Документ Microsoft Word (2). И составное высказывание. Такое высказывание называют конъюнкцией (от латинского слова единение). Обозначают (читают а и
 Скачать 2.04 Mb.
|
|
(Аксиома Архимеда). Множество NN неограниченно сверху, т.е. ∀a∈R ∃n∈N:n>a∀a∈R ∃n∈N:n>a. ▲▴ Предположим, NN ограничено сверху, тогда по Т3 ∃k=supN⇒∃k=supN⇒ k−1k−1 не является точной верхней гранью NN, т.е. ∃n∈N:n>k−1⇒∃n∈N:n>k−1⇒ n+1>(k−1)+1=kn+1>(k−1)+1=k. Противоречие, т.к. kk — верхняя грань NN. ■◼ Определение 1.16. a∈R,n∈N:an=a⋅…⋅ana∈R,n∈N:an=a⋅…⋅a⏟n. 13. Принцип Кантора вложенных отрезков. Доказательство принципа кантора из аксиомы полноты. Предел последовательности. Теорема 1.4 (Принцип полноты Кантора). Любая последовательность вложенных отрезков имеет общую точку (причём, если эта последовательность стягивающаяся, то такая точка единственная). ▲▴ Пусть {[an,bn]}∞n=1{[an,bn]}n=1∞ — последовательность вложенных отрезков. Рассмотрим A={an:n∈N}A={an:n∈N}. Поскольку ∀n∈N:an⩽bn⩽b1∀n∈N:an⩽bn⩽b1, AA — непустое ограниченное сверху множество ⇒⇒ ∃c=supA∃c=supA. Пусть n,k∈Nn,k∈N, тогда an⩽an+k⩽bn+k⩽bkan⩽an+k⩽bn+k⩽bk. Следовательно, bkbk — верхняя грань A⇒A⇒ c⩽bkc⩽bk. С другой стороны, ak⩽cak⩽c. Итак, ∀k∈N:ak⩽c⩽bk∀k∈N:ak⩽c⩽bk, т.е. c∈⋂k=1∞[ak,bk]c∈⋂k=1∞[ak,bk]. Пусть {[an,bn]}∞n=1{[an,bn]}n=1∞ — стягивающаяся последовательность. Предположим, ∃c1,c2∈⋂k=1∞[ak,bk],c1 (для ε=c2−c1>0 ∃n∈N:bn−an<εε=c2−c1>0 ∃n∈N:bn−an<ε). Следовательно, двух различных общих точек быть не может. ■ 14. Определение предела последоваетльноти. Переформулировки. Единственность предела. Пример последовательно-сти, у которой нет предела. [Шапошников, стр 15] 15. Ограниченнось последовательности, имеющей предел. Теорема о пределе суммы, разности и произведения. Шапош-ников, стр 15-16] 16. Теорема о пределе частного. [Шапошников, стр 15-16] 17. Лемма о двух полицейских. Теорема о предельном переходе в неравенствах. [Шапошников, стр 16] Теорема: Пусть f(x), g(x) и h(x)- функции, определенные в проколотой окрестности точки х0 и такие, что: f(x)≤ g(x)≤ h(x); существует(Ǝ) limх→х0 f(x)=limх→х0 h(x) =A Тогда существует(Ǝ)limх→х0 g(x) =A Другими словами, если функция «зажата» между двумя фун-ми, имеющими общий предел, то она имеет этот же предел. Для числовых последовательностей эта теорема имеет следующую формулировку. Пусть {an}, {bn}, {cn}- последовательности такие, что: аn≤bn ≤ сn ; существует() limn→∞ an=limn→∞ cn =a. Тогда существует() limn→∞ bn =a. Док-во: Требуется доказать, что limх→х0 g(x) =A. Пусть дано ε>0. Тогда из условия 2 теоремы и из определения предела суммы следует, что существует() δ1 такое, что при 0<│х-х0│<δ1 выполняется неравенство А- ε< f(x) 18. Теорема Вейерштрасса о сходимости монотонной ограниченной последовательности. Число е. [Шапошников, стр 16 Монотонная последовательность — это последовательность, элементы которой с увеличением номера не убывают, или, наоборот, не возрастают. Подобные последовательности часто встречаются при исследованиях и имеют ряд отличительных особенностей и дополнительных свойств. Последовательность из одного числа не может считаться возрастающей или убывающей. Определения Пусть имеется множество , на котором введено отношение порядка. Последовательность элементов множества называется неубывающей, если каждый элемент этой последовательности не превосходит следующего за ним. — неубывающая Последовательность элементов множества называется невозрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности не превосходит предыдущего. — невозрастающая Последовательность элементов множества называется возрастающей, если каждый следующий элемент этой последовательности превышает предыдущий. — возрастающая Последовательность элементов множества называется убывающей, если каждый элемент этой последовательности превышает следующий