Ннагашащща. ПЗ№ 3 Опред. инт Word. Интегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31. 05. 01 Лечебное дело
![]()
|
ВОЕННО-МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯимени С.М. Кирова Кафедра биологической и медицинской физикиЗАДАНИЕ для проведения практического занятия № 3по дисциплине «Физика, математика» на тему: Интегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31.05.01 «Лечебное дело» При подготовке к занятию по теме ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ курсанты должны самостоятельно изучить учебный материал по следующим учебным вопросам: Определённый интеграла. Свойства определенного интеграла. Правила нахождения определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница. Геометрический смысл определённого интеграла. Физический смысл определенного интеграла. Литература: Обязательная: а) Электронный учебник. Поцелуев К.А., Новикова Н.Г. Краткое введение в математику: учебное пособие. – СПб.: ВМедА, 2016. Гл. 1,2.– 90 с. б) Математика. Под ред. Буга С.В. Базовый электронный учебник. – Михайловская военная артиллерийская академия, 2017 в) Лекционные записи. План выполнения задания Ознакомиться с теоретическим материалом и внести (при необходимости) дополнения в конспект лекций; Изучить обучающие задачи; Решить задания с вариантами ответов (в тетрадях по практическим занятиям); Решить соответствующие варианты самостоятельных работ (в тетрадях по практическим занятиям). Номер варианта соответствует номеру курсанта в группе. Теоретическая часть 1. Вычисление площади криволинейной трапеции
Учитывая, что площадь фигуры, состоящей из нескольких непересекающихся фигур, равна сумме площадей этих фигур, получим ![]() Эта сумма является приближением для искомой площади, причём чем ![]() S= площадь aABb= ![]() где переход к пределу происходит при условии ![]() 2. Понятие определённого интеграла Определённым интегралом называется предел, к которому стремится интегральная сумма (1) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала ![]() В общем случае, такой предел называется определённым интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается ![]() где ![]() ![]() ![]() ![]() Геометрический смысл определённого интеграла. Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции. Важно понимать, что определенный интеграл, в отличие от неопределенного интеграла, является числом, а не функцией. Физический смысл определённого интеграла Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и зависящей от x: F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М, т.е. y=F (x). На элементарном участке пути ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() Таким образом, работа переменной силы F (x), действующей на отрезке ![]() ![]() Физический смысл определённого интеграла – это работа переменной силы.F = F(x), Свойства определённого интеграла 1. Интеграл от a до b от суммы двух функций f(x) и g(x) равен сумме интегралов от этих функций. ![]() 2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла. ![]() 3. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то знак интеграла изменится на противоположный. ![]() 4. Если точка С лежит на отрезке [a; b], то ![]() Формула Ньютона-Лейбница Простым и удобным методом вычисления определённого интеграла ![]() ![]() от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница: ![]() Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функцияF(x) для подинтегральной функции f(x). Метод вычисления определённого интеграла: 1) Находим первообразную (см. материал практического занятия №2), ![]() Для нахождения первообразной применяют таблицу основных интегралов Таблица основных интегралов ![]() Задачи обучающего типа № 1 Рассмотрим примеры вычисление простейших определённых интегралов при помощи таблицы интегралов и формулы Ньютона-Лейбница. Пример 1. ![]() Итак, ![]() Решение: 1) Применим формулу 2 из таблицы интегралов. В данном случае степень ![]() ![]() 2) Применим формулу Ньютона- Лейбница ![]() 3) Подставляем вместо ![]() ![]() ![]() Вычитаем: ![]() Итак, ![]() Ответ ![]() Важно обратить внимание на то, что константа ![]() Пример 2 ![]() Итак, ![]() Решение: 1) Применим формулу 3 из таблицы интегралов. В данном случае степень ![]() ![]() 2) Применим формулу Ньютона- Лейбница ![]() 3) Подставляем вместо ![]() ![]() ![]() Вычитаем: ![]() Ответ ![]() Пример 3. ![]() Итак, ![]() Решение: 1) Применим формулу 2 из таблицы интегралов. В данном случае степень ![]() ![]() 2) Применим формулу Ньютона- Лейбница ![]() 3) Подставляем вместо ![]() ![]() ![]() Вычитаем: ![]() Итак, ![]() Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то можно кратко решение записать в виде: ![]() Ответ ![]() Пример 4. ![]() Итак, ![]() Решение: Внутренняя часть интеграла состоит из нескольких слагаемых. Поэтому будем вычислить определённый интеграл от каждого слагаемого. Множитель - это число и его можно вынести за знак интеграла. Тогда получим ![]() ![]() 3. Применим формулу 2 из таблицы интегралов для определения первообразной каждого из четырёх интегралов. 4. Применим формулу Ньютона- Лейбница для расчёта каждого интеграла ![]() ![]() ![]() ![]() Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то можно кратко решение записать в виде: ![]() Ответ ![]() Пример 5. ![]() Решение: 1. Применим формулу 6 из таблицы интегралов для определения первообразной ![]() 2. Применим формулу Ньютона- Лейбница ![]() ![]() Задачи обучающего типа № 2 Рассмотрим примеры вычисление определённых интегралов при помощи метода замены переменной и формулы Ньютона-Лейбница). Пример 1. ![]() Решение: 1. При вычислении этого интеграла сделаем замену переменной t = ![]() ![]() ![]() Интеграл будет иметь вид: ![]() Обратите внимание, что для переменной t, нижний предел остался прежним, а верхний предел изменился: для ![]() ![]() для ![]() ![]() 2. Применим формулу 6 из таблицы интегралов и найдём первообразную ![]() 3. Применим формулу Ньютона- Лейбница ![]() Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то кратко решение можно записать в виде: ![]() ![]() Ответ: ![]() Пример 2. ![]() Решение: 1. Преобразуем выражение под интегралом и введём новую переменную ![]() ![]() Интеграл будет иметь вид: ![]() Обратите внимание, что для переменной u, нижний и верхний пределы изменились для ![]() ![]() для ![]() ![]() 2. По формуле 3 из таблицы интегралов найдём первообразную. ![]() 3. Применим формулу Ньютона- Лейбница. ![]() ![]() Кратко решение можно записать в виде: ![]() Ответ: ![]() |