Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в... Httpgrachev62. narod ru
 Скачать 2.71 Mb.
|
|
ПРИМЕЧАНИЯ 1 Вильгельм Гей (1790–1854) – немецкий баснописец. – Прим. ред. Вернуться к тексту 2 Винер пользуется здесь немецким словом Durchmusterung. – Прим. ред. Вернуться к тексту 3 Палиндром (греч.) – слово или фраза, сохраняющие свой смысл при чтении в обратном направлении (“комок”, “рог гор”) – Прим. ред. Вернуться к тексту 4 Специально на этот случай – Прим. пер. Вернуться к тексту 5 Тиха (или Тюхе) по-гречески – Случай, Ананка – Рок, образы античной мифологии. – Прим. ред. Вернуться к тексту 6 По преданию, главный раввин Праги, известный талмудист Лива (или Леве) бен-Бецалел (1525–1609) сделал глиняного слугу – Голема – и оживил его кощунственным употреблением священнейшего имени бога, произношение которого у евреев было строжайше запрещено. По библейскому повествованию, под этим именем бог открылся Моисею, когда давал ему законы для Израиля. В Ветхом Завете оно обозначено четырьмя буквами JHWH и читалось позже как “Иегова” (Jehowah), подлинное же древнее произношение, как предполагают, было “Ягве” (Jahweh); в силу запрета его обычно заменяли словом “господь”, как оно и переведено в русской библии. Древнееврейское слово “голем” (golem) означает “нечто бесформенное, зачаточное” и в переносном смысле – “манекен, подобие человека”. Легенда о Големе сложилась, по-видимому, в пражском гетто и была использована в ряде романов и фильмов. – Прим. ред. Вернуться к тексту  Конец формы Винер Н. Кибернетика, или управление и связь в животном и машине. – 2-е издание. – М.: Наука; Главная редакция изданий для зарубежных стран, 1983. – 344 с. Красным шрифтом в квадратных скобках обозначается конец текста на соответствующей странице печатного оригинала данного издания II. ГРУППЫ И СТАТИСТИЧЕСКАЯ МЕХАНИКА К началу этого столетия двое ученых, один в Соединенных Штатах, другой во Франции, работали в областях, которые показались бы им совершенно не связанными, если бы один из них узнал о существовании другого. Уиллард Гиббс в Нью-Хейвене разрабатывал свой новый подход к статистической механике. Анри Лебег в Париже соперничал славой со своим учителем Эмилем Борелем, создав новую, более мощную теорию интегрирования, которая должна была использоваться при изучении тригонометрических рядов. Эти два исследователя походили друг на друга тем, что оба были кабинетными, а не лабораторными работниками, но они подходили к науке с диаметрально противоположных позиций. Гиббс, хотя и был математиком, всегда считал математику наукой, подчиненной физике. Лебег был чистейший аналитик, выдающийся представитель современных, крайне суровых требований к математической строгости, и его работы, насколько мне известно, не содержат ни одного примера задач или методов, вытекающих непосредственно из физики. Тем не менее работы этих ученых составляют единое целое, и на вопросы, которые ставит Гиббс, мы находим ответ не в его собственных работах, а в работах Лебега. Главная мысль Гиббса такова. В ньютоновой динамике в ее первоначальном виде рассматривается индивидуальная система с заданными начальными скоростями и импульсами1, подвергающаяся изменениям под [c.100] действием некоторой системы сил согласно законам Ньютона, которые устанавливают связь между силой и ускорением. Однако в громадном большинстве практических случаев нам известны далеко не все начальные скорости и импульсы. Если принять некоторое начальное распределение не вполне известных положений и импульсов системы, то тем самым будет определено в строго ньютоновском смысле распределение положений и импульсов в любой момент будущего. Тогда можно высказать ряд предложений об этих распределениях, и часть из них – в форме утверждений, что система будет иметь некоторые характеристики с вероятностью 1 и некоторые другие – с вероятностью 0. Вероятности, равные единице и нулю, суть понятия, включающие полную достоверность и полную невозможность, но их значение гораздо шире. Если я стреляю по цели нулей точечного размера, то вероятность моего попадания в определенную точку цели равна нулю, хотя не исключена возможность, что я попаду в нее; и, действительно, в каждом отдельном случае я обязательно попаду в некоторую точку, что является событием нулевой вероятности. Таким образом, событие вероятности 1, а именно попадание в какую-либо точку, может состоять из совокупности событий, каждое из которых имеет вероятность 0. Тем не менее в гиббсовой статистической механике применяется, хотя и неявно (Гиббс нигде не отдает себе в этом ясного отчета), разложение сложного события в бесконечную последовательность частных событий – первого, второго, третьего и т.