Оптика. И. В. Яковлев
 Скачать 0.7 Mb.
|
|
И. В. Яковлев | Материалы по физике | MathUs.ru Волновая оптика Данное методическое пособие написано для одиннадцатиклассников. Оно охватывает следу- ющие темы единого госэкзамена по физике: интерференция света, дифракция света, дифрак- ционная решётка, дисперсия света. Пособие содержит также некоторый дополнительный материал, не входящий в кодификатор ЕГЭ (но входящий в школьную программу!). Этот материал позволяет лучше понять рассмат- риваемые темы. Содержание 1 Введение 2 2 Принцип Гюйгенса 3 2.1 Волновые поверхности и лучи 3 2.2 Сферическая волна 4 2.3 Плоская волна 5 2.4 Вторичные волны 5 2.5 Вывод закона отражения 7 2.6 Вывод закона преломления 8 3 Интерференция волн 10 3.1 Сложение колебаний 10 3.2 Интенсивность волны 11 3.3 Когерентные источники 12 3.4 Условие максимума и минимума 12 3.5 Интерференционная картина 13 3.6 Схема Юнга 15 4 Интерференция света 17 4.1 Усреднение интенсивности 17 4.2 Некогерентность независимых источников 17 4.3 Зеркала Френеля 19 4.4 Интерференция в тонких плёнках 20 4.5 Кольца Ньютона 21 4.6 Просветление оптики 23 5 Дифракция света 25 5.1 Принцип Гюйгенса–Френеля 26 5.2 Опыт Юнга 27 5.3 Дифракционная решётка 28 5.4 Дифракционная решётка как спектральный прибор 31 6 Дисперсия света 33 6.1 Опыт Ньютона 33 6.2 Хроматическая аберрация 34 1 1 Введение Волновая оптика (или, как ещё говорят, физическая оптика) рассматривает свет как электро- магнитные волны. Явления интерференции и дифракции света служат опытным подтвержде- нием его волновой природы. Геометрическая оптика есть предельный случай волновой оптики. Геометрическая оптика — приближённая теория; она работает тем лучше, чем меньше длина световой волны по сравнению с характерными размерами препятствий. Волновая оптика объясняет законы геометрической оптики и устанавливает границы их применимости. Так, в приближении геометрической оптики справедлив закон прямолинейного распростра- нения света, но удовлетворительно работает он лишь вдали от краёв препятствий. Вблизи края наблюдается дифракция света — изменение направления световых лучей и их проникновение в область геометрической тени. Объяснение закона прямолинейного распространения света да- ётся в рамках теории дифракции и выходит за рамки школьной программы. Имеются отступления и от закона независимости световых лучей. А именно, при некоторых условиях освещённость, создаваемая несколькими световыми пучками, не равна сумме осве- щённостей, вносимых каждым пучком в отдельности, и может принимать как большее, так и меньше значения. В этом состоит явление интерференции света. При интерференции вместо равномерной освещённости экрана наблюдается интерференционная картина — чередование светлых и тёмных участков пространства. На огромной шкале электромагнитных волн диапазон видимого света занимает весьма уз- кий промежуток: длины волн видимого диапазона принимают значения примерно от 380 нм (фиолетовый участок спектра) до 780 нм (красный участок). Дисперсия света, то есть раз- личная преломляемость лучей разного цвета на одной и той же границе, была исследована ещё Ньютоном. Но появление теории дисперсии, выясняющей характер зависимости показате- ля преломления среды от частоты электромагнитных волн, оказалось возможным лишь после создания электродинамики Максвелла. Волновая оптика — обширная и непростая наука; сколько-нибудь полное изложение волно- вой оптики возможно лишь в рамках вузовского курса физики 1 . В данном пособии затрагива- ются лишь те вопросы, которые необходимы для адекватного восприятия школьной программы и успешного выполнения соответствующих заданий ЕГЭ по физике. 1 Достаточно сказать, что в знаменитом физтеховском пятитомнике Д. В. Сивухина «Общий курс физики» четвёртый том «Оптика» является самым толстым из всех томов. 2 2 Принцип Гюйгенса Базовым утверждением волновой оптики является принцип Гюйгенса. Законы отражения и преломления света получаются из него в качестве следствий. Принцип Гюйгенса в его исходной формулировке не смог объяснить дифракцию и, в част- ности, закон прямолинейного распространения света. Впоследствии он был дополнен важной идеей Френеля об интерференции вторичных волн. Принцип Гюйгенса–Френеля — это мощный инструмент волновой оптики; мы рассмотрим его в разделе «Дифракция света». Данный раздел посвящён «чистому» принципу Гюйгенса (т. е. без дополнения Френеля). 