Оля. Генеральная и выборочная совокупности
![]()
|
СодержаниеГенеральная и выборочная совокупности 3 Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка 4 Способы отбора 5 Статистическое распределение выборки 7 Эмпирическая функция распределения 8 Полигон и гистограмма 10 Список используемой литературы 10 Генеральная и выборочная совокупности Пусть требуется изучить совокупность однородных объектов относительно некоторого качественного или количественного признака, характеризующего эти объекты. Например, если имеется партия деталей, то качественным признаком может служить стандартность детали, а количественным – контролируемый размер детали. Иногда проводят сплошное обследование, то есть обследуют каждый из объектов совокупности относительно признака, которым интересуются. На практике, однако, сплошное обследование применяют сравнительно редко. Например, если совокупность содержит очень большое число объектов, то провести сплошное обследование физически невозможно. Если обследование объекта связано с его уничтожением или требует больших материальных затрат, то проводить сплошное обследование практически не имеет смысла. В таких случаях случайно отбирают из всей совокупности ограниченное число объектов и подвергают их изучению. Различают генеральную и выборочную совокупности: Выборочной совокупностью или просто выборкой называют совокупность случайно отобранных объектов. Генеральной совокупностью называют совокупность объектов, из которых производится выборка. Объемом совокупности (выборочной или генеральной) называют число объектов этой совокупности. Например, если из 1000 деталей отобрано для обследования 100 деталей, то объем генеральной совокупности ![]() ![]() Замечание. Часто генеральная совокупность содержит конечное число объектов. Однако, если это число достаточно велико, то иногда в целях упрощения вычислений, или для облегчения теоретических выводом, допускают, что генеральная совокупность состоит из бесчисленного множества объектов. Такое допущение оправдывается тем, что увеличение объема генеральной совокупности (достаточно большого объема) практически не сказывается на результатах обработки данных выборки. [3] Повторная и бесповторная выборки. Репрезентативная выборка При составлении выборки можно поступать двумя способами: после того как объект отобран и над ним произведено наблюдение, он может быть возвращен, либо не возвращен в генеральную совокупность. В соответствии со сказанным, выборки подразделяют на повторные и бесповторные. Повторной называют выборку, при которой отобранный объект (перед отбором следующего) возвращается в генеральную совокупность. Бесповторной называют выборку, при которой отобранный объект в генеральную совокупность не возвращается. На практике обычно пользуются бесповторным случайным отбором. Для того, чтобы по данным выборки можно было достаточно уверенно судить об интересующем признаке генеральной совокупности, необходимо, чтобы объекты выборки правильно его представляли. Другими словами, выборка должна правильно представлять пропорции генеральной совокупности. Это требование коротко формулируют так: выборка должна быть репрезентативной (представительной). В силу закона больших чисел можно утверждать, что выборка будет репрезентативной, если ее осуществить случайно: каждый объект выборки отобран случайно из генеральной совокупности, если все объекты имеют одинаковую вероятность попасть в выборку. Если объем генеральной совокупности достаточно велик, а выборка составляет лишь незначительную часть этой совокупности, то различие между повторной и бесповторной выборками стирается; в предельном случае, когда рассматривается бесконечная генеральная совокупность, а выборка имеет конечный объем, это различие исчезает. [2] Способы отбора На практике применяются различные способы отбора. Принципиально эти способы можно подразделить на два вида:
Простым случайным называют такой отбор, при котором объекты извлекают по одному из всей генеральной совокупности. Осуществить простой отбор можно различными способами. Например, для извлечения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Если извлеченные карточки не возвращать в пачку, то выборка является простой случайной бесповторной. При большом объеме генеральной совокупности описанный процесс оказывается очень трудоемким. В этом случае пользуются готовыми таблицами «случайных чисел», в которых числа расположены в случайном порядке. Для того, что отобрать, например 50 объектов из пронумерованной генеральной совокупности, открывают любую страницу таблицы случайных чисел и выписывают подряд 50 чисел; в выборку попадают те объекты, номера которых совпадают с выписанными случайными числами. Если бы оказалось, что случайное число таблицы превышает число ![]() Типическим называется отбор, при котором объекты отбираются не из всей генеральной совокупности, а из каждой ее «типической» части. Например, если детали изготовляют на нескольких станках, то отбор производят не из всей совокупности деталей, произведенных всеми станками, а из продукции каждого станка в отдельности. Типическим отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак заметно колеблется в различных типических частях