Идз по теории чисел

• Название: Идз по теории чисел
• Дата: 12.11.2022
• Размер: 306.01 Kb.
• Имя файла: IDZ_NT.pdf
• Тип: Документы; #784305
• страница: 4 из 6

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 26460.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 16, σ = 62400.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 16!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 15.
67

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −27.
a
2
= 26.
a
3
= −119.
a
4
= −98.
a
5
= 15.
a
6
= −54.
a
7
= −96.
a
8
= 50.
a
9
= −50.
a
10
= 109.
a
11
= 133.
a
12
= 132.
a
13
= 23.
a
14
= −43.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 15.
a
1
= 163.
a
2
= 92.
a
3
= −112.
a
4
= 131.
a
5
= 89.
a
6
= −146.
a
7
= 106.
68

20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1352.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 386201104, p = 17.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 500.
23. Найти остаток от деления числа 404 336
на 59.
24. Найти остаток от деления числа 312 495
на 44.
25. Найти три последние цифры числа 547 455 26. Найти три последние цифры числа 304 416 27. Найти частное q
4
разложении дроби
464 366
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
7
разложении дроби
240 148
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
174 483
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 2, 1, 7, 1, 4, 1, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
784 1316 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
98x ≡ 83(mod 61).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
66x ≡ 438(mod 18).
69

34. Решить сравнение
122x ≡ 117(mod 41).
35. Решить сравнение
198x ≡ 177(mod 79).
36. Решить сравнение
36x ≡ 348(mod 68).
37. Решить сравнение
88x ≡ 252(mod 52).
70

17
Вариант для Н.А.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1894, b = 104.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2852, b = 170.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 111, q = 86.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 126, r = 86.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 643, r = 82.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 10828, q = 132.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 320, b = 124.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 672, d = 14.
71

9. Найти НОК чисел a и b a = 663, b = 299.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 464, b = 128, c = 4240.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 363, b = 258, c = 147.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 30, n = 114.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 6521900000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 37044.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 2800.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 16!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 15.
72

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −25.
a
2
= 34.
a
3
= 21.
a
4
= −48.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 20.
a
1
= −147.
a
2
= −77.
a
3
= 29.
a
4
= −139.
a
5
= 167.
a
6
= −41.
a
7
= 71.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 4631.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 14406, p = 7.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 294.
23. Найти остаток от деления числа 317 313
на 20.
24. Найти остаток от деления числа 493 234
на 51.
73

25. Найти три последние цифры числа 389 290 26. Найти три последние цифры числа 605 408 27. Найти частное q
7
разложении дроби
122 433
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
396 107
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
370 315
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 2, 3, 2, 2, 4].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
810 380 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
73x ≡ 56(mod 78).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
52x ≡ 396(mod 64).
34. Решить сравнение
105x ≡ 70(mod 19).
35. Решить сравнение
185x ≡ 189(mod 61).
36. Решить сравнение
80x ≡ 330(mod 125).
37. Решить сравнение
84x ≡ 348(mod 64).
74

18
Вариант для Н.А.А.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1390, b = 246.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1844, b = 292.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 53, q = 85.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 156, r = 37.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 598, r = 56.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 8431, q = 111.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 552, b = 244.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 952, d = 17.
75

9. Найти НОК чисел a и b a = 471, b = 267.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 687, b = 246, c = 1122.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 309, b = 276, c = 213.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 34, n = 237.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 1485000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 94500.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 741.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 28!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 15.
76

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −62.
a
2
= 40.
a
3
= −53.
a
4
= 55.
a
5
= −63.
a
6
= −24.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 24.
a
1
= 43.
a
2
= 49.
a
3
= 149.
a
4
= −193.
a
5
= 83.
a
6
= −83.
a
7
= −151.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 1474.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 2028, p = 13.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 342732.
77

23. Найти остаток от деления числа 512 286
на 45.
24. Найти остаток от деления числа 682 348
на 34.
25. Найти три последние цифры числа 323 468 26. Найти три последние цифры числа 586 340 27. Найти частное q
7
разложении дроби
315 454
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
6
разложении дроби
497 236
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
6
разложении дроби
160 286
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 4, 1, 1, 4, 1, 6].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1241 952 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
87x ≡ 96(mod 26).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
85x ≡ 305(mod 40).
34. Решить сравнение
67x ≡ 61(mod 25).
35. Решить сравнение
58x ≡ 79(mod 65).
36. Решить сравнение
56x ≡ 356(mod 116).
37. Решить сравнение
68x ≡ 332(mod 84).
78

19
Вариант для Н.К.Р.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 1689, b = 162.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2496, b = 186.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 68, q = 86.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 115, r = 74.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 655, r = 58.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 10094, q = 54.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 671, b = 275.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 882, d = 21.
79

9. Найти НОК чисел a и b a = 760, b = 208.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 428, b = 232, c = 1372.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 320, b = 132, c = 1308.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 14, n = 155.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 1188000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 2205.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 9, σ = 1767.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 10!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 4.
80

