Идз по теории чисел

• Название: Идз по теории чисел
• Дата: 12.11.2022
• Размер: 306.01 Kb.
• Имя файла: IDZ_NT.pdf
• Тип: Документы; #784305
• страница: 3 из 6

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 363000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 46305.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 403.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 26!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 10.
47

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −19.
a
2
= 33.
a
3
= −96.
a
4
= −85.
a
5
= 42.
a
6
= −83.
a
7
= 46.
a
8
= −40.
a
9
= −62.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 20.
a
1
= 149.
a
2
= 27.
a
3
= −141.
a
4
= 41.
a
5
= −117.
a
6
= −107.
a
7
= −49.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 2901.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 100, p = 5.
48

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 12500.
23. Найти остаток от деления числа 485 339
на 42.
24. Найти остаток от деления числа 470 213
на 38.
25. Найти три последние цифры числа 383 262 26. Найти три последние цифры числа 674 254 27. Найти частное q
6
разложении дроби
475 267
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
434 275
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
488 171
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 2, 3, 1, 36].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
722 1824 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
85x ≡ 75(mod 71).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
60x ≡ 295(mod 55).
34. Решить сравнение
137x ≡ 54(mod 13).
35. Решить сравнение
153x ≡ 62(mod 59).
36. Решить сравнение
30x ≡ 255(mod 55).
37. Решить сравнение
84x ≡ 236(mod 136).
49

12
Вариант для К.А.С.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2309, b = 191.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2817, b = 225.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 103, q = 32.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 134, r = 52.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 682, r = 54.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 10288, q = 55.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 606, b = 171.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1680, d = 35.
50

9. Найти НОК чисел a и b a = 744, b = 138.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 657, b = 240, c = 357.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 322, b = 252, c = 3514.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 26, n = 288.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 675000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 330750.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 6240.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 24!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 25.
51

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −17.
a
2
= 46.
a
3
= −80.
a
4
= −113.
a
5
= −34.
a
6
= −12.
a
7
= 29.
a
8
= −130.
a
9
= −76.
a
10
= 62.
a
11
= 45.
a
12
= −92.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 14.
a
1
= 151.
a
2
= −43.
a
3
= 17.
a
4
= 37.
a
5
= −121.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 4487.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 1210, p = 11.
52

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 4455516.
23. Найти остаток от деления числа 421 202
на 49.
24. Найти остаток от деления числа 420 205
на 49.
25. Найти три последние цифры числа 399 384 26. Найти три последние цифры числа 648 384 27. Найти частное q
8
разложении дроби
152 185
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
413 233
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
272 167
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 3, 4, 1, 1, 1, 4].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1640 1760 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
35x ≡ 84(mod 13).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
40x ≡ 268(mod 68).
34. Решить сравнение
47x ≡ 83(mod 13).
35. Решить сравнение
169x ≡ 85(mod 43).
36. Решить сравнение
75x ≡ 205(mod 115).
37. Решить сравнение
49x ≡ 252(mod 77).
53

13
Вариант для М.А.И.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2049, b = 177.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1802, b = 164.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 51, q = 57.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 235, r = 58.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 554, r = 37.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 4839, q = 97.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 528, b = 196.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 2340, d = 39.
54

9. Найти НОК чисел a и b a = 581, b = 210.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 651, b = 183, c = 606.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 365, b = 280, c = 455.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 34, n = 291.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 457380000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1029000.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 6000.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 15!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 6.
55

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −29.
a
2
= −36.
a
3
= 9.
a
4
= −13.
a
5
= 22.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 14.
a
1
= 67.
a
2
= −135.
a
3
= −19.
a
4
= 125.
a
5
= −97.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1848.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 146410, p = 11.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 22717712.
23. Найти остаток от деления числа 489 415
на 59.
24. Найти остаток от деления числа 324 433
на 40.
56

25. Найти три последние цифры числа 633 483 26. Найти три последние цифры числа 645 457 27. Найти частное q
5
разложении дроби
170 217
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
8
разложении дроби
378 220
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
5
разложении дроби
219 367
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 4, 1, 4, 1, 1, 1, 4].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
630 1008 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
87x ≡ 96(mod 77).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
44x ≡ 244(mod 76).
34. Решить сравнение
137x ≡ 154(mod 65).
35. Решить сравнение
135x ≡ 157(mod 86).
36. Решить сравнение
66x ≡ 582(mod 72).
37. Решить сравнение
77x ≡ 399(mod 119).
57

14
Вариант для М.Е.С.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1879, b = 141.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1201, b = 250.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 112, q = 39.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 245, r = 77.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 364, r = 69.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 10078, q = 34.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 973, b = 175.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1008, d = 24.
58

9. Найти НОК чисел a и b a = 312, b = 189.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 820, b = 144, c = 1060.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 372, b = 292, c = 92.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 25, n = 240.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 1422960000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 5145.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 403.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 30!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 10.
59

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −59.
a
2
= 11.
a
3
= −10.
a
4
= 34.
a
5
= −24.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 12.
a
1
= 35.
a
2
= −67.
a
3
= 127.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1996.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 2500, p = 5.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 342732.
23. Найти остаток от деления числа 361 265
на 27.
24. Найти остаток от деления числа 316 407
на 52.
25. Найти три последние цифры числа 679 467 26. Найти три последние цифры числа 496 254 60

27. Найти частное q
5
разложении дроби
266 432
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
269 418
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
177 452
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 2, 2, 8, 1, 3, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
492 936 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
59x ≡ 99(mod 77).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
80x ≡ 340(mod 44).
34. Решить сравнение
113x ≡ 98(mod 20).
35. Решить сравнение
125x ≡ 82(mod 83).
36. Решить сравнение
44x ≡ 340(mod 84).
37. Решить сравнение
56x ≡ 380(mod 108).
61

15
Вариант для М.А.С.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1299, b = 236.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1439, b = 243.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 72, q = 72.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 285, r = 55.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 517, r = 72.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 11270, q = 125.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 405, b = 279.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1824, d = 38.
62

9. Найти НОК чисел a и b a = 464, b = 172.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 705, b = 294, c = 807.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 365, b = 135, c = 1155.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 15, n = 249.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 61740000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 6750.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 600.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 21!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 9.
63

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −28.
a
2
= 95.
a
3
= −23.
a
4
= 11.
a
5
= −72.
a
6
= −89.
a
7
= −24.
a
8
= −74.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 12.
a
1
= 53.
a
2
= −53.
a
3
= −35.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 4486.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 386201104, p = 17.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 4455516.
23. Найти остаток от деления числа 535 399
на 36.
24. Найти остаток от деления числа 492 261
на 33.
64

25. Найти три последние цифры числа 537 373 26. Найти три последние цифры числа 384 482 27. Найти частное q
5
разложении дроби
489 319
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
332 245
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
375 112
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 2, 7, 1, 1, 1, 3].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
930 1155 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
37x ≡ 42(mod 20).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
76x ≡ 236(mod 36).
34. Решить сравнение
182x ≡ 150(mod 81).
35. Решить сравнение
74x ≡ 164(mod 41).
36. Решить сравнение
42x ≡ 498(mod 54).
37. Решить сравнение
60x ≡ 292(mod 148).
65

16
Вариант для М.И.В.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1572, b = 244.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2896, b = 153.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 73, q = 100.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 210, r = 48.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 618, r = 48.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 6804, q = 76.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 315, b = 115.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 540, d = 15.
66

9. Найти НОК чисел a и b a = 957, b = 300.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 813, b = 258, c = 123.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 393, b = 102, c = 771.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 50, n = 192.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 1697850000.