Элективный курс. Элек курс Таня МПО-18. Институт математики и информатики Кафедра методики преподавания математики Элементы линейной алгебры

• Название: Институт математики и информатики Кафедра методики преподавания математики Элементы линейной алгебры
• Анкор: Элективный курс
• Дата: 13.07.2021
• Размер: 371.04 Kb.
• Имя файла: Элек курс Таня МПО-18.docx
• Тип: Элективный курс; #224202

Министерство науки и высшего образования РФ

Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования

«Северо-Восточный федеральный университет

им. М.К. Аммосова»

Институт математики и информатики

Кафедра методики преподавания математики

Элементы линейной алгебры

Элективный курс
Выполнил: студент группы ИМИ

БА-МПО-18, Птицына Татьяна.

Проверил: Скрябина Алевтина Гавриловна

Якутск 2021

Аннотация элективного курса

Предлагаемый элективный курс адресован учащимся 11 классов, планирующим в дальнейшем заниматься серьезной математикой и ее приложениями в различных научных областях. Данный курс позволит удовлетворить образовательные потребности учащихся, осваювающих как базовый уровень математики, так и профильный уровень.
Пояснительная записка.

Содержание курса соответствует целям предпрофильного обучения, который направлен на достижение нового качества обучения математике с учетом современных требований в условиях организации предпрофильной подготовки и введение профильного обучения, на предварительное самоопределение учащихся в отношении собственного профильного направления в образовании.

• 
  Дает обучающимся возможность реализовать свой интерес к выбранному предмету;
  
• 
  Помогает уточнить готовность и способность обучающихся осваивать выбранный предмет на повышенном уровне;
  
• 
  Создает условия для подготовки к экзаменам по выбору (будущее профилирующие);
  
• 
  Создает условия для осознанного и успешного выбора профиля выпускником школы.
  

Цели курса: Дополнить базовую программу новыми понятиями, не нарушая ее целостности, расширяя и углубляя знания учащихся, воспитывая интерес к предмету через подачи материала, возможность свободного творчества.
Задачи :

• 
  Оказать педагогическую помощь в приобретении школьниками представлений, связанных с профессиональным становлением;
  
• 
  Обеспечить индивидуализацию обучения;
  
• 
  Дать возможность реализовать свои образовательные запросы;
  
• 
  Формировать способности принимать адекватное решение о выборе дальнейшего направления образования, пути получения профессии.
  
• 
  Уметь решать системы уравнений различными способами как школьного курса так и способами высшего образования (линейная алгебра);
  
• 
  Уметь применять ЗУН при решении трудных заданий, практических задач.
  

Преобладающие методы обучения:

• 
  Проблемный;
  
• 
  Исследовательский;
  
• 
  Практикумы;
  
• 
  Самостоятельная работа обучающихся;
  
• 
  Лекционные занятия;
  
• 
  Проектный;
  

Предпрофильное обучение элективных курсов осуществляется в форме:

• 
  Лекционных занятий;
  
• 
  Практикумов;
  
• 
  Защита рефератов.
  

ТЕМАТИЧЕСКОЕ ПЛАНИРОВАНИЕ УЧЕБНОГО МАТЕРИАЛА.

№	Тема	Кол.час	Вид занятий
1	Основные понятия	1	Лекция
2	Уравнение с двумя переменными и его график	1	Практикум, Лаб работа
3	Система уравнений с двумя переменными	1	Лекция
4	Метод подстановки	2	Лекция Практикум
5	Метод алгебраического сложения	2	Лекция Практикум Зачет .
6	Другие способы решения систем уравнений	1	Практикум.
7	Решение задач	2	Лекция Зачет .
8	Определители. Свойства и вычисления Общие понятия Свойства Вычисления определителя	1	Лекция + практикум
9	Матрицы и действия над ними Виды матриц Линейные операции Нелинейные операции Обратная матрица Матричные уравнения Ранг матрицы	1	Лекция
10	Системы линейных уравнений Общие понятия Метод Крамера Матричный метод Метод Гаусса Однородные системы	4	Лекция Практикум
	Защита рефератов	1	Защита творческого проекта

Темы рефератов:

1. 
   Матрицы и действия над ними;
   
2. 
   Решение систем уравнений методом Крамера;
   
3. 
   Решение систем уравнений методом Гаусса;
   
4. 
   Решение систем уравнений матричным методом.
   