2.1 Волновые поверхности и лучи Представьте себе маленькую лампочку, которая даёт частые периодические вспышки. Каждая вспышка порождает расходящуюся световую волну в виде расширяющейся сферы (с центром в лампочке). Остановим время — и увидим остановившиеся в пространстве световые сферы, образованные вспышками в различные предшествующие моменты времени. Эти сферы — так называемые волновые поверхности. Заметьте, что лучи, идущие от лам- почки, перпендикулярны волновым поверхностям. Чтобы дать строгое определение волновой поверхности, давайте вспомним сначала, что та- кое фаза колебаний. Пусть величина x совершает гармонические колебания по закону: x = A cos(ωt + ϕ 0 ). Так вот, фаза — это величина ϕ = ωt + ϕ 0 , которая является аргументом косинуса. Фаза, как видим, линейно возрастает со временем. Значение фазы при t = 0 равно ϕ 0 и называется начальной фазой. Вспомним также, что волна представляет собой распространение колебаний в пространстве. В случае механических волн это будут колебания частиц упругой среды, в случае электромаг- нитных волн — колебания векторов напряжённости электрического поля и индукции магнит- ного поля. Вне зависимости от того, какие волны рассматриваются, мы можем сказать, что в каж- дой точке пространства, захваченной волновым процессом, происходят колебания некоторой величины; такой величиной является набор координат колеблющейся частицы в случае меха- нической волны или набор координат векторов, описывающих электрическое и магнитное поля в электромагнитной волне. Фазы колебаний в двух различных точках пространства, вообще говоря, имеют разное зна- чение. Интерес представляют множества точек, в которых фаза одна и та же. Оказывается, совокупность точек, в которых фаза колебаний в данный момент времени имеет фиксирован- ное значение, образует двумерную поверхность в пространстве. Определение. Волновая поверхность — это множество всех точек пространства, в кото- рых фаза колебаний в данный момент времени имеет одно и то же значение. Коротко говоря, волновая поверхность есть поверхность постоянной фазы. Каждому зна- чению фазы отвечает своя волновая поверхность. Набору различных значений фазы соответ- ствует семейство волновых поверхностей. С течением времени фаза в каждой точке меняется, и волновая поверхность, отвечающая фиксированному значению фазы, перемещается в пространстве. Следовательно, распростра- нение волн можно рассматривать как движение волновых поверхностей! Тем самым в нашем распоряжении оказываются удобные геометрические образы для описания физических волно- вых процессов. 3 Например, если точечный источник света находится в прозрачной однородной среде, то вол- новые поверхности являются концентрическими сферами с общим центром в источнике. Рас- пространение света выглядит как расширение этих сфер. Мы это уже видели выше в ситуации с лампочкой. Через каждую точку пространства в данный момент времени может проходить только одна волновая поверхность. В самом деле, если предположить, что через точку A проходят две вол- новых поверхности, отвечающие различным значениям фазы ϕ 1 и ϕ 2 , то немедленно получим противоречие: фаза колебаний в точке A окажется одновременно равна этим двум различным числам. Коль скоро через точку A проходит единственная волновая поверхность, то однозначно определено и направление перпендикуляра к волновой поверхности в данной точке. Определение. Луч — это линия в пространстве, которая в каждой своей точке перпенди- кулярна волновой поверхности, проходящей через эту точку. Иными словами, луч есть общий перпендикуляр к семейству волновых поверхностей. На- правление луча — это направление распространения волны. Вдоль лучей осуществляется пере- нос энергии волны от одних точек пространства к другим. По мере распространения волны происходит перемещение границы, которая разделяет об- ласть пространства, захваченную волновым процессом, и невозмущённую пока ещё область. Эта граница называется волновым фронтом. Таким образом, волновой фронт — это множество всех точек пространства, которых достиг колебательный процесс в данный момент времени. Волновой фронт есть частный случай волновой поверхности; это, если можно так выразиться, «самая первая» волновая поверхность. К наиболее простым видам геометрических поверхностей относятся сфера и плоскость. Со- ответственно, имеем два важных случая волновых процессов с волновыми поверхностями такой формы — это сферические и плоские волны. 