Идз по теории чисел

• Название: Идз по теории чисел
• Дата: 12.11.2022
• Размер: 306.01 Kb.
• Имя файла: IDZ_NT.pdf
• Тип: Документы; #784305
• страница: 5 из 6

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 343000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1323.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 91.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 25!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 4.
89

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −93.
a
2
= −7.
a
3
= 117.
a
4
= 119.
a
5
= −38.
a
6
= 109.
a
7
= −48.
a
8
= 18.
a
9
= −56.
a
10
= −101.
a
11
= 128.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 22.
a
1
= −127.
a
2
= −181.
a
3
= 25.
a
4
= −45.
a
5
= −91.
a
6
= 123.
a
7
= 51.
a
8
= 147.
a
9
= 155.
90

20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 3513.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 14406, p = 7.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 22717712.
23. Найти остаток от деления числа 491 232
на 43.
24. Найти остаток от деления числа 447 298
на 24.
25. Найти три последние цифры числа 433 475 26. Найти три последние цифры числа 544 279 27. Найти частное q
9
разложении дроби
339 197
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
4
разложении дроби
196 243
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
7
разложении дроби
399 169
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [2, 2, 1, 1, 3, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
585 885 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
39x ≡ 86(mod 35).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
50x ≡ 260(mod 15).
91

34. Решить сравнение
165x ≡ 117(mod 26).
35. Решить сравнение
87x ≡ 150(mod 32).
36. Решить сравнение
88x ≡ 124(mod 92).
37. Решить сравнение
42x ≡ 511(mod 91).
92

22
Вариант для П.В.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2566, b = 267.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1550, b = 264.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 51, q = 72.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 173, r = 60.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 698, r = 82.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 9889, q = 104.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 486, b = 273.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1440, d = 36.
93

9. Найти НОК чисел a и b a = 685, b = 260.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 996, b = 294, c = 762.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 369, b = 213, c = 258.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 14, n = 131.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 5197500000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 5400.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 403.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 12!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 9.
94

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= 35.
a
2
= −80.
a
3
= −39.
a
4
= 23.
a
5
= 47.
a
6
= −69.
a
7
= 70.
a
8
= 49.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 20.
a
1
= 117.
a
2
= −31.
a
3
= 163.
a
4
= −161.
a
5
= −107.
a
6
= −93.
a
7
= 21.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 2740.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 1210, p = 11.
95

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 1336336.
23. Найти остаток от деления числа 497 394
на 25.
24. Найти остаток от деления числа 333 269
на 54.
25. Найти три последние цифры числа 471 465 26. Найти три последние цифры числа 468 213 27. Найти частное q
6
разложении дроби
175 152
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
184 310
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
265 401
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 1, 2, 1, 6, 8].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1302 896 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
93x ≡ 44(mod 28).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
35x ≡ 700(mod 21).
34. Решить сравнение
196x ≡ 173(mod 61).
35. Решить сравнение
137x ≡ 159(mod 57).
36. Решить сравнение
54x ≡ 222(mod 66).
37. Решить сравнение
64x ≡ 252(mod 116).
96

23
Вариант для Р.А.Б.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2400, b = 155.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2764, b = 298.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 77, q = 57.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 228, r = 77.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 485, r = 68.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 4710, q = 112.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 780, b = 279.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1152, d = 24.
97

9. Найти НОК чисел a и b a = 304, b = 180.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 980, b = 256, c = 1068.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 327, b = 213, c = 447.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 14, n = 217.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 27951000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 308700.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 741.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 25!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 4.
98

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −57.
a
2
= −125.
a
3
= 51.
a
4
= −98.
a
5
= −130.
a
6
= −10.
a
7
= 33.
a
8
= 119.
a
9
= 82.
a
10
= 123.
a
11
= 142.
a
12
= 101.
a
13
= −106.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 16.
a
1
= 105.
a
2
= −121.
a
3
= 63.
a
4
= −155.
a
5
= 141.
a
6
= −21.
a
7
= −93.
99