за ним. — убывающая Последовательность называется монотонной, если она является неубывающей, либо невозрастающей Последовательность называется строго монотонной, если она является возрастающей, либо убывающей. Очевидно, что строго монотонная последовательность является монотонной. Иногда используется вариант терминологии, в котором термин «возрастающая последовательность» рассматривается в качестве синонима термина «неубывающая последовательность», а термин «убывающая последовательность» — в качестве синонима термина «невозрастающая последовательность». В таком случае возрастающие и убывающие последовательности из вышеприведённого определения называются «строго возрастающими» и «строго убывающими», соответственно. Промежутки монотонности Может оказаться, что вышеуказанные условия выполняются не для всех номеров , а лишь для номеров из некоторого диапазона (здесь допускается обращение правой границы в бесконечность). В этом случае последовательность называется монотонной на промежутке , а сам диапазон называется промежутком монотонности последовательности. 19. Теорема Больцано о том, что в ограниченной последоваетльнсоти есть сходящаяся подпоследовательность. Фундаментальная последовательность. Критерий Коши. [Шапошников, стр 17-18] Определение 1. Пусть у нас есть последовательность {an} и возрастающая последовательность натуральных чисел {nk} . Тогда можно рассмотреть последовательность {bk}, опредённую таким образом: для всех натуральных k, bk=ank . Последовательность {bk} называется подпоследовательностью последовательности {an} Пример 1. Пусть an=2n и nk=2k. Тогда bk=a2k=22k задаёт подпоследовательность исходной последовательности, состоящей из членов с чётными номерами. Пример 2. Пусть an=n3, nk=k2. Тогда bk=ak2=(k2)3=k6 задаёт подпоследовательность исходной последовательности, состоящей из членов с номерами, являющимися полными квадратами натуральных чисел. Замечание 1. На {nk} накладываются два условия, оба важны. Во-первых, это последовательность, то есть в ней бесконечно много элементов (значение nk определено для всех натуральных k). Это означает, что в подпоследовательности есть бесконечно много элементов, взятых из исходной последовательности. Например, нельзя образовать подпоследовательность, взяв первые три элемента исходной последовательности. Во-вторых, {nk} возрастает — то есть мы должны брать элементы исходной последовательности в том же порядке, в котором они были изначально (но можем некоторые пропускать). Нельзя взять один и тот же элемент несколько раз или «вернуться назад». Про подпоследовательность можно думать так, что мы выбросили из исходной последовательности какое-то количество элементов (конечное или бесконечное), но так, чтобы осталось бесконечно много элементов. Утверждение 1. Пусть последовательность {an} обладает каким-нибудь из следующих свойств: ограничена (сверху, снизу, просто); монотонна (возрастает, убывает, невозрастает, неубывает); имеет предел (конечный или бесконечный). Тогда любая её подпоследовательность обладает тем же свойством (тоже ограничена, тоже монотонна, тоже имеет предел, причём такой же, и т.д.) Доказательство первых двух пунктов этого утверждения простое и я советую его провести самостоятельно. Третий пункт вынесен в качестве задачи на семинары. Обратное неверно: если подпоследовательность обладает каким-нибудь из этих свойств (скажем, ограничена), это ничего не говорит про аналогичное свойство исходной последовательности (приведите примеры).