5. 
   Собственные векторы и собственные значения матриц;
   
6. 
   Определители. Свойства и вычисления.
   
7. 
   Системы уравнений и их способы решений.
   

Технологическая карта практического занятия № 1 (1 пара - 90 мин).

ФИО учителя		Птицына Татьяна Семеновна
Тема занятия		Определители. Свойства и вычисления
Тип занятия		Урок закрепления знаний на практике
Форма занятия		Занятие - практикум
Цели занятия		Обучающие: формировать навыки выполнения операций над матрицами: сложение, вычитание, умножение матрицы на число, произведение матриц; формировать умения находить определители матриц. Развивающие: - Формирование умения пользоваться математическими инструментами, - Формирование умения применять свои знания при решении математических задач по данной теме; - Углубление знаний, умений и навыков; развитие творческой деятельности: интуиции, пространственного воображения, смекалки; - Развитие мыслительных операций посредством конкретизации, развитие зрительной памяти, потребности к самообразованию, способствовать развитию познавательных процессов. Воспитательные: - Воспитание устойчивого интереса к математике, - Воспитание математической культуры, - Развитие самоорганизации обучающихся, - Эстетическое воспитание.
Планируемые результаты		Предметные: Студент знает: Понятие матрицы и ее элементы Основные виды матриц Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства Применение и значение матриц в практической деятельности Умеет: Определять вид матрицы Выполнять основные действия с матрицами (сложение, вычитание, умножение матрицы на число, умножение матрицы на матрицу) Вычислять ранг матрицы, определитель матрицы, миноры и дополнения Транспонировать матрицы, находить обратную матрицу Грамотно формулировать свои мысли по поставленному вопросу, анализировать, делать выводы.
УУД		Личностные УУД: проявляют креативность мышления, инициативность, находчивость, активность при решении задач линейной алгебры. Регулятивные УУД: принимают и сохраняют цели и задачи учебной деятельности. Познавательные УУД: имеют первоначальные представления об идеях и о методах математики как об универсальном языке науки и техники, о средстве моделирования явлений и процессов; умеют устанавливать причинно-следственные связи, строить логическое рассуждение, делать умозаключения и формулировать выводы. Коммуникативные УУД: умеют формулировать, аргументировать и отстаивать свое мнение.
Основные понятия		Матрица, минор, определитель, ранг матрицы, квадратичная матрица, транспонирование матрицы, обратная матрица
Организация пространства		Школа
Организация структуры урока
Этап урока	Время	Деятельность учителя	Деятельность обучающихся	УУД
Организационный этап. Мотивация учебной деятельности обучающихся.	5 мин	Приветствует обучающихся. Проверяет подготовленность к учебному занятию, организует внимание обучающихся. Обеспечивает благоприятный настрой.	Приветствуют преподавателя, организуют свое рабочее место, демонстрируют готовность к занятию.	Личностные -настроить на работу; -организация рабочего места. Регулятивные -целеполагание; -планирование учебного сотрудничества совместно с преподавателем. Коммуникативные -владение диалогической речью.
Актуализация опорных знаний.	15 мин	Проверка домашнего задания (Разбор нерешенных примеров). Вопросы для закрепления теоретического материала к практическому занятию: Понятие матрицы и ее элементы Основные виды матриц Понятие ранга матрицы, минора и определителя матрицы. Виды определителей и их свойства Применение и значение матриц в практической деятельности	Отвечают на вопросы. Проводят самоанализ, вспоминают правила, формулы, алгоритмы, определения	Регулятивные: высказывают свои мнения Личностные:интерес к учебному материалу, способность к самооценке. Коммуникативные: умеют слушать, вступать в диалог, участвовать в коллективном действии. Познавательные: обучающиеся вспоминают, отвечают.
Закрепление и систематизация изученного материала (Практический этап)	40 мин	Решение тренировочных упражнений на закрепление основных понятий, формул и методов применения основных теорем и определений для решения задач линейной алгебры Формы и методы закрепления: Метод - диалоговые технологии. Форма – решение упражнения	Участвуют в решении тренировочных упражнений по закреплению темы.	Регулятивные: выполнение закрепляющего, систематизирующего учебного действия. Познавательные: извлечение необходимой информации из текстов, проводят рефлексию действий, совместно с учителем создают алгоритм деятельности. Коммуникативные: выражение своих мыслей с достаточной полнотой и точностью.
Индивидуальная работа по вариантам	20	Выполнить индивидуальную работу по теме Задания в конце техкартв	Самостоятельно выполняют работу по линейной алгебре
Подведение итогов занятия	5 мин	Подводит итоги, оценивает работу, выставляет отметки. Вопросы для самоконтроля: Что называется матрицей? Запишите общий вид матрицы размером mxn. Какие матрицы называются равными? Назовите виды матриц. Назовите линейные операции над матрицами. Какие матрицы можно перемножать? Как выполняется умножение?	Слушают преподавателя
Домашнее задание	3 мин	Информирует и консультирует обучающихся. Выполнить домашнюю работу – задания в конце техкарты	Записывают домашнее задание.	Личностные -подведение итога урока; -самооценка критериев успешности. Коммуникативные. -выражение своих мыслей; -использование критериев для обоснования суждений. Регулятивные. -оценивание. Познавательные. -контроль и оценка процессов результата деятельности.
Рефлексия	2 мин	Продолжи фразу 1. Я повторил … 2. Я узнал … 3. Я научился… 4. Я могу…	Осмысливают содержания деятельности, собственное сознание и самопознание, размышляют о предстоящей деятельности.