д., – каждое из которых имеет известную вероятность; вероятность этого более широкого события находится затем как сумма вероятностей частных событий, образующих бесконечную последовательность. Таким образом, вероятности нельзя складывать во всех мыслимых случаях для получения полной вероятности, ибо сумма любого числа нулей равна нулю; но их можно складывать, коль скоро существует первый, второй, третий член и т. д., образующие последовательность событий, в которой каждый член имеет определенное место, задаваемое положительным целым числом. Чтобы провести различие между этими двумя случаями, необходимы довольно тонкие изыскания о природе [c.101] множеств событий, а Гиббс был хотя и очень сильный, но не очень тонкий математик. Может ли класс быть бесконечным и в то же время существенно отличным по мощности от другого класса, например от класса натуральных чисел? Эту задачу решил в конце прошлого столетия Георг Кантор, и ответ был “да”. Если мы рассмотрим все десятичные дроби, конечные и бесконечные, лежащие между нулем и единицей, то, как известно, их нельзя расположить в порядке “один, два, три…”, хотя – удивительно – мы можем расположить так все конечные десятичные дроби. Поэтому проведение различия, требуемого в статистической механике Гиббса, не является само по себе невозможным. Услуга, оказанная Лебегом теории Гиббса, заключалась в доказательстве того, что неявные требования статистической механики относительно событий нулевой вероятности и сложения вероятностей событий действительно могут быть удовлетворены и что теория Гиббса не содержит противоречий. Однако работа Лебега была непосредственно связана не с требованиями статистической механики, а с другой, как будто весьма далекой от нее, теорией – теорией тригонометрических рядов. Последняя восходит к физике XVIII в., изучавшей волны и колебания, и к спорному тогда вопросу об общности возможных движений линейной системы, полученных сложением ее простых колебаний, – колебаний, при которых течение времени лишь умножает отклонения системы от равновесия на положительный или отрицательный множитель, зависящий только от времени, но не от положения. Таким образом, одна функция выражается в виде суммы ряда. Коэффициенты этих рядов выражаются как средние произведения представляемой функции на данную весовую функцию. Вся теория основана на соотношениях между средним значением ряда и средними значениями отдельных членов. Заметим, что среднее значение величины, равной единице на интервале от нуля до А и нулю на интервале от А до 1, равно А и что его можно рассматривать как вероятность для случайной точки находиться в интервале от 0 до А, если известно, что она находится между 0 и 1. Иными словами, теория, необходимая для определения среднего значения ряда, очень близка к той, которая необходима для [c.102] адекватной трактовки вероятностей, выводимых из бесконечной последовательности случаев. Вот почему Лебег, решая свою задачу, решил также задачу Гиббса. Распределения, исследуемые Гиббсом, сами допускают динамическую интерпретацию. Если мы рассматриваем консервативную динамическую систему весьма общего вида с N степенями свободы, то координаты положений и скоростей такой системы можно привести к особой системе 2N координат, из которых N называются обобщенными координатами положения и N – обобщенными импульсами. Эти координаты определяют 2N-мерное пространство2 и в нем 2N-мерный объем. Возьмем произвольную область этого пространства и заставим точки перемещаться с течением времени. Каждый набор 2N координат перейдет тогда в новый набор, зависящий от истекшего времени, но непрерывное изменение границ области не изменит ее 2N-мерного объема. В общем случае для множеств, не столь простых, понятие объема порождает систему меры лебегова типа. В этой системе меры и в консервативных динамических системах, преобразуемых так, что мера сохраняется постоянной, сохраняет постоянство и другая скалярная величина – энергия. Если все тела системы действуют только друг на друга и в системе нет сил, связанных с фиксированным положениями и фиксированными направлениями в пространстве, то остаются постоянными еще два выражения, оба векторные: количество движения и момент количества движения системы в целом. Их нетрудно исключить и тем самым заменить данную систему системой с меньшим числом степеней свободы. В сугубо частных системах могут быть и другие величины, не определяемые энергией, количеством движения и моментом количества движения, также не меняющиеся с эволюцией системы. Известно, однако, что системы