2.2 Сферическая волна Волна называется сферической, если её волновые поверхности — сферы (рис. 1 ). Рис. 1. Сферическая волна Волновые поверхности показаны синим пунктиром, а зелёные радиальные стрелки — это лучи, перпендикулярные волновым поверхностям. Понятие сферической волны оказывается чрезвычайно полезным. В самом деле, возьмём прозрачную однородную среду, физические свойства которой одинаковы вдоль всех направле- ний. Точечный источник света, помещённый в такую среду, излучает сферические волны (это понятно — ведь свет пойдёт в каждом направлении с одинаковой скоростью, так что любая волновая поверхность будет сферой). Ну а протяжённый источник света можно рассматривать 4 как совокупность точечных источников, и наложение сферических волн этих источников даст общую световую волну, идущую от протяжённого источника. Кроме того, обсуждаемые ниже вторичные волны (центральное понятие принципа Гюйген- са) являются именно сферическими. 2.3 Плоская волна Волна называется плоской, если её волновые поверхности — плоскости (рис. 2 ). Рис. 2. Плоская волна Синим пунктиром показаны параллельные плоскости, являющиеся волновыми поверхностя- ми. Лучи — зелёные стрелки — снова оказываются прямыми линиями. Плоская волна — одна из важнейших идеализаций волновой теории; математически она описывается наиболее просто. Этой идеализацией можно пользоваться, например, когда мы находимся на достаточно большом расстоянии от источника. Тогда в окрестности точки на- блюдения можно пренебречь искривлением сферической волновой поверхности и считать волну приблизительно плоской. В дальнейшем, выводя законы отражения и преломления из принципа Гюйгенса, мы будем использовать именно плоские волны. Но сначала разберёмся с самим принципом Гюйгенса. 2.4 Вторичные волны Мы говорили выше, что распространение волн удобно представлять себе как движение волно- вых поверхностей. Но согласно каким правилам перемещаются волновые поверхности? Иными словами — как, зная положение волновой поверхности в данный момент времени, определить её положение в следующий момент? Ответ на этот вопрос даёт принцип Гюйгенса — ключевое утверждение волновой теории света. Принцип Гюйгенса имеет весьма общую формулировку и равным образом справедлив как для механических, так и для электромагнитных волн. Вначале, чтобы лучше понять идею Гюйгенса, давайте рассмотрим такой пример. Бросим в воду горсть камней. От каждого камня пойдёт круговая волна с центром в точке падения камня. Эти круговые волны, накладываясь друг на друга, создадут общую волновую карти- ну на поверхности воды. Важно то, что все круговые волны и порождённая ими волновая картина будут существовать и после того, как камни опустятся на дно. Стало быть, непосред- ственной причиной исходных круговых волн служат не сами камни, а локальные возмущения поверхности воды в тех местах, куда камни упали. Именно локальные возмущения сами по себе являются источниками расходящихся круговых волн и формирующейся волновой картины, и уже не столь важно, что конкретно послужило причиной каждого из этих возмущений — ка- мень ли, поплавок или какой-то иной объект. Для описания последующего волнового процесса существенно только то, что в начальный момент времени в определённых точках поверхности воды возникли круговые волны. 