются задачи на размерность в духе первых двух занятий брошюры. Книга доступна по адресу http://math.ru/lib/book/djvu/perelman/zanim geom.djvu
3. ДБ. Фукс. Можно ли из тетраэдра сделать куб // Квант, Популярно рассказывается про инвариант Дена (причину, по которой в определение объема многогранника необходимо включать принцип Кавальери или эквивалентную ему аксиому. Статья доступна по адресу http://kvant.mccme.ru/1990/11/mozhno li iz tetraedra sdelat.htm
4. ИВ. Ященко. Парадоксы теории множеств. М МЦНМО,
2002.
Можно узнать, почему нельзя определить площадь для всех плоских фигур. Брошюра доступна по адресу http://www.mccme.ru/free-books/mmmf-lectures/book.20.pdf
5. АД. Блинков. Вычисление некоторых конечных сумм. // Математика для школьников, Ђ4, 2008.
47

Оглавление
Предисловие . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Занятие 1. Масштаб и объём . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Занятие 2. Площадь поверхности . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Занятие 3. Площади и суммы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Занятие 4. Принцип Кавальери . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Площадь круга и сферы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Приложение A. Определения площади и объёма . . . . . . . . . . . . . . . Приложение B. Раздаточный материал . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
B.1. Одно занятие про размерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .37
B.2. Два занятия про размерность. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
B.3. Занятие про площади и суммы. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
B.4. Занятие по принципу Кавальери
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 48

Магазин Математическая книга»
Книги издательства МЦНМО можно приобрести в магазине Математическая книга в Москве по адресу Б. Власьевский пер, д. 11; тел. (495) Книга | почтой Книги в электронном виде Мы сотрудничаем с интернет-магазинами
• Книготорговая компания Абрис тел. [phone];
www.umlit.ru, www.textbook.ru, абрис.рф
• Интернет-магазин «Книга.ру»; тел. [phone]; Наши партнеры в Москве и Подмосковье Московский Дом Книги и его филиалы (работает интернет-магазин);
тел. [phone]; www.mdk-arbat.ru
• Магазин Молодая Гвардия (работает интернет-магазин): ул. Б. Полянка, д. тел. [phone]; www.bookmg.ru
• Магазин «Библио-Глобус» (работает интернет-магазин): ул. Мясницкая, д. стр. 1; тел. [phone]; www.biblio-globus.ru
• Спорткомплекс Олимпийский, й этаж, точка 62; тел. [phone]
• Сеть киосков Аргумент в МГУ тел. [phone]; www.arg.ru
• Сеть магазинов Мир школьника (работает интернет-магазин);
тел. [phone];
www.uchebnik.com
• Сеть магазинов Шаг к пятерке тел. [phone];
www.shkolkniga.ru
• Издательская группа URSS, Нахимовский проспект, д. 56, Выставочный зал
«Науку | Всем, тел. [phone], www.urss.ru
• Книжный магазин издательского дома Интеллект в г. Долгопрудный МФТИ
(новый корпус тел. (495) Наши партнеры в Санкт-Петербурге
• Санкт-Петербургский Дом книги Невский пр-т, д. 62; тел. [phone]
• Магазин Мир науки и медицины Литейный пр-т, д. 64; тел. [phone]
• Магазин Новая техническая книга Измайловский пр-т, д. тел. [phone]
• Информационно-книготорговый центр Академическая литература»:
Васильевский остров, Менделеевская линия, д. 5
• Киоск в здании физического факультета СПбГУ в Петергофе;
тел. [phone]
• Издательство Петроглиф Фарфоровская, 18, к. 1; тел. [phone],
[phone]; k i @bk.ru
• Сеть магазинов Учебная литература тел. (812) тел. [phone], тел. [phone] (доб. Наши партнеры в Челябинске Магазин «Библио-Глобус», ул. Молдавская, д. 16, Наши партнеры в Украине Александр Елисаветский. Рассылка книг наложенным платежом по Украине:
тел. [phone]; [e-mail]