Предельные точки Бывают последовательности, которые не сходятся, но имеют сходящиеся подпоследовательности. Например, последовательность an=(−1)n обладает таким свойством: сама она расходится (см. утверждение 4 из лекции 4), но у неё есть подпоследовательность a2k, все члены которой равны 1 — она сходится к 1, а ещё есть подпоследовательность a2 k+1, все члены которой равны (−1), она сходится к (−1). В этом случае 1и (−1) называются предельными точками. Определение 2. Число A называется предельной точкой последовательности {an} если существует такая подпоследовательность {bk}, bk=ank, что bk→Aпри n→∞. Предел последовательности является её предельной точкой (можно выбрать подпоследовательность, совпадающую с исходной последовательностью), но в отличие от предела, предельных точек может быть несколько. Наоборот: по утверждению 1, если у последовательности есть предел, то у любой её подпоследовательности предел такой же. Значит, если предел есть, то предельная точка единственна, и стало быть если предельных точек несколько, то предела нет. При решении некоторых задач удобным оказывается другое определение предельной точки. Определение 3. Число A называется предельной точкой последовательности {an}, если для всякого ε>0 и всякого натурального N есть такой номер n>N, что |an−A|<ε. Формально:∀ε>0∀N∈N ∃n>N:|an−A|<ε. Сравните это определение с определением предела — в чём ключевое различие? Упражнение 1. Докажите, что определения 2 и 3 эквивалентны. Есть ли последовательности, не имеющие предельных точек? Тут легко привести пример — скажем, последовательность an=n обладает таким свойством: она посещает каждое натуральное число ровно один раз, а потом уходит от него на расстояние как минимум 1. Заметим, что последовательсноть an=n неограничена. Бывают ли ограниченные последовательности без предельных точек? Прежде, чем читать дальше, попробуйте придумать такую. 9.2Теорема Больцано — Вейерштрасса Теорема 1. (Больцано, Вейерштрасс) У всякой ограниченной последовательности есть сходящаяся подпоследовательность. Для доказательства этой теоремы нам понадобится вспомогательная лемма, которая представляет и самостоятельный интерес — она пригодится нам ещё несколько раз. 9.2.1Лемма о вложенных отрезках Лемма 1. (Лемма о вложенных отрезках) Пусть есть последовательность отрезков Ik, левый конец k-го отрезка обозначим через lk, а правый через rk:Ik=[lk,rk]={x∈R∣lk≤x≤rk}. Пусть также каждый следующий отрезок вложен в предыдущий. ∀k∈N:Ik+1⊂Ik. Таким образом, у нас есть бесконечная последовательность I1⊃I2⊃I3… . Вложения здесь нестрогие: может оказаться, что два отрезка в последовательности совпадают. Потребуем также, чтобы длины отрезков стремились к нулю:|Ik|:=rk−lk→0 при k→∞. Тогда существует такое число c∈R, что пересечение всех отрезков Ik содержит только c:⋂k∈NIk={c}. Более того: c является пределом последовательностей концов {lk} и {rk}:lk→c,rk→c. Замечание 2. Тут может возникнуть вопрос, что такое бесконечное пересечение ⋂k∈NIk. На самом деле, это простая штука: это просто множество таких чисел, которые принадлежат всем отрезкам из последовательности Ik:⋂k∈NIk:={x∈R∣∀k∈N:x∈Ik}. Замечание 3. Утверждение леммы выглядит почти тривиальным, но на самом деле таким не является. Действительно, если заменить отрезки на интервалы, оно перестанет быть верным: рассмотрим набор интервалов вида (0,1/k)для всех натуральных k. Пересечение всех этих интервалов пусто: каким бы ни был x>0, найдётся такое значение k, что 1/k , которые могли бы принадлежать всем интервалам из нашей последовательности одновременно, и следовательно их пересечение пусто. Лемма утверждает, что с последовательностью вложенных отрезков такого произойти не может.