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −20.
a
2
= 152.
a
3
= −72.
a
4
= −67.
a
5
= 84.
a
6
= 139.
a
7
= −14.
a
8
= −69.
a
9
= −135.
a
10
= −77.
a
11
= −138.
a
12
= 80.
a
13
= −128.
a
14
= −124.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 30.
a
1
= −139.
a
2
= −227.
a
3
= −223.
a
4
= 109.
a
5
= −23.
a
6
= −149.
a
7
= 329.
81

20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 3152.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 705894, p = 7.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 2500.
23. Найти остаток от деления числа 392 327
на 31.
24. Найти остаток от деления числа 678 240
на 34.
25. Найти три последние цифры числа 541 311 26. Найти три последние цифры числа 422 330 27. Найти частное q
4
разложении дроби
256 321
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
5
разложении дроби
140 149
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
4
разложении дроби
391 177
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [0, 1, 2, 2, 1, 9, 1, 3].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
1547 1360 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
43x ≡ 50(mod 34).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
78x ≡ 318(mod 48).
82

34. Решить сравнение
131x ≡ 111(mod 95).
35. Решить сравнение
125x ≡ 78(mod 34).
36. Решить сравнение
92x ≡ 380(mod 128).
37. Решить сравнение
52x ≡ 364(mod 80).
83

20
Вариант для О.М.Т.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2696, b = 217.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −1629, b = 294.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 112, q = 67.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 102, r = 41.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 618, r = 40.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 2251, q = 95.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 500, b = 268.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 680, d = 17.
84

9. Найти НОК чисел a и b a = 660, b = 196.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 356, b = 212, c = 524.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 333, b = 102, c = 798.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 21, n = 166.

13. Чему равно число делителей числа a?
a = 164351880000.

14. Какова сумма делителей числа a?
a = 110250.
15. Определить натуральное число, зная, что оно имеет два различных простых делителя, всего τ делителй, сумма которых равна σ.
τ = 12, σ = 8892.

16. Чему равно число делителей числа a?
a = 30!.
17. Найти наименьшее натуральное число с τ делителями.
τ = 15.
85

18. Даны числа a
1
, a
2
, . . . , a m−1
. Найти такое натуральное число a m
,
a m
≤ m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
состовляли полную систему вы- четов по модулю m.
a
1
= −41.
a
2
= 69.
a
3
= −70.
a
4
= 11.
a
5
= −30.
a
6
= −18.
19. Найти такое натуральное число a m
, a m
< m, чтобы числа a
1
, a
2
, . . . , a m
составляли приведенную систему вычетов по модулю m.
m = 12.
a
1
= 97.
a
2
= −97.
a
3
= −7.
20. Найти значение функции Эйлера от числа a a = 2750.
21. Решить уравнение φ(p x
) = a a = 4455516, p = 13.
22. Решить уравнение φ(x) = a, где x = p
α
a = 4624.
23. Найти остаток от деления числа 470 428
на 31.
24. Найти остаток от деления числа 316 375
на 48.
25. Найти три последние цифры числа 563 349 86

26. Найти три последние цифры числа 578 294 27. Найти частное q
7
разложении дроби
258 417
в цепную .
28. Найти числитель подходящей дроби P
4
разложении дроби
209 479
в цеп- ную .
29. Найти знаменатель подходящей дроби Q
5
разложении дроби
463 366
в цепную .
30. По данным конечной непрерывной дроби найти соответствующую ей обыкновенную несократимую дробь q = [1, 3, 2, 3, 3, 2].
31. С помощью разложения в цепную дробь сократить дробь
817 1368 32. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
92x ≡ 95(mod 71).
33. Решить сравнение с помощью формулы Эйлера
42x ≡ 474(mod 24).
34. Решить сравнение
92x ≡ 151(mod 95).
35. Решить сравнение
65x ≡ 173(mod 61).
36. Решить сравнение
65x ≡ 190(mod 125).
37. Решить сравнение
72x ≡ 380(mod 92).
87

21
Вариант для П.А.В.
1. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = 2003, b = 182.
2. Найти неполное частное q и остаток r от деления a на b, если a = −2656, b = 295.
3. Найти наибольшее число a, для которого неполное частное от де- ления на число b равно q b = 88, q = 51.
4. При делении целого числа a на натуральное число b, получено неполное частное q и остаток r. Найти наименьшее из возможных значений для a q = 205, r = 81.
5. Найти наименьшее натуральное число b, для которого остаток от деления числа a на b, равен r.
a = 626, r = 59.
6. При делении числа a на натуральное число и пролучены неполное частное q и остаток r. Найти наибольшее из возможных значений для r и соответствующее значение b.
a = 8526, q = 88.
7. Найти линейную форму НОД чисел a, b.
a = 663, b = 143.
8. Известно, что [a, b] = c и (a, b) = d, причем a, b ∈ N, a ≤ b. Найти:
a) наименьшее из возможных значений a;
b) значение b, соответствующее наименьшему значению a;
c) второе значение a;
d) значение b, соответствующее второму значению a;
c = 1260, d = 35.
88

9. Найти НОК чисел a и b a = 820, b = 168.
10. Найти НОД чисел a, b и c a = 496, b = 172, c = 652.
11. Найти НОК чисел a, b и c a = 360, b = 222, c = 222.
12. Найти наибольшее k, для которого n! делится на a k
a = 14, n = 108.