Оля. Генеральная и выборочная совокупности
 Скачать 214.12 Kb.
|
СодержаниеГенеральная и выборочная совокупности 3 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка 4 Способы отбора 5 Статистическое распределение выборки 7 Эмпирическая функция распределения 8 Полигон и гистограмма 10 Список используемой литературы 10 Генеральная и выборочная совокупности Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности: Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности  , а объем выборки  . [1]Замечание. Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводом, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки. [3] Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен, либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным, выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором. Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает. [2] Способы отбора На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения  объектов из генеральной совокупности объема  поступают так: выписывают номера от 1 до на карточках, которые тщательно перемешивают, и наугад вынимают одну карточку; объект, имеющий одинаковый номер с извлеченной карточкой, подвергают обследованию; затем карточку возвращают в пачку и процесс повторяют, то есть карточки перемешивают, наугад вынимают одну из них и так далее. Так поступают раз; в итоге получают простую случайную выборку объема .Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того, что отобрать, например 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число , то такое случайное число пропускают. При осуществлении бесповторной выборки, случайные числа таблицы, уже встречавшиеся ранее, следует также пропустить. [4]Типическим называется отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен. Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, что отбирают каждую двадцатую деталь, и так далее. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных. Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно. Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбирают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем, простым случайным отбором, выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии, простым случайным отбором, извлекают отдельные объекты.[4] Статистическое распределение выборки Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем  наблюдалось  раз,  –  раз,  –  раз и  – объем выборки. Наблюдаемые значения  называют вариантами, а последовательность вариант, записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом. Числа наблюдений называют частотами, а их отношения к объему выборки  – относительными частотами.Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалом и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.[5] Пример. Задано распределение частот выборки объема  :
Написать распределение относительных частот. Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки:  ,  ,  .Напишем распределение относительных частот:
Проверка:  . [6]Эмпирическая функция распределения Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака  . Введем обозначения:  – число наблюдений, при которых наблюдалось значение признака, меньшее  ; – общее число наблюдений (объем выборки). Ясно, что относительная частота события  равна  . Если изменяется, то, вообще говоря, изменяется и относительная частота, то есть относительная частота есть функция от . Так как эта функция находится эмпирическим (опытным) путем, то ее называют эмпирической.Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию  , определяющую для каждого значения относительную частоту события . [3]Итак, по определению,  ,где – число вариант, меньших ; – объем выборки.Таким образом, для того, чтобы найти, например,  , надо число вариант, меньших , разделить на объем выборки: .В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения  генеральной совокупности, называют теоретической функцией распределения. Различие между эмпирической и теоретической функциями состоит в том, что теоретическая функция определяет вероятность события , а эмпирическая функция определяет относительную частоту этого же события. Из теоремы Бернулли следует, что относительная частота события , то есть , стремится по вероятности, к вероятности этого события. Другими словами, при больших , числа и мало отличаются одно от другого, в том смысле, что  ,  . Уже отсюда следует целесообразность использования эмпирической функции распределения выборки для приближенного представления теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности. [3]Такое заключение подтверждается и тем, что обладает всеми свойствами . Действительно, из определения функции вытекают следующие свойства:
Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
Решение. Найдем объем выборки:  . Наименьшая варианта равна 2, следовательно,  при  . Значение  , а именно  , наблюдалось 12 раз, следовательно,  , при  .Значения  , а именно и  , наблюдались  раз, следовательно  , при  .Так как  – наибольшая варианта, то  при  .Искомая эмпирическая функция:   [6]Полигон и гистограмма Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмма. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки  . Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси координат – соответствующие им частоты  . Точки  соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки  . Для построения полигона относительных частот на оси абсцисс откладывают варианты , а на оси ординат – соответствующие им относительные частоты  . Точки  соединяют отрезками прямы и получают полигон относительных частот. [7] Пример.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной  и находят для каждого частичного интервала – сумму частот вариант, попавших в  -ый интервал.Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению  (плотность частоты).Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии .Площадь -го частичного прямоугольника равна  – сумме частот вариант интервала; следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, то есть объему выборки.Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною , а высоты равны отношению  (плотность относительной частоты).Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервала, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии . Площадь -го частичного прямоугольника равна  – относительной частоте вариант, попавших в -й интервал. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равна сумме всех относительных частот, то есть единице.Пример. Гистограмма объема :
 [6]Список используемой литературы
Министерство науки и образования РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Институт педагогики, психологии и социальных технологий КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине Математические методы в психологии на тему: Генеральная совокупность и выборка Выполнил: студент группы 3СБ-030300-41(К) Шеметова О.С Проверил: Сидоров К.В Фефилов А.В Ижевск 2014 |
;
; если 
при 
.
