Графические работы по НГ. И. Ю. Скобелева, И. А. Ширшова, М. Л. Мухина л. В. Павлова, В. В. Князьков, В. А. Мухин начертательная геометрия
 Скачать 6.47 Mb.
|
|
А4. Текст располагается симметрично относительно вертикальной оси рабочего поля листа. Переносы слов не допускаются. Цифры, приведенные в окружностях, обозначают высоту шрифта. Рис. 3.7. Оформление титульного листа 17 4. ПОЗИЦИОНЫЕ ЗАДАЧИ Позиционными называются задачи, в которых определяется взаимное расположение различных геометрических объектов относительно друг друга. К ним, в частности, относятся задачи на взаимопринадлежность (например, определение принадлежности точки линии или поверхности) и задачи на пересечение геометрических объектов (например, определение линии пересечения двух плоскостей или поверхностей). Позиционные задачи, в которых определяются общие элементы (точки или линии) геометрических объектов, подразделяются на первую и вторую позиционные. К первой позиционной относятся все задачи, в которых определяются точки (одна или несколько) пересечения геометрических объектов. Ко второй позиционной – все задачи, в которых определяется линия (одна или несколько) взаимного пересечения геометрических объектов. Из всего разнообразия позиционных задач, относящихся к элементарным геометрическим объектам (точка, прямая, плоскость), выделим задачи на определение взаимного расположения прямой и плоскости и взаимного расположения двух плоскостей. Прямая по отношению к плоскости может занимать три различных положения: прямая l лежит в плоскости (рис. 4.1, а); прямая n параллельна плоскости (рис. 4.1, б); прямая d пересекается с плоскостью (рис. 4.1, в). Если прямая принадлежит, пересекается или параллельна плоскости, то, вместе с тем, она будет соответственно совпадать или пересекаться с какой-нибудь прямой этой плоскости или будет ей параллельна. Поэтому определение взаимного расположения прямой и плоскости, в общем случае, сводится к определению взаимного расположения двух прямых: а) б) в) Рис. 4.1. Относительное положение прямой и плоскости: а – α l ; б – β || n ; в – γ d 18 данной прямой и вспомогательной прямой, принадлежащей данной плоскости. Рассмотрим задачу на определение взаимного расположения прямой общего положения с плоскостью общего положения, которая называется первой позиционной задачей. Алгоритм решения задачи в общем виде состоит в следующем (рис. 4.2): 1. Прямую заключить во вспомогательную плоскость частного положения: a β. 2. Определить линию l как линию пересечения вспомогательной и заданной плоскостей l=α(ABC) β. 3. Определить взаимное положение заданной прямой a и полученной прямой l. Поскольку прямые a и l лежат в одной плоскости, они могут пересекаться, быть параллельными или совпадать. Точка пересечения K=a l будет искомой точкой пересечения прямой а с плоскостью α(ABC). Если прямые a и l параллельны, то прямая а параллельна плоскости α(ABC). Если прямые a и l совпадут, то прямая а лежит в плоскости α(ABC). Определение взаимного расположения прямой a(a 1 ,a 2 )и плоскости α(ABC) на комплексном чертеже (рис. 4.3): 1. Заключить прямую a(a 1 ,a 2 ) во вспомогательную фронтально- проецирующую плоскость β(β 2 ). 2. Определить линию пересечения l(1–2) вспомогательной плоскости β(β 2 ) и заданной плоскости α(ABC): l= α(ABC) β(β 2 ); l 2 =β 2 ; l 1 =(1 1 –2 2 ). 