Последняя тайна бога (И. Мисюченко). И. Мисюченко Последняя тайна
 Скачать 6.4 Mb.
|
|
П4. «Поперечный» сдвиг частот в оптике и акустике В настоящей работе выяснена подлинная природа частотного сдвига гармонического сигнала при поперечном движении источника сигнала. Показано, что эффект связан с неустранимым ускоренным изменением дистанции от источника до приёмника. Именно ускоренность взаимного движения вызывает указанный эффект, независимо от природы исследуемых сигналов. В акустике эффект существует точно в таком же виде, как и в оптике, и не нуждается в постулатах СТО и/или ОТО для своего объяснения. Относительное изменение частоты от ускорения Рассмотрим ситуацию, изображённую на рис. П4.1 Рис. П4.1. Жёстко связанные приёмник и излучатель звука, движущиеся ускоренно относительно среды Источник звука И излучает звуковые колебания с частотой f . При этом источник жёстко механически связан с приёмником П (они закреплены на одном основании) и расстояние между ними l . Вся система движется со скоростью v и ускорением a Скорость распространения звуковых колебаний в среде зв v . В некий момент времени 0 t излучатель начал работать. Для того чтобы звук от источника И достиг приёмника П , потребуется время τ , равное: (П4.1) зв v l = τ [с]. Поскольку излучённый звук более не связан с источником и приёмником, а связан лишь со средой, предполагающейся неподвижной, то за время τ ,пока звук «летит» от источника И к приёмнику П , скорость приёмника возрастёт на величину v Δ , равную: (П4.2) зв v a a v l = = Δ τ [м/с]. Длина волны звука постоянна и никак не зависит от движения приёмника. Следовательно, увеличение взаимной скорости звуковой волны и приёмника в определенном смысле эквивалентно изменению частоты принятого звукового сигнала: И. Мисюченко Последняя тайна Бога 246 (П4.3) 2 зв зв v a v v f f l = Δ = Δ Эта формула в точности соответствует формуле для инерционного красного смещения, полученного в ОТО с той разницей, что вместо скорости света стоит скорость звука в среде. Оценим величину изменения частоты f Δ при ускорении 10 м/с 2 , длине базы l = 0.1 м , скорости звука в воздухе 330 м/с и частоте ультразвука 40 кГц (типовая частота для распространённых парковочных ультразвуковых датчиков): (П4.4) 367 0 108900 40000 330 1 0 10 40000 2 2 = = ⋅ ⋅ = = Δ зв v fa f l [Гц]. Видим, что изменение частоты хотя и малое, но вполне измеримое. Детально, эксперименты по обнаружению этого эффекта в акустике описаны в приложении П.3. Отметим, что ровно ту же формулу мы получим для случая, когда ни приёмник, ни излучатель не имеют начальной скорости, и даже в том случае, если излучатель, например, неподвижен и ускоренно движется только приёмник. Геометрия поперечного движения и вывод формулы частотного смещения Рассмотрим теперь ситуацию, представленную на рис. П4.2 Рис. П4.2. Поперечное движение источника волн относительно приёмника Пусть источник движется равномерно и прямолинейно со скоростью vr . В некий момент времени, принимаемый за начало отсчёта времени, он оказывается движущимся перпендикулярно вектору l r , соединяющему приёмник и источник. Пусть теперь через некоторое время t , в течение которого источник продолжал двигаться равномерно и прямолинейно, он оказывается в новом положении А . Теперь расстояние до от положения источника А до приёмника обозначим rr . Выразим расстояние r от времени t . Очевидно, что по теореме Пифагора о сторонах прямоугольного треугольника: (П4.5) 2 2 2 t v l r + = [м]. Теперь определим ускорение ) (t a источника относительно приёмника путём двукратного дифференцирования расстояния по времени: И. Мисюченко Последняя тайна Бога 247 (П4.6) ) ( ) ( ) ( 2 / 1 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 4 2 2 t a t v l v t v l t v dt r d = + + + − = [м/с 2 ]. А теперь устремим время t к нулю, чтобы получить величину ускорения в начальном положении источника: (П4.7) l v t v l v t v l t v t a t t 2 0 2 / 1 2 2 2 2 2 / 3 2 2 2 2 4 0 ) ( ) ( ) ( lim = + + + − = = → [м/с 