Идз по теории чисел

• Название: Идз по теории чисел
• Дата: 12.11.2022
• Размер: 306.01 Kb.
• Имя файла: IDZ_NT.pdf
• Тип: Документы; #784305
• страница: 2 из 6

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 300000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 617400.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 403.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 18!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 25.
27

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −106.
a
2
= 43.
a
3
= 87.
a
4
= 85.
a
5
= −64.
a
6
= −1.
a
7
= 39.
a
8
= 45.
a
9
= 119.
a
10
= −86.
a
11
= −55.
a
12
= −44.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 12.
a
1
= 43.
a
2
= −1.
a
3
= 73.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 2804.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 26364, p = 13.
28

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 13310.
23. Найти остаток от деления числа 645 352
на 41.
24. Найти остаток от деления числа 385 286
на 60.
25. Найти три последние цифры числа 559 480 26. Найти три последние цифры числа 410 297 27. Найти частное q
4
разложении дроби
196 375
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
218 115
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
167 233
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 8, 2, 2, 1, 1, 1, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
480 1170 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
75x ≡ 90(mod 43).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
70x ≡ 413(mod 63).
34. Решить сравнение
97x ≡ 108(mod 12).
35. Решить сравнение
145x ≡ 139(mod 17).
36. Решить сравнение
100x ≡ 405(mod 85).
37. Решить сравнение
50x ≡ 290(mod 65).
29

7
Вариант для И.А.К.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2626, b = 177.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1557, b = 267.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 72, q = 61.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 161, r = 30.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 348, r = 62.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 1316, q = 136.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 572, b = 224.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1584, d = 33.
30

9. Найти НОК чисел a и b a = 510, b = 117.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 303, b = 210, c = 447.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 351, b = 201, c = 411.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 44, n = 113.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 41087970000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1125.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 1092.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 24!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 15.
31

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= 39.
a
2
= 47.
a
3
= 50.
a
4
= −9.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 18.
a
1
= −137.
a
2
= 95.
a
3
= −71.
a
4
= −109.
a
5
= 47.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1082.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 14406, p = 7.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 2058.
23. Найти остаток от деления числа 614 229
на 23.
24. Найти остаток от деления числа 325 296
на 39.
25. Найти три последние цифры числа 399 488 32

26. Найти три последние цифры числа 644 471 27. Найти частное q
5
разложении дроби
196 422
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
157 212
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
5
разложении дроби
376 471
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 1, 1, 1, 11, 1, 3].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
928 1248 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
34x ≡ 67(mod 55).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
84x ≡ 356(mod 40).
34. Решить сравнение
192x ≡ 177(mod 73).
35. Решить сравнение
153x ≡ 124(mod 91).
36. Решить сравнение
100x ≡ 164(mod 128).
37. Решить сравнение
92x ≡ 388(mod 140).
33

8
Вариант для И.Е.В.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1705, b = 107.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1653, b = 164.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 94, q = 65.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 297, r = 63.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 539, r = 43.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 6181, q = 60.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 795, b = 231.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1040, d = 26.
34

9. Найти НОК чисел a и b a = 792, b = 209.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 618, b = 267, c = 741.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 315, b = 203, c = 938.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 12, n = 162.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 4573800000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1323000.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 2280.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 14!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 6.
35

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −10.
a
2
= 22.
a
3
= 93.
a
4
= 35.
a
5
= −93.
a
6
= −47.
a
7
= −4.
a
8
= −2.
a
9
= −74.
a
10
= 92.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 18.
a
1
= −103.
a
2
= −145.
a
3
= 49.
a
4
= −161.
a
5
= −47.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 4824.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 342732, p = 13.
36