3. Определить взаимное положение заданной прямой a и полученной прямой l. В данном случае, прямые a и l пересекаются в точке K, которая и является искомой точкой пересечения прямой a(a 1 ,a 2 ) и плоскости α(ABC): l 1 ×a 1 =K 1 ; K 2 a 2 ; K= a(a 1 ,a 2 )×α(ABC). Рис. 4.2. Пересечение прямой общего положения и плоскости общего положения 19 4. Считая плоскость непрозрачной, определить видимость прямой a(a 1 ,a 2 ) относительно плоскости α(ABC). A 2 A 1 С 1 С 2 В 2 В 1 a 2= l 2 a 1 2 2= 3 2 K 2 1 2 2 1 K 1 1 1 3 1 4 1= 5 1 5 2 4 2 l 1 Для определения видимости относительно горизонтальной плоскости проекций необходимо найти конкурирующие точки – точки, горизонтальные проекции которых совпадают. Прямые a и (AB) в пространстве являются скрещивающимися (точки пересечения проекций не лежат на одной линии связи), поэтому для определения видимости прямой относительно плоскости достаточно определить видимость прямой a относительно прямой (AB). Для этого рассмотрим две конкурирующие точки: 5 – на прямой a и 4 – на прямой (AB). Высота точки 5 больше, следовательно, на П 1 видима прямая a. Видимость прямой a по отношению к плоскости α(ABC) на фронтальной плоскости проекций определяется с помощью конкурирующих точек 2 – на прямой (AC) и 3 – на прямой a. Глубина точки 3 больше, следовательно, видима будет прямая a. К основным позиционным задачам относится задача об определении взаимного положения двух плоскостей. Две плоскости в пространстве могут совпадать, пересекаться или быть параллельными. Вторая позиционная задача – это задача об определении линии пересечения двух плоскостей. Рис. 4.3. Пересечение прямой a(a 1 ,a 2 ) и плоскости α(ABC) 20 Наглядное изображение решения второй позиционной задачи показано на рис. 4.4. Алгоритм решения второй позиционной задачи состоит в следующем: 1. Заданные плоскости (a||b) и (c d) пересечь вспомогательной плоскостью частного положения 2. Определить линии пересечения m и n вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей: (a||b)=m; (c d)=n. 3. Определить точку M пересечения линий m и n. Точка M принадлежит прямой m, а, следовательно, и плоскости (a||b). Точка M принадлежит прямой n, следовательно, и плоскости (c d). Таким образом, точка M принадлежит обеим плоскостям, то есть является одной из точек линии пересечения. 4. Вторую точку линии пересечения определяют аналогично, рассекая плоскости (a||b) и (c d) вспомогательной плоскостью частного положения ′. Определение линии пересечения двух плоскостей общего положения α(a||b) и β(c×d) на комплексном чертеже (рис. 4.5): 1. Пересечь данные плоскости вспомогательной фронтально- проецирующей плоскостью γ(γ 2 ) П 2 Рис. 4.4. Пересечение двух плоскостей общего положения 21 2. Определить линии пересечения вспомогательной плоскости с каждой из заданных плоскостей: m(1, 2)= γ(γ 2 ) α(a||b); 1 1 =a 1 × γ 1 ; 2 1 =b 1 × γ 1 ; m 2 = γ 2 ; n(3, 4)= γ(γ 2 ) β(c×d); 3 1 =d 1 × γ 1 ; 4 1 =c 1 × γ 1 ; n 2 = γ 2 . 3. Определить точку пересечения прямых n и m: M=n×m. 4. Точка M m M α(a||b); M n M β(c×d),таким образом, точка M является одной из точек искомой линии пересечения плоскостей. 5. Точка M′ определяется аналогично, с помощью второй вспомогательной плоскости ′( ′ 2 ). 6. Через полученные точки Mи M′ провести прямую l. Прямая l – искомая линия пересечения плоскостей α(a||b) и β(c×d). b 2 2 n 2 m 2 ' 2 n' 2 m' 2 a 2 c 2 d 2 a 1 b 1 c 1 d 1 1' 2 2' 2 M' 2 3' 2 4' 2 4 2 3 2 M 2 2 2 1 2 1 1 1' 1 2 1 2' 1 3' 1 4' 1 4 1 3 1 M' 1 M 1 n' 1 n 1 m 1 m' 1 l 2 l 1 Рис. 4.5. Вторая позиционная задача Построение линии пересечения плоскостей, заданных многоугольниками, можно упростить, если вспомогательные проецирующие плоскости проводить не произвольно, а через какие-либо две из сторон многоугольников. Отсюда следует вывод: для того чтобы построить линию пересечения двух треугольных пластин, необходимо дважды решить задачу о пересечении стороны одного треугольника с плоскостью другого – первую позиционную задачу. 