Интегралы Римана и Дарбу. Необходимые и достаточные условие интегрируемости функции по Риману. Критерий ДюБуаРеймонда
 Скачать 68.49 Kb.
|
|
Интегралы Римана и Дарбу. Необходимые и достаточные условие интегрируемости функции по Риману. Критерий Дю-Буа-Реймонда. На прошлой лекции мы с вами ввели понятие определённого интеграла. Было отмечено, что первообразные непрерывных функций могут быть представлены с помощью такого интеграла. Нами была получена следующая формула  Здесь  первообразная непрерывной функции  . Отметим здесь, что эта формула верна для любой первообразной  рассматриваемой функции. Это означает, что на интервале  имеет место равенство Напомню здесь, что неопределённый интеграл представляет собой однопараметрическое семейство первоообразных. Покажем сейчас, что в том случае, когда функция  является непрерывной , интеграл,  определённый для любого  является первообразной функции . Впредь мы будем называть интеграл (15.1) интегралом с переменным верхним пределом. Докажем прежде всего следующую теорему. Теорема 15.2. Пусть  непрерывная на  функция. В таком случае интеграл  существует. Доказательство. Пусть  разбиения отрезка  и   последовательность интегральных сумм Римана, соответствующих этим разбиениям.  Рассмотрим два типа таких сумм, отличающихся друг от друга выбором точек сумм  . Для сумм первого типа, Промежуточную точку  отрезка выберем так, что  Для сумм второго типа в качестве  выберем так, что  Так как отрезок представляет собой компакт, а функция  непрерывна на нём, то такие точки найдутся. Рассмотрим последовательность  разбиений, полученную последовательными подразбиениями отрезка  так что  Такие последовательности будем называть последовательностью последовательных разбиений, или монотонной последовательностью разбиений. Мы будем рассматривать такие монотонные последовательности разбиений, при которых их мелкость стремится к нулю при неограниченном возрастании числа точек разбиения (номеров разбиений). Докажем, прежде всего следующую лемму. Лемма 15.2. Пусть  монотонная последовательность разбиений. Тогда последовательность  является невозрастающей последовательностью, а последовательность  неубывающей. Доказательство. Пусть  и  Так как  , то разбиение получается из разбиения  добавлением одной точки. Допустим , что  и  Ясно, что в таком случае точка принадлежит внутренности отрезка  .Итак, множества отрезков, на которые разбивается отрезок с помощью точек из и таковы, что  для чисел  ,…k-1, и  для чисел  . При этом отрезок представляется в виде объединения двух отрезков Рассмотрим разность  Ясно, что  =  =  Здесь  выбраны так, что Так 15.  и  , то Сравнивая  ,  устанавливаем что последовательность  является невозрастающей последовательностью. Аналогичным образом получаем, что последовательность  является неубывающей последовательностью. Лемма доказана. Докажем сходимость рассматриваемых последовательностей. Лемма 15.5. Пусть монотонная последовательность разбиений. Тогда последовательности  являются сходящимися последовательностями.Доказательство. Докажем, что обе последовательности  являются ограниченными. Функция непрерывна на отрезке , поэтому она ограничена на нём. Следовательно,  Итак, мы получаем, что последовательность  невозрастающая последовательность , ограниченная снизу, а  неубывающая последовательность, ограниченная сверху. Это означает, что последовательности сходятся. Лемма доказана. В соответствии с определением интеграла Римана нас интересует поведение этих последовательностей в том случае, когда мелкость  стремится к нулю при неограниченном возрастании  Покажем, что в этом случае они сходятся к одному и тому же пределу. Лемма 15.6. Пусть монотонная последовательность разбиений , мелкость которых стремится к нулю. Тогда пределы последовательностей Совпадают  Доказательство. В силу непрерывности функции на мы получаем, что она равномерно непрерывна на этом отрезке. Поэтому (15.8) Из (15.8), (15.9) мы получаем  Пользуясь оценкой  , теперь докажем . Итак, для заданного  подберём  в соответствии с (15.9). Тогда, учитывая (15.9), получим   В силу произвольности из (15.11) получаем (15.7). Лемма доказана. Обозначим через  общее значение пределов из (15.7) для заданной монотонной последовательности разбиений. Докажем независимость этого предела от выбора монотонной последовательности, мелкость которой стремится к нулю.