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 22717712.
23. Найти остаток от деления числа 583 279
на 49.
24. Найти остаток от деления числа 416 377
на 42.
25. Найти три последние цифры числа 317 271 26. Найти три последние цифры числа 695 387 27. Найти частное q
4
разложении дроби
296 193
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
4
разложении дроби
218 171
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
214 154
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 1, 1, 2, 5, 1, 6].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
456 1020 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
32x ≡ 42(mod 49).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
88x ≡ 244(mod 28).
34. Решить сравнение
37x ≡ 118(mod 13).
35. Решить сравнение
32x ≡ 96(mod 93).
36. Решить сравнение
85x ≡ 265(mod 75).
37. Решить сравнение
100x ≡ 148(mod 84).
37

9
Вариант для К.А.М.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2942, b = 238.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2999, b = 297.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 99, q = 93.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 278, r = 99.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 355, r = 49.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 4686, q = 95.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 985, b = 175.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1998, d = 37.
38

9. Найти НОК чисел a и b a = 885, b = 160.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 318, b = 270, c = 942.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 369, b = 195, c = 660.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 46, n = 166.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 38500000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1715.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 12400.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 21!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 10.
39

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −21.
a
2
= −15.
a
3
= 94.
a
4
= −74.
a
5
= 81.
a
6
= −80.
a
7
= 32.
a
8
= −108.
a
9
= −12.
a
10
= −100.
a
11
= 56.
a
12
= 142.
a
13
= −121.
a
14
= 83.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 10.
a
1
= 101.
a
2
= −97.
a
3
= −13.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1292.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 78608, p = 17.
40

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 342732.
23. Найти остаток от деления числа 418 465
на 45.
24. Найти остаток от деления числа 343 308
на 42.
25. Найти три последние цифры числа 323 360 26. Найти три последние цифры числа 515 350 27. Найти частное q
4
разложении дроби
327 255
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
8
разложении дроби
221 302
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
219 427
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 2, 2, 6, 1, 8].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
962 507 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
62x ≡ 66(mod 37).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
90x ≡ 534(mod 78).
34. Решить сравнение
137x ≡ 124(mod 49).
35. Решить сравнение
87x ≡ 104(mod 95).
36. Решить сравнение
60x ≡ 196(mod 92).
37. Решить сравнение
65x ≡ 445(mod 120).
41

10
Вариант для К.К.С.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2423, b = 248.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1616, b = 139.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 103, q = 47.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 111, r = 68.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 313, r = 45.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 9743, q = 52.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 813, b = 114.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 540, d = 9.
42

9. Найти НОК чисел a и b a = 336, b = 276.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 708, b = 272, c = 100.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 332, b = 288, c = 996.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 49, n = 259.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 677600.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 41160.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 2280.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 28!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 6.
43

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= 10.
a
2
= −64.
a
3
= −6.
a
4
= −7.
a
5
= −52.
a
6
= 47.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 18.
a
1
= −79.
a
2
= 185.
a
3
= −11.
a
4
= −95.
a
5
= −73.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 4437.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 13310, p = 11.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 294.
23. Найти остаток от деления числа 537 204
на 46.
24. Найти остаток от деления числа 549 456
на 57.
44

25. Найти три последние цифры числа 563 365 26. Найти три последние цифры числа 415 386 27. Найти частное q
6
разложении дроби
399 444
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
398 344
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
5
разложении дроби
265 490
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 2, 1, 1, 1, 1, 1, 3, 1, 1, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
910 740 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
97x ≡ 98(mod 24).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
92x ≡ 196(mod 40).
34. Решить сравнение
62x ≡ 83(mod 97).
35. Решить сравнение
151x ≡ 186(mod 12).
36. Решить сравнение
63x ≡ 448(mod 91).
37. Решить сравнение
35x ≡ 427(mod 112).
45

11
Вариант для К.Т.И.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1127, b = 205.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1924, b = 260.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 103, q = 46.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 297, r = 51.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 657, r = 48.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 9138, q = 81.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 348, b = 160.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 714, d = 17.
46

9. Найти НОК чисел a и b a = 856, b = 100.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 428, b = 276, c = 772.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 387, b = 177, c = 291.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 49, n = 110.