Длина, площадь, объём. 10.Длина площадь объем. ГА. Мерзон, ив. Ященко Длина Площадь Объём Электронное издание
 Скачать 3.99 Mb.
|
|
чтобы получилась цепочка длиной больше километра? Решая эту задачу, часто сначала стараются вырезать самый большой круг | то есть круг, вписанный в наш квадрат. Но после этого возникают трудности конечно, можно вырезать из образовавшихся уголков четыре кружка | только они будут совсем маленькими (какой у них диаметр) | и дальше вырезать максимально возможные (пусть и быстро уменьшающиеся) кружки. В этот момент иногда произносят такие слова Так как кружки вырезать можно сколь угодно долго, то и сумма их диаметров может стать сколь угодно большой. Однако достаточно вспомнить про бесконечно убывающую геометрическую прогрессию (например, представить шаги, каждый из которых вдвое меньше предыдущего, чтобы убедиться, что такого соображения для решения задачи недостаточно. Решение. Сначала, разделив стороны исходного квадрата размером 10 × 10 см пополам, разделим исходный квадрат на четыре квадрата с вдвое меньшей стороной 5 см, и вырежем по кругу из каждого из них. Получится 4 круга, каждый диаметром в 5 см, то есть сумма диаметров | 20 см | увеличилась в два раза. А что будет, если делить сторону на 3 части Конечно же квадратиков, каждый со стороной см. А сумма диаметров вписанных в них кружков | 9· 10 3 = 30 см. Аналогично, разделив стороны на 10 частей, мы получим 100 кружков диаметром 1 см, то есть сумма диаметров будет равна как раз одному метру. И вообще, если делить стороны на n частей, то получится n 2 16 квадратиков со стороной, и сумма диаметров вписанных в них кружков равна n 2 · 10 n = 10n, | увеличивая n, можно сделать её сколь угодно большой. части число квадратиков диаметр круга сумма диаметров 1 10 см см 4 5 см см 9 10 3 см см 100 1 см см 10 8 0;01 мм км n n 2 10 n см см Суть решения состоит в том, что при разрезании квадрата на мелкие квадратики сторона каждого из них убывает линейно, а количество квадратиков растёт квадратично. Соответственно, сумма диаметров вписанных в них кружков будет линейно расти с ростом их числа. Поэтому, увеличивая n, можно добиться того, чтобы эта сумма стала больше любого наперёд заданного числа. При этом для выполнения условия задачи (цепочка длиной не меньше км) число частей будет n = 10 и придется разрезать исходный квадрат на 10 маленьких квадратов со стороной см, что, конечно, тяжело осуществить практически Занятие Площади и суммы Как мы уже видели в задаче 1.2, фигуры бывает полезно рассматривать послойно | это позволяет представлять объёмы и плошади клетчатых фигур как некоторые суммы. Этот метод работает в обе стороны иногда, посмотрев на сумму можно что-то понять про площадь (как, например, в задаче а, а иногда наоборот | представив сумму как площадь или объём, её получается вычислить из геометрических соображений (как в задаче или Полезно изготовить обсуждаемые в задачах занятия фигуры (например, можно склеить их из детских кубиков. С такими моделями даже задачу можно предлагать детям любого возраста (в формулировке Сложите из нескольких пирамидок параллелепипед (кирпич)»). Задача 3.1. а) В какой из фигурок, изображённых на рисунках аи б, больше квадратиков б) Найдите число этих квадратиков. Рис. 3.1а Рис. 3.1б Ответ: а) поровну б) Решение. а) В каждой из строк фигур, изображённых на рисунках, квадратиков поровну (1, 3, 5 и т. д. Значит, и всего квадратиков поровну. б) Можно просто просуммировать числа квадратиков по слоям. Но можно решить задачу и более геометрически разрежем вторую из фигур на две части и сложим из них квадрат (см. рис. в) | получается, что фигура состоит из 6 2 = 36 клеток Последнее решение даёт геометрическое доказа- Рис. в тельство того, что 1 + 3 + 5 + : : : + (2n − 1) = Конечно, если такое утверждение уже сформулировано, то его можно (и даже проще) доказать по индукции. Но геометрическое суммирование | это способ непросто доказывать, но и находить подобные формулы | см. также задачу Задача 3.2. Треугольник лежит в прямоугольной коробке, так что одна из его сторон совпадает