22 4.1. ГРАФИЧЕСКАЯ РАБОТА 1 ПОСТРОЕНИЕ ЛИНИИ ПЕРЕСЕЧЕНИЯ ТРЕУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН Графическая работа выполняется на листе чертежной бумаги формата А4. Варианты индивидуальных заданий представлены в табл. 3.3. Порядок выполнения работы: 1. Построить в тонких линиях двухкартинный комплексный чертеж треугольных пластин по заданным координатам вершин (рис. 4.6, а). A 2 B 2 E 2 C 2 F 2 D 2 A 1 D 1 F 1 C 1 E 1 B 1 x 12 y 1 z 2 2. Пластины представляют собой ограниченные участки плоскостей общего положения α(ABC) и (DEF), следовательно, задача сводится к определению линии их пересечения. Линией пересечения плоскостей является прямая, для однозначного определения которой достаточно двух точек. Первая точка – точка M (рис. 4.7), – определяется как точка пересечения стороны DE треугольника DEF с плоскостью α(ABC) (первая позиционная задача): прямую DE заключить во вспомогательную фронтально- проецирующую плоскость γ(γ 2 ) (рис. 4.7); Рис. 4.6. Пересечение пластин а – двухкартинный комплексный чертеж; б – наглядное изображение a) б) 23 определить линию пересечения m вспомогательной плоскости γ(γ 2 ) и плоскости α(ABC). Линия m строится по двум точкам: точка 1 = γ(γ 2 ) × AB; точка 2 = γ(γ 2 ) × BC; определить точку пересечения прямых m (m 1 , m 2 ) и DE: M 1 = D 1 E 1 × m 1 ; M 2 = M 1 M 2 × D 2 E 2 A 2 B 2 E 2 C 2 F 2 D 2 A 1 D 1 F 1 C 1 E 1 B 1 x 12 y 1 z 2 2 =m 2 1 2 2 2 M 1 1 1 2 1 M 2 m 1 Вторую точку линии пересечения – точку N определить аналогично. 3. При необходимости полученную линию нужно ограничить в области перекрытия проекций. 4. Считая пластины непрозрачными, определить видимость сторон методом конкурирующих точек (рис. 4.8). На фронтальной плоскости конкурирующие точки находятся в точке наложения проекций прямых B 2 C 2 и D 2 F 2 При этом точка K принадлежит прямой BC, а точка L - прямой DF. Надо построить горизонтальные проекции точек K и L и сравнить их глубины. Рис. 4.7. Построение первой точки линии пересечения 24 Горизонтальная проекция точки K лежит ниже (глубина точки K больше чем глубина точки L), следовательно, на П 2 видима сторона BC. Таким образом, фронтальная проекция стороны AC полностью видима, а фронтальная проекция стороны AB невидима между точками, конкурирующими со сторонами DF и DE. N 1 M 1 N 2 M 2 A 2 B 2 E 2 C 2 F 2 D 2 A 1 D 1 F 1 C 1 E 1 B 1 x 12 y 1 z 2 K 2 =L 2 K 1 L 1 P 1 =R 1 P 2 R 2 На горизонтальной плоскости конкурирующие точки находятся в точке наложения проекций сторон AB и DF. При этом точка R принадлежит стороне AB, а точка P - стороне DF. Фронтальная проекция точки R лежит выше (ее высота больше), следовательно, видима сторона AB. Сторона AC видима полностью, а сторона BC невидима между точками, конкурирующими со сторонами DF и DE. 5. Линии видимого контура и линию пересечения пластин обвести сплошной толстой основной линией (см. табл. 3.2), невидимые линии – штриховой, линии построений – сплошной тонкой (см. табл. 3.2). Пример выполнения графической работы 1 «Пересечение пластин» приведен на рис. 4.9. Рис. 4.8. Определение видимости |