расчет рамы методом сил. Имеет
![]()
|
![]()
Система имеет два прямолинейных (длиной l) и один дугообразный (радиус l) участка, опирается на жёсткую заделку и неподвижный шарнир. Система нагружена сосредоточенной силой P и распределённой силой q, причём P = q*l. Поперечные сечения всех участков одинаковы и равны F, моменты инерции равны J, модуль продольной упругости материала равен E. Поэтому УР имеют вид: по оси X: X1 + X4 = 0 по оси Y: X2 + X5 + P - (q*2*l) = 0 по оси Z: X3 + X5*2*l – X4* l – P*l – (q*2*l) *l = 0 Система оказалась дважды внешне статически неопределима, поэтому потребуется получить два дополнительных уравнения для определения внешних неизвестных сил. Для записи новых уравнений равновесия в форме уравнений равенства перемещений (УРП) пронумеруем все силы и соответствующие перемещения, Таким образом, возникают два вектора {P} и {Δ}, в которых на соответствующие места сразу можно поместить заданные или известные по условию задачи значения. ![]() X1 1 0 X X 0 2 2 2 X3 X3 3 0 P X X , 0 4 4 4 X X 0 5 5 5 P6 P 6 6 q q Рис. 1. 7 7 7 Запись уравнений статического равновесия. Равновесие данной системы требует записи трёх уравнений равновесия (УР) в направлении трёх осей координат, т.к. поступательное равновесие происходит вдоль глобальных осей X и Y, а вращательное равновесие вдоль перпендикулярной им оси Z. Расположение начала координат лучше выбрать так, чтобы силы (особенно неизвестные) имели минимальные плечи относительно оси Z. С этой точки зрения за начало координат выберем жёсткую заделку. Обозначим все внешние силы, действующие на конструкцию, как показано на рис. 2. и получим исходную систему (ИС). ![]() Рис. 2. Исходная система. Запишем для этих векторов полную систему УРП: δ11X1+ δ12X2+ δ13X3+ δ14X4+ δ15X5+ δ16P6+ δ17q7 = Δ1 δ21X1+ δ22X2+ δ23X3+ δ24X4+ δ25X5+ δ26P6+ δ27q7 = Δ2 δ31X1+ δ32X2+ δ33X3+ δ34X4+ δ35X5+ δ36P6+ δ37q7 = Δ3 δ41X1+ δ42X2+ δ43X3+ δ44X4+ δ45X5+ δ46P6+ δ47q7 = Δ4 δ51X1+ δ52X2+ δ53X3+ δ54X4+ δ55X5+ δ56P6+ δ57q7 = Δ5 δ61X1+ δ62X2+ δ63X3+ δ64X4+ δ65X5+ δ66P6+ δ67q7 = Δ6 δ71X1+ δ72X2+ δ73X3+ δ74X4+ δ75X5+ δ76P6+ δ77q7 = Δ7 , где δij – коэффициенты податливостей (КП), определяющие вклад каждой силы в общее перемещение. ИС может быть преобразована так, чтобы данная система уравнений включала необходимые силы (коэффициенты при соответствующих силах не равны 0) и была статически определимой при вычислении податливостей. Кроме этого УР и УРП должны быть независимы с точки зрения определения значений неизвестных сил, поэтому в УРП количество неизвестных сил должно быть равно степени статической неопределимости (ССН). Поскольку такой выбор может быть сделан несколькими способами, то на первый план выступает схематическое удобство и простота вычислений, но, с другой стороны, появляется возможность проверки полученного решения с помощью любого другого набора сил. Из общего числа УРП необходимо выбрать уравнения для тех перемещений, которые известны или заданы по условиям закреплений. В данном случае, как и в большинстве других, такими перемещениями являются нулевые. Сами уравнения для нулевых перемещений носят название канонических. Поэтому на основании ИС может быть создана эквивалентная система (ЭС) с теми же самыми нулевыми перемещениями, но сами направления перемещений приобретают податливость, т.е. связи на этих направлениях снимаются. Такой ЭС, например, может быть система, изображённая на рис. 3. ![]() NiNjdx EF MyiMyjdx EJ Mzi Mz jdx EJ x Mxi Mx jdx GJ y Qyi Qyj dx GF z Qzi Qz jdxGF l l y l z l x l l где ζx, ζy, ζz – коэффициенты, которые в большинстве случаев принимают значения близкие к 1, учитывающие форму поперечного сечения и распределение соответствующих напряжений по сечению; N, Qy, Qz,, Mx, My, Mz – внутренние силы, возникающие в поперечных сечениях от приложенной соответствующей индексу единичной нагрузки. Рис. 3. Эквивалентная система Перемещения, для которых будут записаны канонические УРП, это Δ4 и Δ5. Данные уравнений можно решить относительно неизвестных сил, если определить коэффициенты Вычисление интегралов делает необходимым разделение конструкции на однородные по геометрических характеристикам и свойствам материала стержневые элементы, в качестве которого можно принять даже участок дуги, если поперечный размер сечения составляет менее 1/5 от радиуса дуги. Таким образом, конструкция разделяется, как показано на схемах в таблице, на три участка. Поскольку наибольший вклад в КП дают интегралы от моментов, а в данном случае возникает только один изгибающий момент, который обозначен как Mz (внутренняя система координат в каждом сечении ориентирована так, что направление глобальных и локальных осей z совпадают), то в данном вычисление КП будет проводится по упрощённой схеме как податливостей. Для определения податливостей δij на основе ЭС определяется вспомогательная система (ВС) (рис. 4), к которой следует приложить только единичную силу с соответствующим номером (второй индекс j коэффициента), чтобы вычислить перемещение в соответствующем направлении (второй индекс i коэффициента). Данное ij MziMz 1 l EJz |