2 ]. Видим, что для любого расстояния до источника l ускорение отлично от нуля. Главным возражением против осмысленности только что проделанных выкладок обычно является заявление, что с ростом l ускорение уменьшается до ничтожных величин. Да, это так. Однако взгляните на формулу (П4.3), описывающую относительно смещение частоты сигнала, излучённого ускоренно движущимся источником. Как видите, оно линейно растёт с ростом расстояния l . Подставим же выражение для ускорения a из (П4.7) в (П4.3) и получим для относительного сдвига частоты: (П4.8) 2 2 2 2 2 зв зв зв v v v l l v v al f f = ⋅ = = Δ То есть относительный сдвиг частот оказался пропорционален отношению квадратов скоростей источника и распространения сигнала в среде. И это отношение не зависит от расстояния и качественно совпадает с результатами экспериментов, выполненных как в оптике, так и в акустике. Таким образом, «поперечный эффект Доплера» не является специфически релятивистским эффектом, а представляет собой вполне тривиальное следствие нелинейности изменения расстояния до источника от времени при поперечном движении источника в рамках Евклидовой геометрии. Механизм явления совершенно прост: чтобы говорить о частоте волн, необходимо излучить хотя бы несколько периодов, иначе понятия «спектр», «частота», «ширина полосы» просто неприменимы. За то время пока эти несколько периодов излучаются, источник успевает сместиться из положения точной перпендикулярности и приобрести относительно приёмника радиальную скорость at v = . Понятно, что средняя его скорость за весь этот период будет равна половине максимальной (движение было примерно равноускоренным!). Тогда формулу (П4.8) следует откорректировать, помножив на 1/2. (П4.9) 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 зв зв зв v v v l l v v al f f = ⋅ = = Δ Напомним, что в соответствии с известным релятивистским выражением для поперечного эффекта Доплера: (П4.10) 2 2 1 1 зв v v f f − − = Δ При малых скоростях сравнительно с зв v выражения (П4.9) и (П4.10) дадут практически одинаковый результат. На рис. П4.2а приведены графики зависимости относительного сдвига частот от скорости перпендикулярного движения. Красным цветом изображена И. Мисюченко Последняя тайна Бога 248 зависимость по формуле (П4.9), чёрным - по формуле (П4.10). Видим, что при скоростях меньших половины скорости распространения волны, отличия весьма незначительны. «Однако, мы рассмотрели не все явления, в данном случае приводящие к «сдвигу" частот. Вторым фактором, который следует непременно учитывать при рассмотрении «поперечного Доплера», является аберрация звука (света). Звук от движущегося источника распространяется под некоторым углом к вектору l на рис. П4.2. Аберрацию звука оценить несложно из простых соображений. Пока звук распространяется от источника к приёмнику время зв v l / = τ , источник успевает сдвинуться на некоторое расстояние v τ . То есть нарушается перпендикулярность движения и образуется продольная компонента скорости (направленная вдоль rr ). Можно показать, что при малых относительных скоростях движения эта продольная проекция r v будет иметь величину: (П4.11) зв r v v v 2 = Тогда связанный с ней линейный эффект Доплера примет значение: (П4.12) 2 2 зв зв r v v v v f f = = Δ То есть имеет ту же структуру и порядок величины, что и эффект связанный с ускоренностью изменения расстояния между источником и приёмником. Эффекты аберрации следует обязательно учитывать при постановке экспериментов, иначе результат будет весьма далёким от реальности. В случае звука всё более-менее просто, поскольку мы можем легко отметить момент именно перпендикулярного движения источника. В случае со светом всё сложнее, поскольку информация о «моменте перпендикулярности» дойдёт до нас не быстрее, чем сам излучённый свет. Графики на рис. П4.2а получены при помощи следующего м-скрипта в среде Matlab 6.5: v=[1:299]; f1=v.^2/c^2; f2=1.-sqrt(1.-v.