Доказательство леммы 1. Рассмотрим последовательности левых концов {rk}и правых концов {lk} . В силу условия вложенности отрезков, левые концы могут сдвигаться только вправо, а правые — только влево, то есть для всех натуральных k,lk+1≥lk,rk+1≤rk. Неравенства нестрогие: два отрезка могут совпадать или касаться концами. Таким образом, последовательность {lk} нестрого возрастает, а {rk} — нестрого убывает. Поскольку для всех натуральных k, lk≤rk(левый конец отрезка Ik левее правого, хотя они могут и совпадать — в этом случае отрезок является одной точкой, так тоже бывает, поэтому неравенство нестрогое) и rk≤rk−1≤rk−2≤…≤r1 (в силу вложенности), последовательность {lk} ограничена сверху числом r1, и аналогично {rk} ограничена снизу числом l1. Значит по теореме Вейерштрасса существуют пределы: limk→∞lk=:L,limk→∞rk=:R.Переходя к пределу в неравенстве lk≤rk, имеем: L≤R.Поскольку последовательность {lk} неубывает, её предел L является точной верхней гранью множества её элементов, и значит все элементы не больше L Аналогично, все элементы последовательности {rk}не меньше R. Получаем такую цепочку неравенств, верную для всех k:lk≤L≤R≤rk.Пусть какая-то точка x принадлежит отрезку [L,R]. Тогда можно воткнуть x в этом неравенстве между Lи R и получить:lk≤L≤x≤R≤rk.Таким образом, x∈[lk,rk]=Ik для всех k, то есть все точки отрезка [L,R]принадлежат всем отрезкам Ik и следовательно входят в их бесконечное пересечение. Отрезок [L,R]заведомо непуст, поскольку L≤R.Но раз отрезок [L,R]принадлежит каждому из отрезков [lk,rk], а длины этих отрезков стремятся к нулю (см. (9.1)), длина отрезка [L,R]не может быть положительной: тогда он не поместился бы внутрь какого-то отрезка [lk,rk]для достаточно большого k. Формально это можно обосновать так:limk→∞|Ik|=limk→∞(rk−lk)=limk→∞rk−limk→∞lk=R−L.Но согласно (9.1), этот предел равен нулю, и следовательно R=L. Таким образом, отрезок [L,R]состоит из единственной точки. Обозначим её через c(то есть положим c:=L=R) и получим утверждение теоремы.∎ Упражнение 2. Как мы выяснили, для интервалов теорема неверна. Найдите, где именно «ломается» доказательство, если вместо отрезков взять интервалы — какие переходы остаются верными, а какие нарушаются? А что происходит, если в доказательство подставить последовательность интервалов (−1/k,1/k)? 9.2.2Деление отрезка пополам Теперь мы готовы к тому, чтобы доказывать теорему Больцано — Вейерштрасса. Мы сделаем это с помощью приёма «деление отрезка пополам», который нам ещё пригодится. Доказательство теоремы 1. Пусть последовательность {an} ограничена. Тогда существует такое C, что для всех n, |an|≤C, или, иными словами, an∈[−C,C]. Обозначим: I1:=[−C,C]. Теперь будем строить последовательность вложенных отрезков {Ik}и одновременно подпоследовательность bk=ank. Пусть n1=1и b1=a1.Разобьём отрезок I1на две половины: IL1 и IR1, (Они пересекаются по одной точке, это не страшно.) Среди элементов нашей последовательности {an}какие-то принадлежат IL1, какие-то IR1(какие-то могут принадлежать обоим, это тоже не страшно.) Важно вот что: хотя бы один из отрезков IL1 или IR1содержит бесконечно много членов последовательности {an}: если бы каждый из них содержал лишь конечное число членов, то у всей последовательности было бы лишь конечное число членов, это противоречит определению последовательности. Формально можно записать так: пусть NL1— множество номеров элементов последовательности {an}, попадающих в IL1, и NR1 — множество номеров элементов, попадающих вIR1:NL1={n∈N∣an∈IL1};NR1={n∈N∣an∈IR1}.Каждый элемент попадает по крайней мере в один из отрезков IL1 или IR1. Значит, объединение NL1∪NR1 даёт всё множество натуральных чисел.Значит, хотя бы одно из множеств NL 1 или NR1 является бесконечным. Если бы они оба были конечными множествами, их объединение тоже было бы конечным. Обозначим тот отрезок из IL1 и IR1, который содержит бесконечно много членов последовательности, через I2. (Если они оба содержат бесконечно много членов последовательности, положим для определенности, что I2=IL1.) Выберем n2— номер какого-нибудь из элементов последовательности {an}, попавшего в I2. Их там бесконечно много, так что какой-нибудь обязательно можем выбрать. Положим b2=an2.