20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 2219.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 342732, p = 13.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 1210.
23. Найти остаток от деления числа 599 300
на 43.
24. Найти остаток от деления числа 560 478
на 44.
25. Найти три последние цифры числа 349 314 26. Найти три последние цифры числа 414 348 27. Найти частное q
4
разложении дроби
486 269
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
264 498
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
8
разложении дроби
206 475
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 3, 4, 2, 2, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1649 901 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
52x ≡ 50(mod 33).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
65x ≡ 465(mod 25).
100

34. Решить сравнение
82x ≡ 100(mod 33).
35. Решить сравнение
173x ≡ 94(mod 13).
36. Решить сравнение
55x ≡ 215(mod 140).
37. Решить сравнение
100x ≡ 284(mod 52).
101

24
Вариант для С.Т.Г.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1683, b = 125.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2507, b = 184.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 107, q = 90.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 226, r = 55.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 311, r = 35.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 10598, q = 83.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 498, b = 114.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 552, d = 23.
102

9. Найти НОК чисел a и b a = 687, b = 255.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 728, b = 160, c = 1448.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 348, b = 200, c = 628.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 18, n = 228.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 2970000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1512.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 2028.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 16!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 15.
103

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −21.
a
2
= 50.
a
3
= 17.
a
4
= −68.
a
5
= −17.
a
6
= 43.
a
7
= −87.
a
8
= −61.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 14.
a
1
= 127.
a
2
= −135.
a
3
= 37.
a
4
= 53.
a
5
= −1.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1140.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 13310, p = 11.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 4624.
104

23. Найти остаток от деления числа 345 486
на 49.
24. Найти остаток от деления числа 592 327
на 26.
25. Найти три последние цифры числа 643 376 26. Найти три последние цифры числа 492 212 27. Найти частное q
4
разложении дроби
325 474
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
162 369
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
157 479
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 1, 4, 2, 1, 3, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
780 730 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
83x ≡ 41(mod 65).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
50x ≡ 320(mod 65).
34. Решить сравнение
67x ≡ 184(mod 94).
35. Решить сравнение
42x ≡ 50(mod 73).
36. Решить сравнение
96x ≡ 438(mod 78).
37. Решить сравнение
100x ≡ 165(mod 85).
105

25
Вариант для С.Ю.В.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2548, b = 251.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2864, b = 156.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 65, q = 58.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 220, r = 76.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 685, r = 83.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 1665, q = 35.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 455, b = 125.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1288, d = 23.
106

9. Найти НОК чисел a и b a = 543, b = 219.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 693, b = 187, c = 1386.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 354, b = 189, c = 282.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 14, n = 121.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 49500000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 1543500.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 855.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 25!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 9.
107

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −23.
a
2
= −43.
a
3
= 74.
a
4
= −5.
a
5
= 30.
a
6
= 129.
a
7
= −61.
a
8
= 92.
a
9
= −80.
a
10
= −72.
a
11
= 51.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 18.
a
1
= 125.
a
2
= 101.
a
3
= −29.
a
4
= −13.
a
5
= 103.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1798.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 386201104, p = 17.
108

22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 26364.
23. Найти остаток от деления числа 664 325
на 59.
24. Найти остаток от деления числа 606 392
на 50.
25. Найти три последние цифры числа 667 424 26. Найти три последние цифры числа 440 405 27. Найти частное q
7
разложении дроби
306 423
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
196 127
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
8
разложении дроби
418 329
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 7, 1, 1, 1, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
680 1600 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
40x ≡ 90(mod 71).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
85x ≡ 335(mod 40).
34. Решить сравнение
67x ≡ 52(mod 68).
35. Решить сравнение
163x ≡ 118(mod 52).
36. Решить сравнение
100x ≡ 410(mod 85).
37. Решить сравнение
90x ≡ 255(mod 95).
109

26
Вариант для С.А.О.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2749, b = 178.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1165, b = 110.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 50, q = 51.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 216, r = 59.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 443, r = 85.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 4715, q = 30.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 942, b = 276.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 2128, d = 38.
110

9. Найти НОК чисел a и b a = 348, b = 212.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 363, b = 147, c = 966.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 374, b = 143, c = 1144.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 49, n = 176.