Лемма 15.12 Пусть  две различные монотонные последовательности разбиений, мелкость которых стремится к нулю. Тогда (15.13)Доказательство. Для доказательства сравним между собой, например, интегральные суммы  и  . В случае монотонных разбиений, основываясь на свойствах нижней и верхней грани множества и его подмножества, мы осуществили сравнения различных сумм. Проблема теперь заключается в том, что   , вообще говоря, не сравнимы между собой. Для преодоления этой трудности рассмотрим множество   Множество  является подразбиением как разбиения , так и . Поэтому для произвольного наперёд заданного мы можем выбрать число , такое что для любого  , будет иметь место неравенство    Далее, рассмотрим  . Ясно, что     Так как  то сумма первого и третьего слагаемых в правой части  при достаточно больших  может быть сделана меньше  Учитывая  получим (15.16)Левая часть неравенства (15.16) не зависит от  Поэтому в силу произвольности и, учитывая (15.9), приходим к выводу о том, что  Итак, нами доказано, что какой бы ни была пара  монотонных последовательностей разбиений, мелкость которых стремится к нулю при возрастании  пределы интегральных сумм Римана со специальным выбором промежуточных точек совпадают между собой. Лемма доказана. Из лемм 15.5, 15.6, 15.15 следует, что какой бы ни была монотонная последовательность разбиений пределы интегральных сумм Римана первого и второго типа существуют, совпадают между собой и не зависят от выбора монотонной последовательности. Основываясь на этих свойствах монотонных последовательностей , покажем , что какой бы ни была последовательность разбиений , мелкость которых стремится к нулю , пределы интегральных сумм Римана первого и второго типа существуют , совпадают между собой и не зависят от выбора последовательности. Лемма 15.18.Пусть произвольная последовательность разбиений, мелкость которых стремится к нулю. Тогда пределы интегральных сумм  существуют и совпадают между собой, При этом пределы для различных последовательностей совпадают между собой.Доказательство. Прежде всего покажем, что последовательности  ,  являются фундаментальными . Рассмотрим, например, разность  Разбиения  в общем случае не сравнимы между собой по включению. Однако, как и при доказательстве (15.7) мы можем сравнить суммы Римана  прибегая к подразбиению  каждого из них. Таким образом для произвольного наперёд заданного мы получаем , что для достаточно больших имеет место неравенство ++  Итак, фундаментальность, а, следовательно, и сходимость последовательности доказаны. Аналогично доказывается сходимость Как и случае последовательностей последовательных разбиений , доказывается равенство пределов  Пусть  Доказательство независимости от выбора последовательности разбиений, мелкость которых стремится к нулю, производится по той же схеме, что и в случае монотонных последовательностей разбиений.Лемма доказана. Для завершения доказательства теоремы заметим , что для произвольной последовательности разбиений для сумм Римана  имеет место оценка   (15.20)Из оценки (15.20) следует сходимость последовательности  к пределу, не зависящему от выбора последовательности и промежуточных точек на участках разбиения.Теорема доказана. Упражнение 15.21. Доказать сходимости последовательностей  к одному и тому же пределу.Указание. Пусть и отрезок разбиения . Так как  подразбиение разбиения  то этот отрезок может быть представлен в виде  Для того, чтобы подчеркнуть , что точки  избранные для заданного  , принадлежат этому отрезку введём дополнительный индекс  для их обозначения. Положим также . В этих обозначениях формула (15.21) перепишется в виде Слагаемому  из суммы поставим в соответствие сумму  из суммы  ,Рассмотрим разность     Точки  , принадлежат одному и тому же отрезку разбиения В силу непрерывности на мы можем подобрать  столь большим, что для всех будет иметь место неравенство Поэтому из (15.22), 15.23) получаем  Так как  nо с учётом оценки  мы получаем, что  Аналогичную оценку можно получить для  Используя эти результаты, завершить доказательство того, что последовательности сходятся к одному и тому же пределу.Упражнение 15.25. Доказать совпадение пределов последовательностей  Лекция 17. Итак, нами доказана интегрируемость по Риману непрерывной функции, заданной на отрезке. Этот результат в случае функции непрерывной на даёт возможность определить функцию  представляющую собой интеграл  с переменным верхним пределом  .Докажем, что функция  является первообразной функции .Теорема 17.2. Пусть непрерывная функция. Тогда функция  из (17.1) представляет собой первообразную функции  .Доказательство. Рассмотрим разностное отношение     Заметим теперь, что    Функция непрерывна на , поэтому  стремится к нулю , когда  стремится к нулю. В соответствии с (17.3), (17.4) мы получаем, что существует предел  Итак, мы получаем, что  .