Варианты индивидуальных заданий

Задание 1.а),б) Вычислить указанные определители.

в) Вычислить определитель четвертого порядка, предварительно преобразовав его так, чтобы три элемента некоторого ряда равнялись нулю, и разложить полученный определитель по элементам этого ряда.

	Задание
	а)	б)	в)
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15

Домашняя работа

	Задание
Вариант 1
Вариант 2
Вариант 3
Вариант 4
Вариант 5
Вариант 6
Вариант 7
Вариант 8
Вариант 9
Вариант 10
Вариант 11
Вариант 12
Вариант 13
Вариант 14
Вариант 15

Практикум.

Задания по теме «Решение систем разными способами»

Задания по теме «Теорема Крамера»

Задание.

Заполните пропуски в таблице

Система	А	Аx	Ay	∆	∆х	∆у	Решение
	3 -5 4 -6	4 -5 2 -6	3 4 4 2	2	-14	-10	(-7, -5)

Задание.

Выясните, какие из следующих систем можно решить с помощью формул Крамера, и решите их, а если нет, то решите их любым другим способом:













Задание.

Даны системы. Не решая их, определите чис­ло решений, т.е. определите по внешнему виду систем, какие из них

- совместные;

• 
  несовместные;
  

- определенные;

- неопределенные?



















Задание.

Вычислите определители матриц:





Задание.

Решите системы:









Задание.

Даны системы. Не решая их, определите, ка­кие из них являются совместными? Несовмест­ными? Определенными? Неопределенными? Затем решите их.









Задание.

Дано одно уравнение системы, припишите к нему другое уравнение так, чтобы полученная система:

- не имела решений;

- имела единственное решение;

- имела бесконечное число решений.









Задание.

Может ли система



а) иметь единственное решение;

б) иметь бесконечное множество решений;

в) не иметь решений?

Какими должны быть коэффициенты в каждом возможном случае?

Задание.

Найти все значения параметра а, при которых система не имеет решений:



Задание 4.