генеральной совокупности. Например, если продукция изготовляется на нескольких машинах, среди которых есть более и менее изношенные, то здесь типический отбор целесообразен. Механическим называют отбор, при котором генеральную совокупность «механически» делят на столько групп, сколько объектов должно войти в выборку, а из каждой группы отбирают один объект. Например, если нужно отобрать 20% изготовленных станком деталей, то отбирают каждую пятую деталь; если требуется отобрать 5% деталей, что отбирают каждую двадцатую деталь, и так далее. Следует указать, что иногда механический отбор может не обеспечить репрезентативности выборки. Например, если отбирают каждый двадцатый обтачиваемый валик, причем сразу же после отбора производят замену резца, то отобранными окажутся все валики, обточенные затупленными резцами. В таком случае следует устранить совпадение ритма отбора с ритмом замены резца, для чего надо отбирать, скажем, каждый десятый валик из двадцати обточенных. Серийным называют отбор, при котором объекты отбирают из генеральной совокупности не по одному, а «сериями», которые подвергаются сплошному обследованию. Например, если изделия изготовляются большой группой станков-автоматов, то подвергают сплошному обследованию продукцию только нескольких станков. Серийным отбором пользуются тогда, когда обследуемый признак колеблется в различных сериях незначительно. Подчеркнем, что на практике часто применяется комбинированный отбор, при котором сочетаются указанные выше способы. Например, иногда разбирают генеральную совокупность на серии одинакового объема, затем, простым случайным отбором, выбирают несколько серий и, наконец, из каждой серии, простым случайным отбором, извлекают отдельные объекты.[4] Статистическое распределение выборки Пусть из генеральной совокупности извлечена выборка, причем ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Статистическим распределением выборки называют перечень вариант и соответствующих им частот или относительных частот. Статистическое распределение можно задать также в виде последовательности интервалом и соответствующих им частот (в качестве частоты, соответствующей интервалу, принимают сумму частот, попавших в этот интервал). Заметим, что в теории вероятностей под распределением понимают соответствие между возможными значениями случайной величины и их вероятностями, а в математической статистике – соответствие между наблюдаемыми вариантами и их частотами, или относительными частотами.[5] Пример. Задано распределение частот выборки объема ![]()
Написать распределение относительных частот. Решение. Найдем относительные частоты, для чего разделим частоты на объем выборки: ![]() ![]() ![]() Напишем распределение относительных частот:
Проверка: ![]() Эмпирическая функция распределения Пусть известно статистическое распределение частот количественного признака ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию ![]() ![]() ![]() Итак, по определению, ![]() где ![]() ![]() ![]() Таким образом, для того, чтобы найти, например, ![]() ![]() ![]() В отличие от эмпирической функции распределения выборки, функцию распределения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Такое заключение подтверждается и тем, что ![]() ![]() ![]()
Итак, эмпирическая функция распределения выборки служит для оценки теоретической функции распределения генеральной совокупности. Пример. Построить эмпирическую функцию по данному распределению выборки:
Решение. Найдем объем выборки: ![]() ![]() ![]() Значение ![]() ![]() ![]() ![]() Значения ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Так как ![]() ![]() ![]() Искомая эмпирическая функция: ![]() ![]() Полигон и гистограмма Для наглядности строят различные графики статистического распределения и, в частности, полигон и гистограмма. Полигоном частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ![]() ![]() ![]() ![]() Полигоном относительных частот называют ломаную, отрезки которой соединяют точки ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Пример.
В случае непрерывного признака целесообразно строить гистограмму, для чего интервал, в котором заключены все наблюдаемые значения признака, разбивают на несколько частичных интервалов длиной ![]() ![]() ![]() Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною ![]() ![]() Для построения гистограммы частот на оси абсцисс откладывают частичные интервалы, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ![]() Площадь ![]() ![]() ![]() Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною ![]() ![]() Для построения гистограммы относительных частот на оси абсцисс откладывают частичные интервала, а над ними проводят отрезки, параллельные оси абсцисс на расстоянии ![]() ![]() ![]() ![]() Пример. Гистограмма объема ![]()
![]() Список используемой литературы
Министерство науки и образования РФ ФГБОУ ВПО «Удмуртский государственный университет» Институт педагогики, психологии и социальных технологий КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА по дисциплине Математические методы в психологии на тему: Генеральная совокупность и выборка Выполнил: студент группы 3СБ-030300-41(К) Шеметова О.С Проверил: Сидоров К.В Фефилов А.В Ижевск 2014 |