Теорема доказана. Перейдём теперь к исследованию необходимых и достаточных условий интегрируемости функций на отрезке. Напомню, что сходимость сумм Римана и к одному и тому же пределу была основана на том, что   Рассмотрим произвольную ограниченную функцию  заданную на . Введём следующее определениеОпределение 17.6. Пусть  . Величину  назовём колебанием функции на отрезке  .Использую введённое понятие и его обозначение перепишем формулу  в виде  Обратим внимание на то, что для выполнения условия  непрерывность функции необязательна. В самом деле рассмотрим неубывающую на ограниченную функцию  . Ясно, что  Выбирая  получаем, что для разбиений, мелкость которых меньше таким образом выполненного  условие выполняется. Так как неубывающая функция может иметь бесконечное (но не более чем счётное) число точек разрыва, то мы видим, что условие выполняется и для разрывных функций с , вообще говоря бесконечным числом точек разрыва.Докажем теперь следующую теорему. Теорема 17.8. Для того, чтобы ограниченная на отрезке функция была интегрируема по Риману достаточно, чтобы выполнялось следующее условие Здесь  число отрезков разбиения  Доказательство. Пусть условие (17.8) выполнено. Будем считать поначалу монотонная последовательность разбиений,  Обозначим через  набор  промежуточных точек  отрезков  разбиения . Обозначим через  сумму Римана функции для заданного разбиения и выбранного набора промежуточных точек  Докажем, что для монотонной последовательности последовательность  является фундаментальной. Действительно, пусть  . Оценим  ,  Рассмотрим отрезок разбиения . Пусть  все точки разбиения  , принадлежащие  = , так что Ясно, что  й член суммы имеет вид  = Соответствующая этому члену суммы Группа слагаемых определяемая отрезками  , составляющими отрезок имеет вид Таких групп слагаемых в сумме  столько же , сколько отрезков , а именно , слагаемых. Поэтому  При этом в соответствии с (17.9) получим  Используя теперь  и  получим   Точки  Принадлежат одному т тому же отрезку для любого  Поэтому      Выберем теперь столь большим, чтобы мелкость разбиения была меньше из (17.8). Тогда из (17.8) и (17.14) получим,  Предложение (17.15) означает, что для монотонной последовательности разбиений последовательность частичных сумм, мелкость разбиения которых стремится к нулю, является сходящейся. Пользуясь приёмом сравнения несравнимых   , получаем, что сходится для любой последовательности разбиений, чья мелкость стремится к нулю. Теорема доказана. Лекция 18. Теорема 17.8 даёт нам очень полезный критерий интегрируемости функций по Риману. Замечу теперь, что при рассмотрении вопроса об интегрируемости функций мы постоянно требуем их ограниченности. Покажем, что это условие действительно является необходимым условием. Теорема 18.1. Пусть функция  интегрируема на  В таком случае эта функция является ограниченной, т.е.  Доказательство. Допустим, что условие (18.2) не выполняется. Тогда существует последовательность  , такая что  Отрезок является компактным множеством. Поэтому существует подпоследовательность  и точка  , такие что  Рассмотрим теперь произвольное разбиение отрезка . Пусть  которому принадлежит . Пусть  промежуточная точка этого отрезка, входящая в  Какой бы ни была длина и каким бы ни было значение суммы  Мы можем подобрать  столь близким к , что значение суммы Римана Будет больше наперёд заданного  . Выбирая бесконечно большую последовательность  , мы получим , что предел интегральных сумм Римана равен бесконечности при таких выборах промежуточных точек. Но он должен быть конечным при любом их выборе. Полученное противоречие означает, что интегрируемая по Риману функция должна быть ограниченной.Теорема доказана. Доказанная теорема, в частности, показала, что от выбора промежуточных точек при вычислении сумм Римана многое зависит. Поэтому для доказательства существования интеграла Римана, равного конечному пределу интегральных сумм нам действительно всякий раз проверять, что он не зависит от выбора множеств промежуточных точек.Дарбу был предложен иной подход к понятию интеграла, в котором зависимость от выбора промежуточных точек отсутствует. Определение 18.3. Пусть заданное отображение. Для произвольного разбиения нижнюю  и верхнюю  суммы Дарбу следующим образом  Заметим, что в случае непрерывной функции нижняя интегральная сумма Дарбу совпадает с суммой Римана, а верхняя интегральная сумма Дарбу совпадает с суммой Римана. В случае непрерывной функции сходимость интегральных сумм обеспечила сходимость интегральных сумм Римана для произвольного выбора промежуточных точек. Поэтому такого рода обобщение понятия интегральной суммы представляется естественным. Естественным же является следующее определение интеграла Дарбу.