^2/c^2); plot(v,0.5*f1,'r',v,f2,'k'); grid on; Физический смысл того, что максимальный частотный сдвиг по формуле (П4.9) составит не более 50%, весьма прозрачен: когда радиальная проекция скорости источника от нулевой достигнет предельной скорости зв v , частота принимаемого сигнала будет равна нулю. Однако средняя частота между нулём и f есть, разумеется, 2 / f . После достижения предельной радиальной скорости говорить о перпендикулярном Доплере уже невозможно, так как источник уже движется строго радиально. И. Мисюченко Последняя тайна Бога 249 Рис. П4.2а . Сопоставление выражений (П4.9) и (П4.10) для поперечного релятивистского эффекта Доплера Геометрия кругового движения и "проверки ОТО" Рассмотрим теперь случай, когда источник и приёмник движутся по круговым орбитам. Случай имеет практическое значение, так как некоторые так называемые «проверки ОТО» производились при помощи спутников, в т. ч. находящихся на геостационарных орбитах. На рис. П4.3 изображён случай, когда источник расположен в центре, а приёмник совершает равномерное круговое движение вокруг него на заданном расстоянии r . Рис. П4.3. Круговое движение источника и приёмника, источник в центре И. Мисюченко Последняя тайна Бога 250 Пусть источник И непрерывно излучает сферические волны. Например, акустические или оптические. Совершенно очевидно из геометрии рисунка П4.3, что за время t , пока испущенный источником фронт сферической волны достигнет радиуса r , приёмник П повернётся в положение ' П . Но при таком повороте (с сохранением расстояния до центра) движущийся приёмник «коснётся» волнового фронта ровно в тот же момент времени, что и при неподвижном приёмнике. Следовательно, в точке приёма движущегося приёмника мы будем наблюдать ту же фазу и частоту волны, что и при неподвижном приёмнике. То есть, несмотря на то, что ускорение приёмника не равно нулю, тем не менее, никакого эффекта частотного сдвига наблюдаться не должно. Картина совершенно изменяется, как только мы выносим источник из центра окружности и располагаем его на некотором расстоянии l от центра. Именно такая ситуация имеет место при экспериментах со спутниками (рис. П4.4). Рис. П4.4. Круговое движение источника и приёмника, источник расположен на радиусе Видим, что приёмник П при повороте вокруг центра окружности O в положение ' П удаляется от фронта сферической волны, испущенной источником И . То есть приёмник должен воспринимать как минимум другую фазу волны, а возможно и более низкую частоту, чем та, которая испущена источником. В случае, когда источник И почти неподвижен (спутник не на геостационарной орбите), то очевидно, что будет меняться не только фаза, в которой приёмник принял волну, но и частота в силу того, что приёмник постоянно удаляется от источника. В случае геостационарной орбиты эффекты, скорее всего, ограничатся изменением фазы принимаемого сигнала на некую постоянную величину. Необходимо отметить, что из вышесказанного следует довольно-таки общий вывод о том, что ускорения, различные по своей природе и наблюдаемые в различных ситуациях, вообще говоря - различны. То есть производят различные эффекты. Нельзя при анализе ускоренных движений бездумно пользоваться результатами, полученными при существенно других условиях, чем изучаемые. Так, например, выражение (П4.3) для частотного сдвига в ускоренной системе, приведенной на рис. П4.3, оказывается неприменимо. И. Мисюченко Последняя тайна Бога 251 П5. Движущееся поле. Прибор и эксперимент Введя понятие движения поля и применяя его для создания физической картины мира, мы разработали метод измерения скорости движения поля и построили прибор, измеряющий эту скорость. Прибор и метод разработаны для магнитного поля, хотя мы понимаем, что в реальности магнитного поля, как самостоятельного объекта, не существует. Тем не менее в целях наглядности весьма удобно пользоваться представлением о самостоятельно существующем «магнитном поле». Можно воспользоваться для создания прибора непосредственно определением, введенным в главе 1. Предложенная там процедура