5 Так вот, основная идея Гюйгенса состояла в том, что локальные возмущения могут порож- даться не только посторонними объектами типа камня или поплавка, но также и распростра- няющейся в пространстве волной! Принцип Гюйгенса. Каждая точка пространства, вовлечённая в волновой процесс, сама становится источником сферических волн. Эти сферические волны, распространяющиеся во все стороны от каждой точки волнового возмущения, называются вторичными волнами. Последующая эволюция волнового процесса состоит в наложении вторичных волн, испущенных всеми точками, до которых волновой про- цесс уже успел добраться. И вот тут возникает самый главный вопрос: а что такое «наложение вторичных волн»? Что представляет собой с физической точки зрения этот процесс и как он описывается математи- чески? Чёткий ответ был дан Френелем в 1815 году: вторичные волны интерферируют друг с дру- гом, и наблюдаемый волновой процесс есть результат интерференции вторичных волн. Фре- нель разработал математический способ нахождения суммарного волнового поля (метод зон Френеля), а модифицированный Френелем принцип Гюйгенса с тех пор называется принципом Гюйгенса–Френеля. Но сам Гюйгенс сформулировал свой принцип в 1678 году, когда об интерференции волн ещё не было ничего известно. Гюйгенс предложил лишь геометрический рецепт построения волновой поверхности в момент времени t + ∆t по известному её положению в текущий момент времени t (рис. 3 ). t t + ∆t Рис. 3. Принцип Гюйгенса: движение волновых поверхностей Именно, каждую точку исходной волновой поверхности мы рассматриваем как источник вторичных волн. За время ∆t вторичные волны пройдут расстояние c∆t, где c — скорость вол- ны. Из каждой точки старой волновой поверхности строим сферы радиуса c∆t; новая волновая поверхность будет касательной ко всем этим сферам 2 Этот геометрический рецепт мы и называем «чистым» принципом Гюйгенса. Конечно, для построения волновой поверхности мы не обязаны брать вторичные волны, ис- пущенные точками, лежащими непременно на одной из предыдущих волновых поверхностей. Искомая волновая поверхность будет огибающей семейства вторичных волн, излучённых точка- ми вообще всякой поверхности, вовлечённой в колебательный процесс. Выбор этой поверхности в каждой конкретной ситуации диктуется соображениями удобства. С помощью своего принципа Гюйгенс пытался объяснить прямолинейное распространение света, но сделать этого ему не удалось. Как оказалось впоследствии, вопрос о прямолинейном распространении света решается только в рамках теории дифракции, которую «чистый» прин- цип Гюйгенса также не объясняет. Для истолкования дифракционных явлений нужен более мощный принцип Гюйгенса–Френеля. Но и «чистый» принцип Гюйгенса весьма силён: с его помощью могут быть получены законы отражения и преломления света. 2 Говорят ещё, что волновая поверхность в любой момент времени служит огибающей семейства вторичных волн. 6 2.5 Вывод закона отражения Предположим, что на поверхность KL раздела двух сред падает плоская волна (рис. 4 ). Фик- сируем две точки A и B этой поверхности. K L A B P 1 P 2 Q 1 Q 2 N α ϕ S T Рис. 4. Отражение волны В эти точки приходят два падающих луча P 1 A и P 2 B; плоскость AS, перпендикулярная этим лучам, есть волновая поверхность падающей волны. В точке A проведена нормаль AN к отражающей поверхности. Угол α = ∠P 1 AN есть, как вы помните, угол падения. Из точек A и B выходят отражённые лучи AQ 1 и BQ 2 . Перпендикулярная этим лучам плос- кость BT есть волновая поверхность отражённой волны. Угол отражения ∠NAQ 1 обозначим пока ϕ; мы хотим доказать, что ϕ = α. Все точки отрезка AB служат источниками вторичных волн. Раньше всего волновая поверх- ность AS приходит в точку A. Затем, по мере движения падающей волны, в колебательный процесс вовлекаются другие точки данного отрезка, и в самую последнюю очередь — точка B. Соответственно, раньше всего начинается излучение вторичных волн в точке A; сферическая волна с центром в A имеет на рис. 4 наибольший радиус. По мере приближения к точке B радиусы сферических вторичных волн, испущенных промежуточными точками, уменьшаются до нуля — ведь вторичная волна будет излучена тем позже, чем ближе её источник находится к точке B. Волновая поверхность BT отражённой волны есть плоскость, касательная ко всем этим сферам. На нашем планиметрическом чертеже BT есть отрезок касательной, проведённой из точки B к самой большой окружности с центром в A и радиусом AT . Теперь заметим, что радиус AT — это расстояние, пройденное вторичной волной с центром