Дана система



Найдите такие значения Ь, при которых сис­тема имела бы:

- единственное решение,

• 
  бесконечное число решений.
  

Задание.

а) Определите, при каких значениях парамет­ра k система



имеет бесконечное число решений.

б) Определите, при каких значениях параметра k система



не имеет решений.

Задание . . .Дана система с параметром а :



Объясните предложенное решение: 1-й шаг.



2-й шаг.







3-й шаг. при а = 1 или а =-1. а) а = 1,



1 х + у = 1,

у = 1 - х, х - любое;

б)а = -1,

решений нет.

Задание.

Решите системы с параметром:



Задание.

Найти все значения параметра с, при которых система не имеет решений:



Задание.

Решите систему с параметрами а и Ь:



Задание.

Решите систему используя параметр k.



ЛИСТ КОНТРОЛЯ

1. Как вывести формулы Крамера для решения системы двух линейных уравнений с двумя неизвестными?

2. Как решать систему двух линейных уравнений с двумя неизвестными, если нельзя пользоваться формулами Крамера?

3.Какая система линейных уравнений называется совместной? несовместной? определенной? неопределенной?

4.Как формулируется теорема Крамера?

5.Как вычислить определитель второго порядка?

6. Как вычислить определитель третьего порядка?

7. В каком случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет единст­венное решение?

8.В каком случае система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет единственное решение?

9.В каком случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными имеет беско­нечное число решений?

10.В каком случае система трех линейных уравнений с тремя неизвестными имеет беско­нечное число решений?

11.В каком случае система двух линейных уравнений с двумя неизвестными не имеет решений?

12.В каком случае система трех линейных уравнений с тремя неизвестными не имеет решений ?

13. Как решать определенную систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными?

14.Что называется решением уравнения с n неизвестными?

15. Как решать уравнение с n неизвестными, если хотя бы один из коэффициентов при неиз­вестных отличен от нуля?

Задания по теме «Метод Гаусса»

ЗАДАНИЕ .

Решите системы уравнений:

*• *



ЗАДАНИЕ .

а) Прокомментируйте решение системы:











x₁ = 1,

6) x₂= 2, x₃ = -2.

б) Решите систему



в)Равносильны ли системы а) и б)?

ЗАДАНИЕ .

а) Решите системы уравнений:





б) Составьте аналогичные по внешнему виду системы из трех уравнений с четырьмя, пятью и шестью неизвестными и решите их.

ЗАДАНИЕ .

При решении систем методом Гаусса были получены системы:





Можно ли утверждать, что первая система совместна и неопределенна, а вторая - несов­местна? Закончите решения этих систем.

ЗАДАНИЕ .

а) Решите систему



б) Верно ли, что система из а) равносильна сис­теме



в) Верно ли, что система из а) равносильна сис­теме, имеющей общее решение:



ЗАДАНИЕ .

Решите системы уравнений:





















ЗАДАНИЕ .

Решите системы уравнений:

?







ЗАДАНИЕ .

Доказать, что система уравнений



при k, отличном от 1 и -3, имеет единственное решение.

ЗАДАНИЕ.

Доказать, что система уравнений



имеет единственное решение. Найти это реше­ние.

ЗАДАНИЕ .

Доказать, что система уравнений



имеет единственное решение. Найти это решение.

ЗАДАНИЕ .

При каком условии система уравнений

;

имеет единственное решение? Найти это решение.

ЗАДАНИЕ.

Доказать, что система уравнений



имеет единственное нулевое решение (т.е. x₁ = х₂ =К = х₁₀₀ = О).

ЛИСТ КОНТРОЛЯ.

1.Какие две системы называются равносильными?

2. Каковы способы перехода к равносильным системам?

3. В чем состоит прием доказательства равносильности двух систем?

4. Как можно проверить равносильность определенных систем?

5.Как можно проверить равносильность неопределенных систем?

6.Каким методом можно решить системы линейных уравнений с любым числом неизвестных?

7. В чем состоит метод Гаусса?