предполагает фиксацию величины напряжённости поля в какой-то момент времени и затем, через фиксированный интервал времени, быстрый поиск той координаты, в которой обнаруживается то самое значение напряжённости поля, которое было ранее зафиксировано. Для мысленных экспериментов и рассуждений такая процедура вполне удобна, так как мысленно мы можем перемещаться и измерять напряжённости с любой скоростью, вплоть до бесконечной. На практике же это невозможно, поэтому требуется модифицировать процедуру измерения скорости движения поля с целью получения достаточной точности при простой технической реализации прибора. К счастью, модификация метода оказывается почти очевидной. Используемый в приборе метод предполагает расположение двух датчиков магнитного поля (датчики Холла, например) на небольшом фиксированном расстоянии R друг от друга (рис. П5.1). Рис. П5.1. Расположение датчиков в методе измерения скорости движения поля Показания первого (ближнего к источнику движущегося поля) датчика фиксируются с интервалом t Δ в регулярные моменты времени i t и обозначаются как 1 B Показания второго датчика снимаются синхронно с показаниями первого и обозначаются как 2 B . Обе величины запоминаются. Далее обе напряжённости измеряются с высокой частотой (много большей, чем ) / 1 t Δ и сравниваются с запомненными величинами. Если напряжённость увеличивается, то через некоторый интервал времени B t Δ величина напряжённости на втором датчике достигает запомненной величины 1 B . Если же напряжённость уменьшается, то, наоборот, величина на первом датчике достигнет запомненной ранее величины 2 B . Поскольку нам неизвестно априорно будет напряжённость поля уменьшаться или увеличиваться, то мы делаем и то и другое одновременно, прекращая измерения как только величина поля, хотя бы на одном из датчиков, достигнет запомненной ранее величины «противоположного» датчика. При этом мы получаем информацию о том, нарастает напряжённость поля или же убывает. И о И. Мисюченко Последняя тайна Бога 252 временном интервале B t Δ , за который поле «прошло» расстояние между датчиками, равное R . Нетрудно догадаться, как теперь определить скорость движения поля B v : (П5.1) B B t R v Δ = Можно заметить, что в предложенном методе мы заменили поиск в пространстве «поиском» во времени. В рамках наших представлений это возможно, поскольку движение полей мало чем отличается (за исключением особых случаев) от движения механических объектов. Остаётся определить, что делать, если равенство напряжённостей в описанной выше процедуре не достигнуто за время t Δ . Один из вариантов - объявить, что скорость в этом случае пренебрежимо мала и назначить её равной нулю. Например, если расстояние между датчиками равно 1 см, а время t Δ =0.1 с, то минимальная измеряемая скорость составит 0.1 м/с. Теперь, измерив скорость, следует вывести её из измерительного прибора в виде, например, уровня напряжения v U . В соответствии с описанной процедурой был разработан и изготовлен прибор - измеритель скорости движения магнитного поля (рис. П5.2). Рис. П5.2. Блок-схема измерителя скорости движения магнитного поля Построив прибор, мы провели два наглядных эксперимента, показывающих, что переменное магнитное поле является движущимся полем. В первом эксперименте мы расположили постоянный магнит в виде маятника, подвесив его на тонком длинном рычаге, способном двигаться только в одной плоскости (рис. П5.3а). Отклонив магнит на не слишком большую величину, отпускаем его и снимаем показания на выходе прибора. Магнитное поле постоянного магнита движется вместе с самим магнитом, следовательно, скорость движения поля должна быть равна просто механической скорости движения маятника относительно прибора. Поскольку колебания маятника хорошо поддаются рассчету и изменения его скорости от времени известны, сравниваем эксперимент с рассчетом. Видим (Рис. П5.4а), что изменения скорости движения поля от времени носят почти синусоидальный характер, что и следовало ожидать. |