в A за то время, пока волновая поверхность AS двигается к точке B. Скажем это чуть по- другому: время движения вторичной волны от точки A до точки T равно времени движения падающей волны от точки S до точки B. Но скорости движения падающей и вторичной волн совпадают — ведь дело происходит в одной и той же среде! Поэтому, раз совпадают скорости и времена, то равны и расстояния: AT =BS. Получается, что прямоугольные треугольники ABT и ABS равны по гипотенузе и катету. Стало быть, равны и соответствующие острые углы: ∠ABT = ∠BAS. Остаётся заметить, что ∠ABT = ϕ (так как оба они равны 90 ◦ − ∠BAT ) и ∠BAS = α (оба они равны 90 ◦ − ∠NAS). Таким образом, ϕ = α — угол отражения равен углу падения, что и требовалось. Кроме того, из построения на рис. 4 нетрудно видеть, что выполнено и второе утверждение закона преломления: падающий луч P 1 A, отражённый луч AQ 1 и нормаль AN к отражающей поверхности лежат в одной плоскости. 7 2.6 Вывод закона преломления Теперь покажем, как из принципа Гюйгенса следует закон преломления. Будем для определён- ности считать, что плоская электромагнитная волна распространяется в воздухе и падает на границу KL с некоторой прозрачной средой (рис. 5 ). Как обычно, угол падения α есть угол между падающим лучом и нормалью к поверхности, угол преломления β — это угол между преломлённым лучом и нормалью. K L A B d P 1 P 2 Q 1 Q 2 N α α β β S T Рис. 5. Преломление волны Точка A является первой точкой отрезка AB, которой достигает волновая поверхность AS падающей волны; в точке A излучение вторичных волн начинается раньше всего. Пусть t — время, которое с этого момента требуется падающей волне, чтобы достичь точки B, то есть пройти отрезок SB. Скорость света в воздухе обозначим c, скорость света в среде пусть будет v. Пока падаю- щая волна проходит расстояние SB = ct и достигает точки B, вторичная волна из точки A распространится на расстояние AT = vt. Поскольку v < c, то AT < SB. Вследствие этого волновая поверхность BT не параллельна волновой поверхности AS — происходит преломление света! В рамках геометрической опти- ки не давалось никакого объяснения того, почему вообще наблюдается явление преломления. Причина преломления кроется в волновой природе света и становится понятной с точки зрения принципа Гюйгенса: всё дело в том, что скорость вторичных волн в среде меньше скорости света в воздухе, и это приводит к повороту волновой поверхности BT относительно исходного положения AS. Из прямоугольных треугольников ABS и ABT легко видеть, что SB = d sin α и BT = d sin β (для краткости обозначено d = AB). Имеем, таким образом: d sin α = ct, d sin β = vt. Поделив эти уравнения друг на друга, получим: sin α sin β = c v Отношение синуса угла падения к синусу угла преломления оказалось равно постоянной ве- личине c/v, не зависящей от угла падения. Эта величина называется показателем преломления 8 среды: n = c v Получился хорошо известный нам закон преломления: sin α sin β = n. Обратите внимание: физический смысл показателя преломления (как отношения скоростей света в вакууме и в среде) прояснился опять-таки благодаря принципу Гюйгенса. Из рис. 5 очевидно и второе утверждение закона преломления: падающий луч P 1 A, прелом- лённый луч AQ 1 и нормаль AN к границе раздела лежат в одной плоскости. 9 3 Интерференция волн Изучая принцип Гюйгенса, мы говорили о том, что общая картина волнового процесса создаётся наложением вторичных волн и сказали пару слов про интерференцию. Сейчас мы займёмся этим явлением подробнее. Итак: в чём состоит физический смысл наложения волн? Что вообще происходит, когда в пространстве одновременно распространяются несколько волн? В данном разделе оптический характер явлений временно отодвигается на второй план. Природа рассматриваемых волновых процессов сейчас значения не имеет — это могут быть механические волны в упругой среде или электромагнитные волны (в частности, свет) в про- зрачной среде или в вакууме. Полученные нами результаты будут одинаково справедливы для всех видов волн. Нас в первую очередь интересует взаимодействие двух волн — это самая простая и часто встречающаяся в оптике ситуация 3 3.1 Сложение колебаний Опыт