Главная страница
Навигация по странице:

  • ЗАДАНИЕ для проведения практического занятия № 3 по дисциплине «Физика, математика»на тему: Интегрирование функций. Определённый интеграл

  • Определённым интегралом

  • Метод вычисления определённого интеграла

  • Задачи обучающего типа № 1

  • Пример 1.

  • Задачи обучающего типа № 2 Рассмотрим примеры вычисление определённых интегралов при помощи метода за­мены переменной и формулы Ньютона-Лейбница).Пример 1.


  • Пример 2 .

  • Ннагашащща. ПЗ№ 3 Опред. инт Word. Интегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31. 05. 01 Лечебное дело


    Скачать 0.54 Mb.
    НазваниеИнтегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31. 05. 01 Лечебное дело
    АнкорНнагашащща
    Дата23.10.2020
    Размер0.54 Mb.
    Формат файлаdocx
    Имя файлаПЗ№ 3 Опред. инт Word.docx
    ТипДокументы
    #145091
    страница1 из 4
      1   2   3   4

    ВОЕННО-МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ


    имени С.М. Кирова

    Кафедра биологической и медицинской физики




    ЗАДАНИЕ

    для проведения практического занятия № 3


    по дисциплине «Физика, математика»

    на тему: Интегрирование функций. Определённый интеграл
    с курсантами 1 курса по специальности 31.05.01 «Лечебное дело»


    При подготовке к занятию по теме

    ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

    курсанты должны самостоятельно изучить учебный материал по следующим учебным вопросам:

    1. Определённый интеграла.

    2. Свойства определенного интеграла.

    3. Правила нахождения определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.

    4. Геометрический смысл определённого интеграла.

    5. Физический смысл определенного интеграла.



    Литература:
    Обязательная:

    а) Электронный учебник. Поцелуев К.А., Новикова Н.Г. Краткое введение в математику: учебное пособие. – СПб.: ВМедА, 2016. Гл. 1,2.– 90 с.

    б) Математика. Под ред. Буга С.В. Базовый электронный учебник. – Михайловская военная артиллерийская академия, 2017

    в) Лекционные записи.

    План выполнения задания

    1. Ознакомиться с теоретическим материалом и внести (при необходимости) дополнения в конспект лекций;

    2. Изучить обучающие задачи;

    3. Решить задания с вариантами ответов (в тетрадях по практическим занятиям);

    4. Решить соответствующие варианты самостоятельных работ (в тетрадях по практическим занятиям).

    Номер варианта соответствует номеру курсанта в группе.


    Теоретическая часть

    1. Вычисление площади криволинейной трапеции

    Криволинейной трапецией называется

    фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x), осью Ox

    и прямыми х = а и х = b (рис. 1).

    Вычислим площадь криволинейной трапеции

    aABb, изображённой на рис.2. Для этого проделаем

    следующие действия.

    Сначала разделим основание трапеции [a,b] на n интервалов считая что




    Рис. 1

    Затем проведём через точки разбиения прямые, параллельные оси OY. Тогда фигура aABb разделится на n элементарных криволинейных трапеций.

    Обозначим длину интервала как



    и вычислим площадь прямоугольника с основанием

    и высотой f( :



    приближённо равняется площади k-ой элементарной криволинейной трапеции с тем же основанием (см. рис.2).



    Рис. 2


    Учитывая, что площадь фигуры, состоящей из нескольких непересекающихся фигур, равна сумме площадей этих фигур, получим

    (1)

    Эта сумма является приближением для искомой площади, причём чем меньше, тем это приближение точнее, следовательно

    S= площадь aABb= ,

    где переход к пределу происходит при условии


    2. Понятие определённого интеграла

    Определённым интегралом называется предел, к которому стремится интегральная

    сумма (1) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала .
    В общем случае, такой предел называется определённым интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается



    где подинтегральная функция; подинтегральное выражение;

    переменная интегрирования; a – нижний предел интеграла; b – верхний предел интеграла; – промежуток интегрирования.
    Геометрический смысл определённого интеграла.

    Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

    Важно понимать, что определенный интеграл, в отличие от неопределенного интеграла, является числом, а не функцией.
    Физический смысл определённого интеграла

    Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и зависящей от x: F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М, т.е. y=F (x).