с другими инвариантными величинами, зависящими от начальных координат и импульсов динамической системы и достаточно регулярными, чтобы [c.103] допускать интегрирование на основе меры Лебега, в действительности очень редки, в некотором вполне точном смысле3. В системах, не имеющих других инвариантных величин, можно фиксировать координаты, соответствующие энергии, количеству движения и общему моменту количества движения, и тогда в пространстве остальных координат мера, определяемая координатами положении н импульсов, определит сама некоторую подмеру, подобно тому, как мера в трехмерном пространстве определит площадь на двумерной поверхности для заданного семейства двумерных поверхностей. Например, пусть мы имеем семейство концентрических сфер; объем между двумя сближаемыми концентрическими сферами (если его нормировать, приняв за единицу полный объем области между двумя сферами) в пределе даст меру площади на поверхности сферы. Применим теперь эту новую меру к одной из областей фазового пространства, для которой определена энергия, общее количество движения и общий момент количества движения, и предположим, что в системе нет других измеримых инвариантных величин. Пусть полная мера этой ограниченной области постоянна; изменяя масштаб, се можно приравнять единице. Поскольку наша мера была получена из меры, инвариантной во времени, способом, инвариантным во времени, она и сама инвариантна. Мы назовем эту меру фазовой мерой, а средние по этой мере – фазовыми средними. Но всякая величина, изменяющаяся во времени, может иметь также среднее значение по времени – временное среднее. Например, если f(t) зависит от t, то временное среднее для прошлого равно
а временное среднее для будущего
[c.104] В гиббсовой статистической механике встречаются как временные, так и пространственные средние. Блестящей идеей Гиббса была попытка доказать, что эти средние в некотором смысле тождественны. Догадка Гиббса о связи двух типов средних совершенно правильна, но метод, которым он пытался доказать эту связь, был совершенно и безнадежно неверным. В этом его вряд ли можно винить. Интеграл Лебега стал известен в Америке лишь к моменту смерти Гиббса. В течение еще пятнадцати лет он был музейной редкостью и применялся только, чтобы продемонстрировать молодым математикам, до какой степени могут быть доведены требования математической строгости. Такой выдающийся математик, как У.Ф. Осгуд, не хотел его признать до конца своей жизни4. Лишь около 1930 г. группа математиков – Купмен, фон Нейман, Биркгофф5 – установила наконец прочные основы статистической механики Гиббса. Каковы были эти основы, мы увидим дальше, когда познакомимся с эргоднческой теорией. Сам Гиббс думал, что в системе, из которой удалены все инварианты – лишние координаты, почти все пути точек в фазовом пространстве проходят через все координаты такого пространства. Эту гипотезу он назвал эргодической, от греческих слов εργον – “работа” и οδόσ – “путь”. Но как показал Планшерель и другие, ни в одном реальном случае эта гипотеза не оправдывается. Никакая дифференцируемая траектория, даже бесконечной длины, не может покрыть целиком область на плоскости. Последователи Гиббса и, по-видимому, в конце концов сам Гиббс смутно поняли это и заменили свою гипотезу другой, квазиэргодической гипотезой, которая утверждает лишь, что с течением времени система в общем случае проходит неограниченно близко к каждой точке в области фазового пространства определенной известными интервалами. Логически такая гипотеза вполне приемлема, но она совершенно недостаточна для тех выводов, которые Гиббс основывает на ней. Она ничего не говорит об относительном времени пребывания системы в окрестности каждой точки. [c.105] Помимо понятии среднего и меры (иначе говоря, среднего по всему пространству от функции, равной 1 на измеряемом множестве и 0 вне его), необходимых в первую очередь для разбора идей Гиббса, мы нуждаемся при оценке действительного значения эргодической теории в более точном анализе понятия инварианта, как и понятия группы преобразований. Эти понятия, несомненно, были известны Гиббсу, как показывают его работы по векторному анализу. Тем не менее можно утверждать, что он не оценил в полной мере их философского значения. Подобно своему современнику Хевисайду, Гиббс принадлежал к типу ученых, у которых физико-математическая проницательность часто опережает их логику и которые обыкновенно бывают правы, но часто не в состоянии объяснить, почему и как. Для существования любой науки необходимо, чтобы существовали явления, которые не оставались бы изолированными. Если бы мир управлялся