показывает, что волны складываются друг с другом в следующем смысле. Принцип суперпозиции. Если две волны накладываются друг на друга в определённой обла- сти пространства, то они порождают новый волновой процесс. При этом значение колеблю- щейся величины в любой точке данной области равно сумме соответствующих колеблющихся величин в каждой из волн по отдельности. Например, при наложении двух механических волн перемещение частицы упругой среды равно сумме перемещений, создаваемых в отдельности каждой волной. При наложении двух электромагнитных волн напряжённость электрического поля в данной точке равна сумме на- пряжённостей в каждой волне (и то же самое для индукции магнитного поля). Разумеется, принцип суперпозиции справедлив не только для двух, но и вообще для любого количества накладывающихся волн. Результирующее колебание в данной точке всегда равно сумме колебаний, создаваемых каждой волной по отдельности. Мы ограничимся рассмотрением наложения двух волн одинаковой амплитуды и частоты. Этот случай наиболее часто встречается в физике и, в частности, в оптике. Оказывается, на амплитуду результирующего колебания сильно влияет разность фаз скла- дывающихся колебаний. В зависимости от разности фаз в данной точке пространства две волны могут как усиливать друг друга, так и полностью гасить! Предположим, например, что в некоторой точке фазы колебаний в накладывающихся вол- нах совпадают (рис. 6 ). Рис. 6. Волны в фазе: усиление колебаний Мы видим, что максимумы красной волны приходятся в точности на максимумы синей вол- ны, минимумы красной волны — на минимумы синей (левая часть рис. 6 ). Красная и синяя волны складываются в фазе и усиливают друг друга, порождая колебания удвоенной ампли- туды (волна цвета маджента 4 справа на рис. 6 ). 3 Сложение нескольких волн — так называемая многолучевая интерференция — у нас возникнет лишь при рассмотрении дифракционной решётки, и то в своём простейшем виде. 4 Маджента — цвет, получающийся в результате смешения красного и синего цветов. К рассматриваемой теме данная ремарка отношения не имеет — это просто для расширения кругозора ;-) 10 Теперь сдвинем синюю синусоиду относительно красной на половину длины волны. Тогда максимумы синей волны будут совпадать с минимумами красной и наоборот — минимумы синей волны совпадут с максимумами красной (рис. 7 , слева). Рис. 7. Волны в противофазе: гашение колебаний Колебания, создаваемые этими волнами, будут происходить, как говорят, в противофазе — разность фаз колебаний станет равна π. Результирующее колебание окажется равным нулю, т. е. красная и синяя волны попросту уничтожат друг друга (рис. 7 , справа). 3.2 Интенсивность волны Энергетической характеристикой волны является её интенсивность (называемая также плот- ностью потока излучения): I = W St (1) Здесь W — энергия, которая переносится за время t через поверхность площади S, располо- женную перпендикулярно лучам. Таким образом, интенсивность I — это энергия, переносимая волной вдоль лучей через единицу площади в единицу времени. Пусть w — объёмная плотность энергии волны, то есть отношение переносимой волной энер- гии W к объёму области, через которую эта энергия переносится: w = W V Оказывается, объёмная плотность энергии пропорциональна квадрату амплитуды A колеба- ний в волне: w ∼ A 2 . Подробно мы вдаваться в этот вопрос не будем, но полезной ассоциацией тут служит известная вам формула w = ε 0 εE 2 /2 для объёмной плотности энергии электриче- ского поля. Далее, имеется простое соотношение между интенсивностью и объёмной плотноcтью энер- гии: I = wc, где c — скорость волны (эта формула вам встречалась, когда вы проходили электромагнитные волны). Отсюда следует, что интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды колебаний: I ∼ A 2 . Можно сказать и по-другому: амплитуда колебаний пропорциональна квадратному корню из интенсивности: A ∼ √ I. В сферической волне энергия равномерно распределяется по поверхности сферы, радиус r которой увеличивается в процессе распространения волны. Площадь поверхности сферы есть S = 4πr 2 , поэтому из формулы ( 1 ) для интенсивности сферической волны получим: I = W 4πr 2 t Как видим, интенсивность сферической волны обратно пропорциональна квадрату рассто- яния до источника. Поскольку амплитуда колебаний A, как мы выяснили, пропорциональна корню из интенсив- ности, мы приходим к следующему выводу: амплитуда колебаний в сферической волне обратно пропорциональна расстоянию до источника. 