КондратьєваПотрійні. геометричні та механічні застосування потрійного інтеграла
 Скачать 1.15 Mb.
|
|
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ ПЕДАГОГІЧНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ Г.С. СКОВОРОДИ ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИЙ ФАКУЛЬТЕТ КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ КУРСОВА РОБОТА На тему: «ГЕОМЕТРИЧНІ ТА МЕХАНІЧНІ ЗАСТОСУВАННЯ ПОТРІЙНОГО ІНТЕГРАЛА» Підготувала Студентка 3-го курсу Групи 3МФ Кондратьєва Тетяна Науковий керівник: доц. Долгова О.Є. ЗМІСТ ВСТУП РОЗДІЛ I. Потрійні інтеграли
РОЗДІЛ II. Практичне застосування
ВИСНОВКИ ЛІТЕРАТУРА ВСТУП Витоки інтегрування простежуються ще в давньому Єгипті, приблизно у 1800 до н.е. Першим відомим методом для розрахунку інтегралів є метод вичерпання Евдокса (приблизно 370 до н. е.), який намагався знайти площі і об'єми, розриваючи їх на нескінченну безліч частин, для яких площа або об'єм вже відомий. Значний прогрес у обчисленні інтегралів відбувається в XVI столітті. У роботах Кавальєрі з його методом неподільних, а також у роботах Ферма, були закладені основи сучасного інтегрального числення. Подальші кроки були зроблені на початку XVII століття Барроу і Торрічеллі, які вказали на зв'язок між інтегруванням і диференціюванням. Голландський механік, математик і фізик Х. Гюйгенс (1629-1695), у зв’язку з винайденим ним маятниковим годинником, ввів поняття моменту інерції тіла. Сам термін “момент інерції” запропонував Л. Ейлер (1707-1783). Поняття інтеграла та інтегральне числення виникли з потреби обчислювати площі (квадратуру) будь-яких фігур і об’єму (кубатуру) довільних тіл. Саме для обчислення об’єму тіла використовується потрійний інтеграл. Потрійний інтеграл є узагальненням подвійного інтеграла на випадок просторової області. До потрійного інтегралу приводить багато задач механіки та геометрії. До таких задач відносяться: знаходження статичних моментів тіла відносно координатних площин, знаходження координат центру маси тіла, моментів інерції тіла, обчислення об’ємів тіл. Геометричний зміст потрійного інтеграла реалізується за рахунок обчислення об’єму фігур, а також за рахунок представлення об’єму тіла за допомогою поверхневих інтегралів, що, в свою чергу, застосовується для обчислення потоку векторного поля. Мета курсової роботи: розглянути практичне застосування потрійного інтегралу у геометрії та механіці. У ході курсової роботи ми маємо виконати такі завдання:
РОЗДІЛ I. Потрійні інтеграли
В.А. Зорич дає більш загальне поняття інтегралів для будь-якої розмірності. Щоб підкреслити, що мова йде про інтеграл по багатовимірному простору І, кажуть, що це кратний інтеграл (маючи на увазі – подвійний, потрійний і т.д. у відповідності з розмірністю І). Розглянемо узагальнене визначення інтегралу для будь-якої розмірності. Проміжок в Rn і його міра. Означення 1. Множина І =  називається проміжком або координатним паралелепіпедом в  . Іноді, якщо треба відмітити проміжок точками   , то його часто позначають символом  . Означення 2. Проміжку  ставиться у відповідність число  , яке називається об’ємом або мірою проміжка. Об’єм(міру) проміжка І позначають символами  Лема 1. Міра проміжка в а) однорідна, тобто якщо  б) адитивна, тобто якщо проміжки І, І1, … ІK такі, що  і проміжки І1,…, Іk попарно не мають спільних внутрішніх точок, тоді  в) якщо проміжок І покритий скінченною системою проміжків  , тобто  , то  Розбиття проміжка і база в множині розбиттів. Нехай задано проміжок . Розбиття координатних відрізків  індукують розбиття проміжка І на більш менші проміжки, які отримуються прямим добутком проміжків розбиття вказаних координатних відрізків.Означення 3. Описане задання проміжка I( у вигляді об’єднання  більш маленьких проміжків  ) будемо називати розбиттям проміжка І і позначати символом Р. Означення 4. Величина  (максимальна з діаметрів проміжків розбиття Р) називається параметром розбиття Р.Означення 5. Якщо в кожному проміжку розбиття Р зафіксована деяка точка  , то кажуть, що є розбиття з відміченими точками.Набір  будемо позначати одним символом  , а розбиття з відміченими точками – символом  .В множині  розбиттям з відміченими точками проміжка І вводиться база  , елементи  якої визначаються відношенням  Те, що  – дійсно база, випливає із існування розбиттів с параметром  , як завгодно близьким до нуля.Інтегральна сума і інтеграл. Нехай f: I  функція на проміжку І, а Р =  – розбиття цього проміжка з відміченими точками  .Означення 6. Сума  називається інтегральною сумою Рімана функції  , яка відповідає розбиттю з відміченими точками проміжка І.Означення 7. Величина  якщо вказана границя існує, називається інтегралом (Рімана) від функції на проміжку І.