с дном коробки, а оставшаяся вершина лежит на противоположной стороне коробки (см. риса. Какую часть площади коробки занимает треугольник Рис. 3.2а Рис. 3.2б Ответ: половину. Решение. Разделим мысленно коробку на две части (см. рис. 3.2б). В каждой из них ровно половина занята треугольником. Значит, и во всей коробке ровно половина площади занята тре- угольником. Это рассуждение доказывает, что площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту. Вообще, с этой задачи можно начинать разговор о доказательстве формул для площадей фигур (треугольника, параллелограмма, трапеции) и, при желании, об определении площади (любое вычисление площади основано на разрезании на треугольники и складывании из треугольников прямоугольников. Но основная тема нашего занятия другая. Задача 3.3. а) Другой треугольник при укладке в коробку перекосило (см. риса. Занимает ли он большую, меньшую, или такую же часть площади коробки, как предыдущий треугольник б) ∗ Можно ли положить треугольник площади в прямоугольную коробку площади Для сторон, не прилегающих к тупому углу Ответа) меньшую б) нет. Рис. 3.3а Рис. 3.3б Рис. 3.3в Решение. а) Самая длинная сторона треугольника делит коробку пополам, носам треугольник занимает только часть одной из половин. б) ∗ Треугольник не может занимать больше половины площади прямоугольной коробки. Для доказательства разберём случаи расположения вершин (можно считать, что все они лежат на сторонах прямоугольника | иначе уменьшим коробку либо на одной из сторон лежат две вершины треугольника | этот случай уже разобран в предыдущей задаче и пункте а, либо вершины треугольника лежат натр х сторонах, а точнее, на двух сторонах ив углу (см. рис. б) | в этом случае коробку можно разбить уже натри части, в каждой из которых треугольник занимает не больше половины площади (см. рис. 3.3в). Задача 3.4. Площадь равнобедренно- Рис. а го прямоугольного треугольника составляет половину площади квадрата со стороной, равной катету. А какова площадь «пиксельного» (составленного из единичных квадратов) равнобедренного прямоугольного треугольника с катетом, например (см. рис. 3.4а)? Ответ: 20 · 21 2 = Указание. Попытаемся уложить в квадратную коробку со стороной к первому пиксельному треугольнику ещё один такой же. Сколько клеток не влезет? Решение. Первый способ. Из двух таких пиксельных треугольников нетрудно сложить прямоугольник размера 20 × 21 20 см. рис. б. Соответственно, площадь треугольника в два раза меньше и равна · 21 2 = Второй способ. Посмотрим сначала повнимательнее на настоящий (не пиксельный) треугольник. Он занимает ровно половину площади коробки из-за симметрии часть, им незанятая, в точности симметрична занятой им части. Попытаемся провести тоже рассуждение и для пиксельного треугольника. Если отразить его относительно диагонали, то исходный треугольник будет пересекаться с отражённым (см. рис. 3.4в). Но число клеток в пересечении нетрудно найти все они лежат на диагонали квадрата и их ровно 20 штук. Получаем, что если искомая площадь равна S, то площадь квадрата равна 2 = 2S − 20. То есть S = 20 2 + 20 2 = Рис. 3.4б Рис. 3.4в Второе решение выглядит, быть может, сложнее, но оно основано на более мощной идее, а потому лучше обобщается на вычисление других сумм (см., например, задачу 3.10 ∗ | до обсуждения которой второе решение можно и отложить). Определение. Площадь пиксельного треугольника скате- том n (то есть число 1+2+3+: : :+n) называется м треугольным числом и обозначается Задача 3.5. Найдите сотое треугольное число. Указание. Его можно искать геометрически, пользуясь предыдущей за- дачей. Ответ: 101 · 100 2 = 5050; и вообще, T n = n(n + 1) 2 21 Ясно, что приуменьшении размера пикселя пиксельный треугольник приближается к настоящему. Поучительно проверить, что и его площадь приближается к площади настоящего треугольника. Так можно искать и сумму произвольной арифметической прогрессии: представить её как площадь пиксельной прямоугольной трапеции и сложить из двух одинаковых трапеций прямоугольник (см. рис. Как видим, высота полученного прямоугольника