    На элементарном участке пути работа силы равна, по определению, , где – угол между направлением силы и направлением движения на данном элементарном участке пути . Работа на конечном пути равна сумме элементарных работ, совершаемых на элементарных участках пути



    Таким образом, работа переменной силы F (x), действующей на отрезке , равна определённому интегралу от величины силы F(x), взятому по отрезку .

    Физический смысл определённого интеграла – это работа переменной силы.F = F(x),

    Свойства определённого интеграла

    1. Интеграл от a до b от суммы двух функций f(x) и g(x) равен сумме интегралов от этих функций.



    2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.


    3. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то знак интеграла изменится на противоположный.


    4. Если точка С лежит на отрезке [a; b], то


    Формула Ньютона-Лейбница

    Простым и удобным методом вычисления определённого интеграла

    от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:



    Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функцияF(x) для подинтегральной функции f(x).

    Метод вычисления определённого интеграла:

    1) Находим первообразную (см. материал практического занятия №2),

    2) Применяем формулу Ньютона-Лейбница
    Для нахождения первообразной применяют таблицу основных интегралов

    Таблица основных интегралов


    Задачи обучающего типа № 1

    Рассмотрим примеры вычисление простейших определённых интегралов при помощи таблицы интегралов и формулы Ньютона-Лейбница.

    Пример 1.

    Итак,

    Решение:

    1) Применим формулу 2 из таблицы интегралов. В данном случае степень . Тогда первообразная будет равна



    2) Применим формулу Ньютона- Лейбница

    .
    3) Подставляем вместо в полученную для первообразной формулу сначала 1, а затем 0:





    Вычитаем:


    Итак, .

    Ответ

    Важно обратить внимание на то, что константа сократилась. Это означает, что если мы вычисляем определенный интеграл, то константу С можно для краткости не пи­сать – она все равно сократится.
    Пример 2 dx
    Итак,

    Решение:

    1) Применим формулу 3 из таблицы интегралов. В данном случае степень . Тогда первообразная будет равна



    2) Применим формулу Ньютона- Лейбница



    3) Подставляем вместо в полученную для первообразной формулу сначала 3, а затем 2:





    Вычитаем:



    Ответ
    Пример 3.

    Итак,

    Решение:

    1) Применим формулу 2 из таблицы интегралов. В данном случае степень . Тогда первообразная будет равна



    2) Применим формулу Ньютона- Лейбница

    .


    3) Подставляем вместо в полученную формулу сначала 9, а затем 4:




    Вычитаем:


    Итак, .
    Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то можно кратко решение записать в виде:



    Ответ

    Пример 4.
    Итак,
    Решение:


    1. Внутренняя часть интеграла состоит из нескольких слагаемых. Поэтому будем вычис­лить определённый интеграл от каждого слагаемого.

    2. Множитель - это число и его можно вынести за знак интеграла.

    Тогда получим




    3. Применим формулу 2 из таблицы интегралов для определения первообразной каждого из четырёх интегралов.

    4. Применим формулу Ньютона- Лейбница для расчёта каждого интеграла

    .


    .
    .
    .
    Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то можно кратко решение записать в виде:


    Ответ

    Пример 5.

    Решение:

    1. Применим формулу 6 из таблицы интегралов для определения первообразной



    2. Применим формулу Ньютона- Лейбница

    Ответ
    Задачи обучающего типа № 2

    Рассмотрим примеры вычисление определённых интегралов при помощи метода за­мены переменной и формулы Ньютона-Лейбница).

    Пример 1.

    Решение:
    1. При вычислении этого интеграла сделаем замену переменной

    t = ,следовательно

    , тогда .

    Интеграл будет иметь вид:



    Обратите внимание, что для переменной t, нижний предел остался прежним, а верхний предел изменился:

    для ,

    для
    2. Применим формулу 6 из таблицы интегралов и найдём первообразную



    3. Применим формулу Ньютона- Лейбница



    Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то кратко решение можно записать в виде:



    Ответ:
    Пример 2.

    Решение:

    1. Преобразуем выражение под интегралом и введём новую переменную
    , следовательно
    .

    Интеграл будет иметь вид:


    Обратите внимание, что для переменной u, нижний и верхний пределы изменились

    для ,

    для
    2. По формуле 3 из таблицы интегралов найдём первообразную.



    3. Применим формулу Ньютона- Лейбница.
    =
    Кратко решение можно записать в виде:

    Ответ:
      1   2   3   4


    написать администратору сайта