Ми бачимо, що дане визначення і взагалі увесь процес побудови інтеграла на проміжку  слово в слово повторює вже знайому нам процедуру визначення інтеграла Рімана на відрізку. Для більшої схожості ми навіть залишили колишній вид  підінтегрального виразу. Рівносильні, але більш розгорнуті позначення інтеграла такі:  Щоб підкреслити, що мова йде про інтеграл на багатовимірній області І, кажуть, що це кратний інтеграл (подвійний, потрійний і т.д. у відповідністю з розмірністю І. Більш детальне визначення дав М.О. Давидов. Нехай функція u=f(x,y,z) визначена в замиканні кубовної відкритої множини G. Скінченну систему  відкритих кубовних множин  (k =1, 2, ..., m) 1)  ;2) попарно без спільних точок;3)   =  Тут натуральне число m може бути яким завгодно, але обов’язково скінченним. Прикладом (Т) – розбиття кубовної відкритої множини  може бути сукупність всіляких перерізів даної множини з відкритими паралелепіпедами  , які дістають при розбитті простору  площинами, паралельними площинам координат. Якщо паралелепіпед повність міститься в G, то – відкрита кубовна множина. Якщо ж не повністю складається з точок множини G, але містить принаймні одну точку з G, то переріз кубовний, оскільки межа цієї множини складається з частин межі прямокутного паралелепіпеда і частин межі множини G. Але межі цих двох множин мають міру нуль, тому частини їхніх меж також мають міру нуль і , отже, множина кубовна. Вона, будучи перерізом двох відкритих множин, є множиною відкритою. Сукупність всіляких непорожніх перерізів даної кубовної відкритої множини G з відкритими прямокутними паралелепіпедами утворює (Т) – розбиття множини G.Візьмемо (Т) – розбиття множини G = . В кожній множині (k = 1, 2, . . . , m) візьмемо по одній точці  і складемо суму де mes – об’єм кубовної відкритої множини . Сума (1) називається потрійною інтегральною сумою Рімана, складеної для функції u = f(x,y,z), даного (Т)-розбиття множини G і даного вибору точок (k = 1, 2, . . . , m). Позначаючи через  =  , де  – діаметр множини .Число І називається границею інтегральних сум (1) при → 0, якщо для будь-якого числа  існує число  таке, що|  | <  для будь-якого (Т) – розбиття множини G і будь-якого вибору точок (k = 1, 2, . . . , m), для якого  .Якщо при → 0 інтегральні суми (1) мають границю I, то її називають потрійним інтегралом Рімана від функції f(x,y,z) по кубовній множині G (або по ) і позначають У цих позначеннях замість G пишуть також множину  Множину G (а також  називають областю інтегрування.Якщо границя (2) існує, тобто якщо існує потрійний інтеграл від функції f(x,y,z) по кубовній відкритій множині G, то функція f(x,y,z) називається інтегровною за Ріманом на множині G ( на множині . Лема. Нехай G – відкрита квадровна ( кубовна) множина,  — (T)-розбиття множини G. Якщо  —множини , замикання яких перерізають з E, то Доведення. Задамо число , тоді для числа  Система замкнених прямокутників  (замкнених прямокутних паралелепіпедів ) (k = 1, 2, …, p), які покривають множину Е, і така, що  Позначимо  =  На межі площини можуть бути точки множини Е. Кожний прямокутник ( прямокутний паралелепіпед) візьмемо всередину прямокутника  (прямокутного паралелепіпеда), причому Розглянемо замкнену множину  , яка складається із скінченного числа замкнених прямокутників  ( прямокутних паралелепіпедів), що містить у собі множину , і таку, що  Межа множини  не містить точок площини Е, ні граничних точок цієї множини. Тоді, позначивши межі множин  відповідно через G i  , маємо  Якщо  <  , то множини повністю помістяться в , і ,отже,  Цим рівність (3) доведено. Теорема 1. Нехай G – відкрита квадровна (кубовна) множина, E  іG, mesE = 0 і - (T)-розбиття множини G. Якщо - множини , замикання яких перерізаються з E, f – функція, визначена і обмежена на    (k = 1, 2, …, m), де в другій сумі підсумовування відбувається по всіх k, для яких  , то границя існує тоді і тільки тоді, коли існує границя  причому якщо остання границя існує, то вона також дорівнює  При побудові загального поняття потрійного інтеграла у Г.М.Фіхтенгольца основну роль відіграє поняття об’єму тіла, так як поняття площі лежало в основі поняття подвійного інтеграла. З поняттям об’єму ми вже знайомі. Умовою існування об’єму для даного тіла полягає в тому, щоб поверхня, яка його обмежує мала об’єм рівний нулю. Варто відмітити, що до таких поверхонь відносять гладкі та кусково-гладкі поверхні. Нехай тепер в деякій просторовій області (V) задана функція f(x,y,z). Розіб’ємо цю область на скінченну кількість частин (V1),(V2),…,(Vn), які мають відповідні об’єми V1, V2,…,Vn. В межах і-го елемента (Vi) візьмемо довільну точку  , значення функції в цій точці  помножимо на об’єм Viі складемо інтегральну суму  Границя І цієї суми, при прямуванні до нуля найбільшого із діаметрів всіх областей (Vi), і називається потрійним інтегралом функції f(x,y,z) в області (V).Він позначається символом  |