равна высоте трапеции (то есть числу слагаемых, а ширина равна сумме длин оснований трапеции (то есть сумме первого и последнего членов 5 3 Рис. Задача 3.6. Найдите сумму всех двузначных чисел, делящихся на Ответ + 98) · 13 2 = Решение. Нам нужно найти сумму 14 + 21 + : : : + 91 + Это сумма арифметической прогрессии из − 14 7 + 1 = 13 слагаемых, которую, как было объяснено выше, можно вычислять геометрически. Задача 3.7. Найдите сумму двух последовательных треугольных чисел. Указание. Из двух пиксельных треугольников размеров n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n Рис. 3.7 T n и можно сложить квадрат n × Ответ T n + T n−1 = Задача 3.8. На какую из фигур, изображён- ных на рисунках аи б, уйдёт больше кубиков Указание. Разрежьте картинку на слои. Для каждого из них воспользуйтесь задачей 3.1. 22 Рис. 3.8а Рис. 3.8б Задача 3.9. Какую часть кубической коробки занимает лежащая в ней (неправильная) четырёхугольная пирамида, изобра- жённая на рис. 3.9а? Пользоваться известной формулой для объёма пирамиды в этой задаче, конечно, нельзя (зато, как мы увидим в следующем занятии, можно отсюда эту формулу вывести). Указание. Заполните несколькими такими пирамидами коробку до конца. Ответ: 1 Рис. 3.9а Рис. 3.9б Решение. Из трёх таких пирамид можно сложить куб (см. рис. б. Объяснить, как это сделать, можно следующим образом выберем одну из вершин куба и рассмотрим три грани, которые её не содержат. Построим три пирамиды с выбранной вершиной на выбранных гранях, как на основаниях. Эти пирамиды помечены различными цветами. То же разбиение можно записать ив координатах куб 0 6 x 1 ; x 2 ; x 3 6 разбивается на части P i = {(x 1 ; x 2 ; x 3 ) | max(x 1 ; x 2 ; x 3 ) = x i } . Отметим, что такое разбиение непосредственно обобщается на (гипер)куб любой размер- ности. Задача 3.10 ∗ : а) В углу комнаты сложили пирамидку высоты (см. риса. Сколько на неё ушло кубиков б) Вычислите сумму 1 2 + : : : + Указание. Попытайтесь сложить из нескольких таких пирамидок фигуру, объём которой уже известен (вдохновляться можно задачей Ответ + 1)(2n + Решение. Один из способов решить эту задачу | сложить из шести пирамидок из прошлой задачи параллелепипед размером n × (n + 1) × (2n + 1) | в духе первого решения задачи на рисунке а последовательно показаны три этапа складывания половины такого параллелепипеда из трех пирамидок см. также [5]). Недостаток такого подхода состоит в том, что из- за наличия у пирамидок зубцов уже здесь возникает довольно сложная картинка а уж удастся ли таким способом найти сумму хотя бы третьих степеней | неясно. Рис. 3.10а Более правильный метод заключается в Рис. 3.10б Рис. в том, чтобы, сохраняя необходимое | разбиение куба натри одинаковые части, | отбросить несущественное не будем настаивать на том, чтобы части не пересекались. Вместо этого разобьём куб натри пересекающиеся пирамидки, а потом учтём их пересечение (в духе второго решения задачи Итак, куб размером n × n × n разбивается натри пирамидки. Пересечение всех пирамидок состоит из диагонали (см. рис. б) | 24 то есть в нём ровно n кубиков. Попарные пересечения пирамидок представляют собой пиксельные треугольники (см. рис. в) то есть в них по 1 + : : : + n кубиков. Осталось применить формулу включения{исключения: обозначим через S k (n), тогда n 3 = 3S 2 (n) − 3S 1 (n) + вспоминая, что S 1 (n) = n(n + 1) 2 , находим S 2 (n) = n(n + 1)(2n + Дополнительные задачи Задача 3.11 ∗ : Докажите теорему сложения треугольных чисел+ Указание. Сложите равнобедренный прямоуголь- T m T n mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn mn Рис. в ный треугольник с катетом n + m из двух треугольников с катетами n и m и прямоугольника из nm клеток (см. рис. Задача 3.12 ∗ : Попытайтесь, действуя в духе последнего решения задачи 3.10 ∗ , найти последовательно суммы третьих, четвёртых сте- пеней. Ответ: S 3 (n) = n(n + 1) 2 2 ; S 4 (n) = n(n + 1)(2n + 1)(3n 2 + 3n − Геометрическое доказательство того, что S 3 (n) = S 1 (n) 2 , можно найти в статье Отметим, что S 4 (n) уже не раскладывается на линейные множители. Так