Определение 18.4. Пусть заданное отображение. Мы будем говорить, что функция интегрируема по Дарбу, если конечные пределы последовательностей  интегральных сумм Дарбу существуют и совпадают между собой.Замечание18.5. В обозначении интегральной суммы Римана в общем случае указана зависимость от системы промежуточных точек разбиения. В обозначениях интегральных сумм Дарбу она естественным образом отсутствует.Мы не вводим специального обозначения для интеграла Дарбу, так как, как показывает следующая теорема, интегралы Римана и Дарбу совпадают между собой. Теорема 18.6. Функция интегрируема по Риману тогда и только тогда, когда она интегрируема по Дарбу.Доказательство. Определение интеграла Дарбу показывает, что в обоих случаях мы должны рассматривать лишь ограниченные функции. Заметим далее, что для произвольного разбиения и при произвольном выборе множества промежуточных точек имеет место очевидное неравенство  Из неравенств (18.7) следует, что если интеграл Дарбу существует, то интеграл Римана также существует. Допустим теперь, что интеграл Римана существует. Последовательность нижних интегральных сумм Дарбу в этом случае ограничена сверху, а верхних  снизу. Последовательность нижних интегральных сумм Дарбу представляет собой неубывающую последовательность, верхних невозрастающую. Это означает, что пределы последовательностей существуют. Осталось показать, что они совпадают между собой.Для произвольного разбиения мы можем выбрать две системы  промежуточных точек так, что Так как пределы интегральных сумм Римана существуют независимо от выбора систем промежуточных точек и совпадают между собой, то из (18.8) следует, что пределы сумм Дарбу, существование которых было доказано, совпадают между собой. Это означает существование интеграла Дарбу.Теорема доказана. Доказанная теорема позволяет уточнить теорему 17.8 Теорема18.9 Для того, чтобы ограниченная на отрезке функция была интегрируема по Риману необходимо и достаточно, чтобы выполнялось следующее условие . Здесь число отрезков разбиения Упражнение 18.11. Доказать теорему 18.9. Замечание 18.12. Введение интеграла Дарбу помимо возможности избавиться от необходимости рассмотрение различных выборов промежуточных точек предоставляет и иные возможности. Иногда для получения необходимых при рассмотрении той или иной задачи для получения нужных оценок достаточно существования одного из пределов  Первый из этих пределов называется нижним интегралом Дарбу, второй верхним интегралом Дарбу.Доказанные нами теоремы и полученные с их помощью примеры интегрирумых функций указывают на то, что существенную роль в вопросе об интегрируемости играет массивность множества точек разрыва функций. Так функция Дирихле, принимающая значение нуль в иррациональных точках отрезка  и значение, равное единице в рациональных , очевидно, не интегрируема по Риману. В то же время любая монотонная функция, заданная на этом отрезке, является интегрируемой. При этом такая функция может иметь бесконечное число точек разрыва.Естественно задаться вопросом о том, что представляет собой необходимое и достаточное условие, налагаемое на множество точек разрыва и обеспечивающее интегрируемость функции с таким точек разрыва по Риману. Это условие было получено Лебегом. Для того, чтобы сформулировать это условие введём следующее определение. Определение18.13. Пусть  множество. Будем говорить, что его внешняя мера Лебега равна нулю, если его можно покрыть объединением интервалов, сумма длин которых может быть произвольно малым , т.е. Упражнение 18.14. Показать, что множество Кантора имеет внешнюю меру Лебега, равную нулю. Теорема 18.15 (Лебег). Для того, чтобы ограниченная функция была интегрируема по Риману необходимо и достаточно, чтобы множество её точек разрыва имело нулевую внешнюю меру Лебега.С помощью этой теоремы, доказательство будет дано позже, покажем, что существуют интегрируемые по Риману функции с несчётным множеством точек разрыва. Пусть функция , функция определённая следующим образом. Рассмотрим процедуру построения множества Кантора. Полагаем равной единице на интервале  . Затем полагаем её равной единице на правом из выбрасываемых на следующем шаге интервале и минус единице- на левом и так далее. В результате получим функцию, определённую всюду за исключением несчётно множества Кантора, имеющего нулевую внешнюю меру Лебега. В точках множества Кантора положим её равной нулю. Ясно, в каждой множестве Кантора функция разрывна, ибо пределы в ней не существуют. Вместе с тем она в соответствие с теоремой Лебега является интегрируемой по Риману. |