серией чудес, совершаемых иррациональным богом с его внезапными прихотями, то мы были бы вынуждены ждать каждой новой катастрофы в состоянии пассивного недоумения. Подобную картину мира встречаем мы в крокетной игре, описанной в “Алисе в стране чудес”6. В этой игре молотки – фламинго, шары – ежи, которые спокойно разворачиваются и идут по своим делам, ворота – карточные солдаты, точно так же способные совершать движения по собственной инициативе, а правила игры определяются декретами вспыльчивой королевы червей7, поведение которой невозможно предугадать. Существо эффективного правила игры или полезного закона физики состоит в том, что правило можно установить заранее и применять во многих случаях. В идеале закон должен описывать свойство рассматриваемой системы, остающееся всегда тем же самым в потоке частных событий. В простейшем случае берется свойство, инвариантное относительно множества преобразований, которым подвергается система. Так мы приходим к [c.106] понятиям преобразования, группы преобразований и инварианта. Преобразование системы есть изменение, при котором каждый элемент переходит в другой элемент. Изменение Солнечной системы в промежуток между моментами времени t1 и t2 есть преобразование координат планет. Аналогичное изменение их координат при перемещении нами начала координат при повороте наших геометрических осей также есть преобразование. Изменение масштаба, происходящее, когда мы наблюдаем препарат в микроскоп, – еще один пример преобразования” Если за преобразованием А следует преобразование В, то в результате получается преобразование, называемое произведением, или результирующим преобразованием ВА. Заметим, что произведение, вообще говоря, зависит от порядка преобразований A и В. Например, если А – преобразование, переводящее координату х в координату у, а у – в х, оставляя z без изменений, и если В переводит х в z, а z – в х, оставляя у без изменений, то ВА будет переводить х в у, у – в z и z – в х, а АВ будет переводить х в z, у – в х и z – в у. Если АВ и ВА совпадают, то говорят, что А и В перестановочны. Иногда, но не всегда, преобразование А не только переводит каждый элемент системы в элемент, но обладает еще тем свойством, что каждый элемент оказывается результатом преобразования одного из элементов. В этом случае существует такое единственное преобразование А–1, что каждое из произведений АА–1 и А–1A представляет собой особое, вырожденное преобразование, которое называется тождественным преобразованием I и преобразует каждый элемент в самого себя. В этом случае мы называем преобразование А–1 обратным к преобразованию А. Очевидно, что А обратно к А–1, что I обратно к самому себе и что обратное преобразование к АВ есть B–1A–1. Существуют множества преобразований, в которых: 1) каждое преобразование, принадлежащее к данному множеству, имеет обратное преобразование, также принадлежащее к этому множеству, и 2) произведение любых двух преобразований, принадлежащих к данному множеству, само принадлежит к этому множеству. Такие множества носят название групп преобразований. [c.107] Множество всех сдвигов или по прямой, или в плоскости, или в трехмерном пространстве есть группа преобразований; более того, оно принадлежит к группам преобразований особого рода, называемым абелевыми группами8, где любые два преобразования перестановочны. Напротив, множество поворотов около точки и множество всех перемещений твердого тела в пространстве суть неабелевы группы. Предположим теперь, что имеется какая-то величина, связанная со всеми элементами, преобразуемыми данной группой преобразований. Если эта величина не изменяется, когда каждый элемент изменяется одним и тем же преобразованием группы, каково бы ни было это преобразование, то она называется инвариантом группы. Существует много разновидностей таких инвариантов. Из них для наших целей особенно важны две. Первая разновидность – так называемые линейные инварианты. Обозначим через х элементы, преобразуемые абслевой группой, и пусть f(x) – комплексная функция этих элементов, обладающая надлежащими свойствами непрерывности или интегрируемости. Тогда, если Тх – элемент, получаемый из х при преобразовании Т, a f(x) – функция с абсолютным значением 1, такая, что
где α(T) – число с абсолютным значением 1, зависящее только от Т, то f(x) мы будем называть характером группы. Это инвариант группы в несколько обобщенном смысле. Ясно, что если f(x) и g(x) – характеры группы, то f(x)g(x) также есть характер группы, как и [f(x)] –1. Если какая-либо функция h(x), определенная на группе, представима линейной комбинацией характеров группы, скажем в виде
|