Дальше повторим процесс, теперь уже с отрезком I2. Разобьём его на две половинки, IL2 и IR2. Поскольку I2 по построению содержал бесконечно много членов последовательности {an}, хотя бы бы одна из половинок тоже будет содержать бесконечно много членов. Обозначим её за I3. Выберем n3— номер какого-нибудь из элементов последовательности {an}, попавшего в I3, и обязательно (это важно!) такого, что n3>n2. Это всегда можно сделать: n2 мы выбрали и зафиксировали на предыдущем шаге, а в I3 лежит бесконечно много членов, значит найдутся и такие, у которых номера большеn2. Вот какой-нибудь из них мы и обозначим за n3 и положим: b3=an3.Так будем продолжать до бесконечности. Для каждого натурального k, построим отрезок Ik, являющийся половинкой отрезка Ik−1, содержащей бесконечно много элементов последовательности {an}. Среди этих элементов выберем элемент, номер которого больше nk−1и обозначим его номер за nk. Положим bk=ank.Получим последовательность вложенных отрезков I1⊃I2⊃I3⊃…. Каждый отрезок получается делением предедыщего отрезка пополам, поэтому их длины каждый раз уменьшаются в два раза:|Ik|=|I1|2k−1.Следовательно, |Ik|→0 при k→∞. (Мы доказывали на семинарах, что последовательность вида 1/2k стремится к нулю.) Значит, наши отрезки удовлетворяют условию леммы о вложенных отрезках. Значит, их пересечение состоит из единственной точки c.Покажем, что ank=bk→c при k→∞. Действительно, как и раньше, будем обозначать левый конец отрезка Ikчерез lk, а правый — через rk. Тогда для всех k выполняются неравенства lk≤bk≤rk. Мы знаем из доказательства леммы, что lk→c и rk→c. По теореме о двух милиционерах, из этого следует, что bk→c. Доказали!Замечание 4. У вас может возникнуть вопрос, зачем такая теорема вообще понадобилась? На самом деле, часто бывает очень полезно найти предел если не самой последовательности, то хотя бы какой-нибудь подпоследовательности, или по крайней мере доказать, что он существует. Чуть позже мы столкнёмся с такими ситуациями. . 20. Левые и правые пределы. Бесконечные пределы. Виды неопределенностей и примеры, что это действительно неопределенности. Предел функции в точке. Левые и правые пределы. Односторонним пределом некоторой функции называется предел, который стремится к какому-либо значению только с одной стороны. Если функция стремится к какому-либо значению слева направо, то есть все значения, которые она принимает, меньше её предела, такой предел носит название правостороннего предела. Если же все значения, которые она принимает, больше её предельного значения, то есть функция «подходит» к предельному значению справа налево, то она носит название левостороннего предела. Левым пределом функции y=f(x) в точке с абсциссой x0 называется такое число A1, для которого будут выполняться следующие условия: для любого ε > 0 имеется δ=δ(ε) > 0, причём если x будет принадлежать отрезку (x0−δ;x0), то будет выполняться неравенство: | f ( x ) − A 1 | Математическая форма записи выглядит так: limx→x0−0 f(x)=A1 или так: f(x0−0)=A1. Правый предел некоторой функции y=f(x) в точке по оси икс x0 — это число A2, причём такое, что для любого ε > 0 имеется δ=δ(ε), такое что если x принадлежит (x0;x0+δ), то справедливо равенство |f(x)−A2| Записывается кратко в следующем виде:limx→x0+0 f(x)=A2 или f(x0+0)=A2. Определение: Число А называется пределом функции y=f(x) при х, стремящимся к бесконечности, если для любого, даже сколь угодно малого положительного числа ε >0, найдется такое положительное число N>0(зависящее от ε; N=N(ε)), что для всех х, таких, что |x|>N , верно неравенство |f(x) - A| < ε. Этот предел функции обозначается или при x→∞.Смысл определения: при достаточно больших по модулю значениях х значения функции f(x) как угодно мало отличается от числа А(по абсолютной величине). |