что найти эту сумму складывая (гипер)параллелепипед из (ги- пер)пирамидок», вероятно, нельзя. Задача 3.13 ∗ : Найдите е пирамидальное число | сумму T 1 + + T 2 + : : : + T n последовательных треугольных чисел. Указание. Сложите параллелепипед из пирамидок типа тех, что фигурируют в задаче Ответ + 1)(n + 2) 6 25 Занятие Принцип Кавальери Задача 4.1. На какую из пирамидок, изображённых на рисунках, уйдёт больше кубиков? Рис. 4.1а Рис. 4.1б Решение. Посмотрим на вертикальные слои. Каждый из них представляет собой треугольник из кубиков и соответствующие слои в пирамидах совпадают (с точностью до сдвига. Значит, на каждую из пирамидок уйдёт одно и тоже число кубиков. Решение этой задачи основывается наигравшей ключевую роль в предыдущем занятии идее послойного рассмотрения объёмной картинки. Оставшаяся часть занятия посвящена применению той же идеи, но уже не в дискретной, а в непрерывной ситуации. Задача 4.2 ∗ : Докажите, что T 1 +T 2 +: : :+T n = n·1+(n−1)× × 2 + (n − 2) · 3 + : : : + 1 · Указание. Воспользуйтесь разрезанием на горизонтальные слои картинок из предыдущей задачи. Пусть в пространстве имеются два тела, и пусть проведены все плоскости, параллельные данной. Принцип Кавальери утверждает, что если для каждой из плоскостей площадь сечения первого тела равна площади сечения второго тела, то объёмы тел равны Рис. Можно это утверждение обобщить если соответствующие площади сечений двух фигур отличаются враз, то и объёмы тел отличаются в k раз. Задача 4.3. Сформулируйте аналог принципа Кавальери для плоских фигур. Решение. Пусть на плоскости имеются две фигуры, и пусть проведены все прямые, параллельные данной. Тогда если каждая из прямых пересекает фигуры по равным отрезкам, то площади фигур равны (см. рис. Рис. Задача 4.4. Докажите принцип Кавальери а) для трапеций, основания которых параллельны направлению сечений б) для выпуклых многоугольников на плоскости. Решение. а) Это утверждение непосредственно следует из формулы для площади трапеции. б) Пусть соответствующие сечения многоугольников M и прямыми, параллельными прямой l, равны. Проведём прямые параллельные l через каждую из вершин M и N (см. рис. Тогда каждый из этих многоугольников распадётся на трапеции (в обобщённом смысле часть этих трапеций может оказаться параллелограммами или даже треугольниками. Площади соответствующих трапеций равны по предыдущему пункту. Значит, равны и площади многоугольни- ков. Аналогичные рассуждения показывают, что если длины соответствую- Рис. 4.4 щих сечений двух многоугольников прямыми, параллельными данной, отличаются враз, то и площади этих многоугольников отличаются в k раз. Задача 4.5. Объёмную фигуру растянули враз водном из направлений. Как изменился её объём? Ответ: увеличился в k раз. При желании, этот факт можно не выводить из принципа Кавальери, а считать очевидным. Решение. Формально вывести этот ответ из принципа Кава- льери можно следующим образом. Выберем какую-нибудь плоскость, параллельную нашему направлению. Тогда сечения старой и новой фигур, параллельные , отличаются растяжением враз. Значит, и их площади отличаются враз (см. комментарий к предыдущей задаче. Значит, и объёмы старой и новой фигуры отличаются в k раз. Отсюда можно вывести и принятый нами ранее на веру ответ в задаче чтобы увеличить слона враз по всем размерам, можно сделать растяжение последовательно по каждой из трех осей координат при каждом из них объём увеличивается враз, значит, всего объём увеличится в k 3 раз. Определение. Конусом в этом Рис. а занятии называется тело, состоящее из плоской фигуры (основания конуса) вместе со всеми отрезками, соединяющими её с некоторой точкой (вершиной конуса) вне плоскости основания Например, обычный (прямой кру- Рис. б говой») конус | это конус над кругом (с вершиной, лежащей над центром круга, его поверхность | это конус над окружностью, а пирамида | это тоже самое, что конус над многоугольником. Задача 4.6. Пусть площадь основания конуса равна а его высота равна h. Найдите площадь сечения этого конуса параллельной основанию плоскостью, проходящей