11 3.3 Когерентные источники Пусть имеются два точечных источника, создающие волны в окружающем пространстве. Мы полагаем, что эти источники согласованы друг с другом в следующем смысле. Когерентность. Два источника называются когерентными, если они имеют одинаковую ча- стоту и постоянную, не зависящую от времени разность фаз. Волны, возбуждаемые такими источниками, также называются когерентными. Итак, рассматриваем два когерентных источника S 1 и S 2 . Для простоты считаем, что ис- точники излучают волны одинаковой амплитуды, а разность фаз между источниками равна нулю. Словом, эти источники являются «точными копиями» друг друга. В оптике такие идентичные источники могут быть получены разными способами. Напри- мер, оба источника S 1 и S 2 служат изображениями одного и того же источника S в какой-либо оптической системе. Именно так работает интерференционная схема с зеркалами Френеля, рас- сматриваемая в следующем разделе. Наложение волн, излучённых источниками S 1 и S 2 , наблюдается в некоторой точке P . Во- обще говоря, амплитуды этих волн в точке P не будут равны друг другу — ведь, как мы только что выяснили, амплитуда сферической волны обратно пропорциональна расстоянию до источ- ника, и при разных расстояниях S 1 P и S 2 P амплитуды пришедших волн окажутся различными. Но во многих случаях точка P расположена достаточно далеко от источников — на расстоянии гораздо большем, чем расстояние между самими источниками. В такой ситуации различие в расстояниях S 1 P и S 2 P не приводит к существенному отличию в амплитудах приходящих волн. Следовательно, мы можем считать, что амплитуды волн в точке P также совпадают. 3.4 Условие максимума и минимума Тем не менее, величина δ = |S 1 P − S 2 P |, называемая разностью хода, имеет важнейшее значе- ние. От неё самым решительным образом зависит то, какой результат сложения приходящих волн мы увидим в точке P . S 1 S 2 P Рис. 8. Усиление колебаний в точке P В ситуации на рис. 8 разность хода равна длине волны (δ = λ). Действительно, на отрезке S 1 P укладываются три полных волны, а на отрезке S 2 P — четыре (это, конечно, лишь иллю- страция; в оптике, например, длины таких отрезков могут составлять тысячи и миллионы длин волн). Легко видеть, что волны в точке P складываются в фазе — наблюдается, как говорят, интерференционный максимум. Если красная и синяя волны имеют амплитуду A 1 , то резуль- тирующая волна в точке P будет иметь удвоенную амплитуду A = 2A 1 . Интенсивность резуль- тирующей волны, пропорциональная квадрату амплитуды, будет соответственно в четыре раза превышать интенсивность волн-слагаемых: I = 4I 1 Ясно, что аналогичная ситуация возникнет при разности хода, равной не только длине вол- ны, но и любому целому числу длин волн. 12 Условие максимума. При наложении когерентных волн колебания в данной точке будут иметь максимальную амплитуду, если разность хода равна целому числу длин волн: δ = nλ (n = 0, 1, 2, . . .). (2) Теперь посмотрим на рис. 9 . На отрезке S 1 P укладываются две с половиной волны, а на отрезке S 2 P — три волны. Разность хода составляет половину длины волны (δ = λ/2). S 1 S 2 P Рис. 9. Гашение колебаний в точке P Теперь нетрудно видеть, что волны в точке P складываются в противофазе и гасят друг друга — наблюдается интерференционный минимум. Амплитуда и интенсивность результиру- ющей волны в точке минимума равны нулю. То же самое будет, если разность хода окажется равна половине длины волны плюс любое целое число длин волн. Условие минимума. Когерентные волны, складываясь, гасят друг друга, если разность хода равна полуцелому числу длин волн: δ = nλ + λ 2 (n = 0, 1, 2, . . .). (3) Равенство ( 3 ) можно переписать следующим образом: δ = (2n + 1) λ 2 Поэтому условие минимума формулируют ещё так: разность хода должна быть равна нечёт- ному числу длин полуволн. 3.5 Интерференционная картина |