Ннагашащща. ПЗ№ 3 Опред. инт Word. Интегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31. 05. 01 Лечебное дело

• Название: Интегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31. 05. 01 Лечебное дело
• Анкор: Ннагашащща
• Дата: 23.10.2020
• Размер: 0.54 Mb.
• Имя файла: ПЗ№ 3 Опред. инт Word.docx
• Тип: Документы; #145091
• страница: 1 из 4

ВОЕННО-МЕДИЦИНСКАЯ АКАДЕМИЯ

имени С.М. Кирова

Кафедра биологической и медицинской физики

ЗАДАНИЕ

для проведения практического занятия № 3

по дисциплине «Физика, математика»

на тему: Интегрирование функций. Определённый интеграл
с курсантами 1 курса по специальности 31.05.01 «Лечебное дело»


При подготовке к занятию по теме

ИНТЕГРИРОВАНИЕ ФУНКЦИЙ. ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

курсанты должны самостоятельно изучить учебный материал по следующим учебным вопросам:

1. 
   Определённый интеграла.
   
2. 
   Свойства определенного интеграла.
   
3. 
   Правила нахождения определённых интегралов. Формула Ньютона-Лейбница.
   
4. 
   Геометрический смысл определённого интеграла.
   
5. 
   Физический смысл определенного интеграла.
   

Литература:
Обязательная:

а) Электронный учебник. Поцелуев К.А., Новикова Н.Г. Краткое введение в математику: учебное пособие. – СПб.: ВМедА, 2016. Гл. 1,2.– 90 с.

б) Математика. Под ред. Буга С.В. Базовый электронный учебник. – Михайловская военная артиллерийская академия, 2017

в) Лекционные записи.

План выполнения задания

1. 
   Ознакомиться с теоретическим материалом и внести (при необходимости) дополнения в конспект лекций;
   
2. 
   Изучить обучающие задачи;
   
3. 
   Решить задания с вариантами ответов (в тетрадях по практическим занятиям);
   
4. 
   Решить соответствующие варианты самостоятельных работ (в тетрадях по практическим занятиям).
   

Номер варианта соответствует номеру курсанта в группе.


Теоретическая часть

1. Вычисление площади криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком неотрицательной и непрерывной на отрезке [a; b] функции f(x), осью Ox и прямыми х = а и х = b (рис. 1). Вычислим площадь криволинейной трапеции aABb, изображённой на рис.2. Для этого проделаем следующие действия. Сначала разделим основание трапеции [a,b] на n интервалов считая что	Рис. 1
Затем проведём через точки разбиения прямые, параллельные оси OY. Тогда фигура aABb разделится на n элементарных криволинейных трапеций. Обозначим длину интервала как и вычислим площадь прямоугольника с основанием и высотой f( : приближённо равняется площади k-ой элементарной криволинейной трапеции с тем же основанием (см. рис.2).	Рис. 2

Учитывая, что площадь фигуры, состоящей из нескольких непересекающихся фигур, равна сумме площадей этих фигур, получим

(1)

Эта сумма является приближением для искомой площади, причём чем меньше, тем это приближение точнее, следовательно

S= площадь aABb= ,

где переход к пределу происходит при условии


2. Понятие определённого интеграла

Определённым интегралом называется предел, к которому стремится интегральная

сумма (1) при стремлении к нулю длины наибольшего частичного интервала .
В общем случае, такой предел называется определённым интегралом от функции f(x) в пределах от a до b и обозначается



где подинтегральная функция; подинтегральное выражение;

переменная интегрирования; a – нижний предел интеграла; b – верхний предел интеграла; – промежуток интегрирования.
Геометрический смысл определённого интеграла.

Определённый интеграл от неотрицательной функции численно равен площади криволинейной трапеции.

Важно понимать, что определенный интеграл, в отличие от неопределенного интеграла, является числом, а не функцией.
Физический смысл определённого интеграла

Пусть материальная точка М перемещается под действием силы F, направленной вдоль оси Ох и зависящей от x: F = F(x), где х — абсцисса движущейся точки М, т.е. y=F (x).

На элементарном участке пути работа силы равна, по определению, , где – угол между направлением силы и направлением движения на данном элементарном участке пути . Работа на конечном пути равна сумме элементарных работ, совершаемых на элементарных участках пути



Таким образом, работа переменной силы F (x), действующей на отрезке , равна определённому интегралу от величины силы F(x), взятому по отрезку .