на расстоянии x от вершины. Рис. Решение. Заметим, что это сечение представляет собой основание, уменьшенное враз. Поэтому искомая площадь равна Задача 4.7. Докажите, что объём конуса зависит только от его высоты и площади основания (и не зависит от формы основания). Задача 4.8. а) Пусть объём конуса с площадью основания и высотой 1 равен c. Чему равен объём конуса с площадью основания и высотой h? б) Чему равно c? 29 Указание. б) Удобно взять в качестве конуса пирамиду с квадратным основанием. Ответ: а) chS; б) c = 1 3 . Таким образом, объём конуса есть Решение. б) См. задачу Задача 4.9. Найдите площадь Рис. сечения шара радиуса R плоскостью, проходящей на расстоянии x от центра (см. рис. Ответ Задача 4.10. Найдите объём шара радиуса Указание. Пользуясь принципом Кавальери, представьте этот объём как разность объёмов двух тел. Решение. Рассмотрим полушарие (см. рис. 4.10). Как видно из предыдущей задачи, площадь любого его сечения является разностью двух площадей и x 2 | то есть площадей соответствующих сечений цилиндра и конуса. Но тогда (по принципу Кавальери) и объём полушария есть разность объёма цилиндра (с радиусом основания R и высотой R) и конуса (с такими же основанием и высотой. Таким образом, объём шара радиуса есть 2(R 3 − 1 3 R 3 ) = 4 Рис. Это вычисление объёма шара принадлежит Архимеду. Сейчас объём шара обычно вычисляют при помощи интегрирования | впрочем, по сути вычисление получается тоже самое Задача 4.11. а) На клетчатой бумаге нарисован многоугольник с вершинами в узлах сетки, стороны которого не идут по линиям сетки. Докажите, что сумма длин вертикальных отрезков сетки внутри M равна сумме длин горизонтальных отрезков сетки внутри б) Как обобщить утверждение на многоугольники, имеющие стороны, идущие по линиям сетки? Указание. Каждая из сумм равна площади многоугольника. Сравните с задачей Решение. а) Разрежем M по горизонталь- Рис. 4.11 ным линиям сетки. Получится несколько треугольников, трапеций и, возможно, параллелограммов. Площадь каждой из этих фигур равна полусумме двух горизонтальных отрезков сетки, которые её ограничивают (если фигуру ограничивает один отрезок, то второе число считаем нулевым. Суммируя эти площади и замечая, что каждый отрезок входит в сумму ровно два раза (какую-то фигуру он ограничивает сверху, а какую-то | снизу, получаем утверждение указания. б) Из решения предыдущего пункта видно, что стороны, идущие по линиям сетки, нужно учитывать с весом 2 . Получается следующее утверждение. Для произвольного многоугольника на клетчатой бумаге с вершинами в узлах сетки сумма горизонтальных отрезков сетки внутри плюс половина суммы горизонтальных сторон равна сумме вертикальных отрезков сетки внутри плюс половина суммы вертикальных сторон (и равна площади много- угольника). Формулировка из пункта б) проясняет и решение пункта а нетрудно понять, что если утверждение из указания выполнено для двух многоугольников, не имеющих внутренних точек, то оно выполнено и для их объединения; остается заметить, что любой многоугольник можно разрезать на маленькие трапеции и треугольники (со сторонами, идущими по линиям сетки, для которых утверждение задачи очевидно Дополнение площади круга и сферы Научившись вычислять объёмы конусов и найдя объём шара, можно разобраться ив том, почему площадь круга равна а площадь сферы Сначала только необходимо разобраться, в чем же состоит Рис. вопрос мы уже видели в задаче 1.8, что площадь круга есть (константа) · R 2 ; константа эта, как нетрудно подсчитать, приблизительно равна 3;14 | так, наверное, нужно просто назвать эту константу и дело с концом. Дело тут в том, что имеется другое определение числа : по тем же соображениям размерности длина окружности есть (константа, и определяется как половина этой константы. Если угодно, то, что эти два определения дают одно и тоже число, мы и хотим доказать. Чтобы связать длину окружности и площадь круга, будем думать округе как о составленном из множества концентрических окружностей. Представим себе, что каждая из этих окружностей представляет собой упругую струну. Если мы теперь разрежем наш круг по радиусу (см. рис. то каждая струна распрямится. Что же за фигура при этом получится из нашего круга? Так как длина струны, отстоящей от центра на расстояние равна 2x, получится прямоугольный треугольник с катетами и 2R. Площадь этого треугольника | а значит, и окружности радиуса R | есть · R 2 = R 2 , что и требовалось. Такая редукция вычисления площади шара к вычислению площади треугольника напоминает вычисление объёма конуса в занятии выше. Можно сказать, что мы смотрим на круг как на конус над окружностью (и, соответственно, можно переписать это рассуждение слегка по-другому | в духе вычисления площади сферы ниже Заметим ещё, что теперь нетрудно найти и площадь произвольного эллипса. Действительно, эллипс с полуосями a и b представляет собой окружность, растянутую враз по горизонтали ив раз по вертикали. Так как при растяжении враз водном направлении площадь меняется враз, площадь эллипса равна Площадь сферы тоже можно найти, рассмо- Рис. 4.13 трев шар как конус над ней разрежем шар на тонкие клинья с вершинами в центре (см. рис. Каждый клин можно считать конусом, поэтому их суммарный объём V | то есть объём шара есть 3 SR, где S | сумма площадей оснований клиньев | то есть площадь сферы. Подставляя найденный в задаче 4.10 ответ, получаем 1 3 SR = 4 3 R 3 , то есть S = Можно заметить, что площадь сферы в точности равна про- Рис. 4.14 изведению длины большой окружности на диаметр сферы. Это неслучайно можно показать, что осевая проекция сферы на (касающийся е) цилиндр сохраняет площади факт, отлично известный в картографии (см. рис. Задача 4.12 ∗ : Докажите, что объёмы шара и описанного около него многогранника относятся также, как площади их поверхностей. Указание. Отношение объёма и площади поверхности и для шара и для описанного многогранника равно R3. 33 Приложение Определение площади и объёма Вычисление площади любой фигуры основывается на том, что её можно разрезать на части и сложить площади получившихся фигур (см, например, доказательство формулы площади треугольника в задаче 3.2). На этой идее и основывается аксиоматическое определение площади. Площадь можно определить, как функцию S на множестве (плоских) многоугольников, обладающую следующими естественными свойствами (аксиомами площади) S сохраняется при движениях) S сильно аддитивна если у многоугольников T и нет общих внутренних точек, то S(T ∪ T 0 ) = S(T ) + S(T 0 ); 3) прямоугольника со сторонами a; b) = Можно доказать (разрезая произвольный многоугольник на треугольники, что эти свойства определяют функцию S одно- значно. Если при определении площади не хочется ограничиваться многоугольниками, то стоит ещё добавить аксиому неотрица- тельности площади | чтобы можно было вычислять площадь, оценивая её снизу и сверху многоугольниками содержащимися внутри фигуры и содержащими е. Кроме того, необходимо выбрать класс фигур, для которого определяется площадь | дело в том, что функций с перечисленным выше свойствами, опреде- лённых на всех фигурах (множествах точек, не существует (см., например, брошюру [4]; впрочем, для фигур, ограниченных разумными кривыми, никаких проблем такого рода не возникает Мы видели, что для вычисления объёма нам потребовался ещё принцип Кавальери. Это находит отражение ив определении объёма. Объём можно определить как функцию V на множестве многогранников, удовлетворяющую следующим аксиомам) V сохраняется при движениях) V удовлетворяет принципу Кавальери; 2) если внутренности многогранников P и не пересекаются, то V (P ∪ P 0 ) = V (P ) + V (P 0 ); 3) V (прямоугольного параллелепипеда со сторонами a; b; c) = = Отметим, что если для многоугольников аналог аксиомы 1 следует из аксиом 1 и 2, то для пространственных фигур аксиома из аксиом 1{3 никак не следует. Поэтому её необходимо включить в определение | иначе, как это ни удивительно, кроме настоящего объёма определению будут удовлетворять и другие функции (возникающие из инварианта Дена | см., например, статью [3]). 35 Приложение Раздаточный материал Одно занятие про размерность Вариант попроще |