Физический смысл определённого интеграла – это работа переменной силы.F = F(x),

Свойства определённого интеграла

1. Интеграл от a до b от суммы двух функций f(x) и g(x) равен сумме интегралов от этих функций.



2. Постоянный множитель можно вынести за знак определенного интеграла.


3. Если нижний и верхний пределы интегрирования поменять местами, то знак интеграла изменится на противоположный.


4. Если точка С лежит на отрезке [a; b], то


Формула Ньютона-Лейбница

Простым и удобным методом вычисления определённого интеграла

от непрерывной функции является формула Ньютона-Лейбница:



Применяется этот метод во всех случаях, когда может быть найдена первообразная функцияF(x) для подинтегральной функции f(x).

Метод вычисления определённого интеграла:

1) Находим первообразную (см. материал практического занятия №2),

2) Применяем формулу Ньютона-Лейбница
Для нахождения первообразной применяют таблицу основных интегралов

Таблица основных интегралов


Задачи обучающего типа № 1

Рассмотрим примеры вычисление простейших определённых интегралов при помощи таблицы интегралов и формулы Ньютона-Лейбница.

Пример 1.

Итак,

Решение:

1) Применим формулу 2 из таблицы интегралов. В данном случае степень . Тогда первообразная будет равна



2) Применим формулу Ньютона- Лейбница

.
3) Подставляем вместо в полученную для первообразной формулу сначала 1, а затем 0:





Вычитаем:


Итак, .

Ответ

Важно обратить внимание на то, что константа сократилась. Это означает, что если мы вычисляем определенный интеграл, то константу С можно для краткости не пи­сать – она все равно сократится.
Пример 2 dx
Итак,

Решение:

1) Применим формулу 3 из таблицы интегралов. В данном случае степень . Тогда первообразная будет равна



2) Применим формулу Ньютона- Лейбница



3) Подставляем вместо в полученную для первообразной формулу сначала 3, а затем 2:





Вычитаем:



Ответ
Пример 3.

Итак,

Решение:

1) Применим формулу 2 из таблицы интегралов. В данном случае степень . Тогда первообразная будет равна



2) Применим формулу Ньютона- Лейбница

.


3) Подставляем вместо в полученную формулу сначала 9, а затем 4:




Вычитаем:


Итак, .
Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то можно кратко решение записать в виде:



Ответ

Пример 4.
Итак,
Решение:

1. 
   Внутренняя часть интеграла состоит из нескольких слагаемых. Поэтому будем вычис­лить определённый интеграл от каждого слагаемого.
   
2. 
   Множитель - это число и его можно вынести за знак интеграла.
   

Тогда получим




3. Применим формулу 2 из таблицы интегралов для определения первообразной каждого из четырёх интегралов.

4. Применим формулу Ньютона- Лейбница для расчёта каждого интеграла

.


.
.
.
Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то можно кратко решение записать в виде:


Ответ

Пример 5.

Решение:

1. Применим формулу 6 из таблицы интегралов для определения первообразной



2. Применим формулу Ньютона- Лейбница

Ответ
Задачи обучающего типа № 2

Рассмотрим примеры вычисление определённых интегралов при помощи метода за­мены переменной и формулы Ньютона-Лейбница).

Пример 1.

Решение:
1. При вычислении этого интеграла сделаем замену переменной

t = ,следовательно

, тогда .

Интеграл будет иметь вид:



Обратите внимание, что для переменной t, нижний предел остался прежним, а верхний предел изменился:

для ,

для
2. Применим формулу 6 из таблицы интегралов и найдём первообразную



3. Применим формулу Ньютона- Лейбница



Если метод вычисления определённого интеграла вам понятен, то кратко решение можно записать в виде:



Ответ:
Пример 2.

Решение:

1. Преобразуем выражение под интегралом и введём новую переменную
, следовательно
.

Интеграл будет иметь вид:


Обратите внимание, что для переменной u, нижний и верхний пределы изменились

для ,

для
2. По формуле 3 из таблицы интегралов найдём первообразную.



3. Применим формулу Ньютона- Лейбница.
=
Кратко решение можно записать в виде:

Ответ: