Ннагашащща. ПЗ№ 3 Опред. инт Word. Интегрирование функций. Определённый интеграл с курсантами 1 курса по специальности 31. 05. 01 Лечебное дело
 Скачать 0.54 Mb.
|
|
Пример 3.  Решение: 1. При вычислении этого интеграла сделаем замену переменной t =  ,следовательно , тогда  .Интеграл будет иметь вид: I=  Обратите внимание, что для переменной t, нижний и верхний пределы изменились для   для   2. По формуле 5 из таблицы интегралов найдём первообразную. I=  3. Применим формулу Ньютона- Лейбница. I=  = Кратко решение можно записать в виде: I=  Ответ:  Пример 4.  Решение: 1. При вычислении этого интеграла делаем замену переменной    Обратите внимание, что для переменной t, нижний и верхний пределы изменились для   для   2. Воспользуемся тригонометрическим тождеством  и запишем интеграл в виде суммы двух интегралов:  Первый интеграл  Второй интеграл запишем в виде  3. По формуле 6 из таблицы интегралов найдём первообразную для второго интеграла  Применим формулу Ньютона- Лейбница.  Следовательно  Ответ:  Пример 5.  Решение: 1. При вычислении этого интеграла сделаем замену переменной  ,следовательно1)  .Интеграл будет иметь вид:  Обратите внимание, что для переменной u, нижний и верхний пределы изменились для   для   Перепишем интеграл в виде  Запишем этот интеграл в виде суммы двух интегралов:  Первый интеграл  Второй интеграл запишем в виде  3. По формуле 3 из таблицы интегралов найдём первообразную для второго интеграла  Применим формулу Ньютона- Лейбница.  Следовательно  Ответ:  Задачи обучающего типа № 3 (геометрический смысл определенного интеграла) Рассмотрим примеры вычисления площадей плоских фигур с помощью определённого интеграла. Пример 1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой  , осью Ox и прямымиx= 0 и x= 1. Для наглядности начертим график этой параболы: И  так,  .Таким образом, чтобы найти эту площадь, достаточно 1) выяснить первообразную от функции 2) посчитать значение этой первообразной  при 1 и при 0. 3) Вычесть из первого числа второе. Действуем: 1) Из таблицы интегралов находим, что  2) Подставляем вместо  в полученную формулу 1, а затем 0:   3) Вычитаем и получаем:  Ответ:  Ещё раз, обратим внимание на то, что константа  сократилась. Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной параболой , осью Ox и прямымиx= 2 и x= 4.   Поскольку исходная функция ,то первообразная равна Константу уже не пишем, зная, что она все равно сократится. 2) Подставляем вместо в эту формулу 4, а затем 2:  Вычитаем и получаем:  Ответ:  Пример 3. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  , осью Ox и прямымиx= 2 и x= 3   Из таблицы первообразных находим, что  .Константу уже не пишем, зная, что она все равно сократится.Учитывая, что для рассматриваемого диапазона значений (от 2 до 3)  , знак модуля можно убрать.Тогда  Подставляем вместо в эту формулу  , а затем 2:  Вычитаем и получаем:  Используя свойство логарифма  , запишем ответ более компактно: Ответ:  Пример 4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой  , осью Ox и прямыми x= 1и x= 2.  (Здесь ln2 = 0,7) Ответ:  Пример 5. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми  и (см. рис.).
 Решение. Находим точки пересечения кривых:  , следовательно  , откуда ,  .По формуле  ,где  получим Задачи обучающего типа № 4 (физический смысл определенного интеграла) Пример 1. Растяжение пружины пропорционально приложенной силе (  ). Вычислить работу ( )), произведенную при растяжении пружины от 2 до 2,5 см, если для растяжения пружины на 1 см требуется сила 30 Н.Решение. Подставив данные в формулу закона Гука, получим:  , т.е. коэффициент пропорциональности k=30н/см. Следовательно, сила упругости выражается соотношением F=30x. Найдем работу переменной силы по формуле  полагая, что а=2; b=2,5: Пример 2. Тело движется прямолинейно. Скорость тела меняется со временем по закону:  (м/с). Определить путь, пройденный телом, за промежуток времени от 2 с до 3 с.Решение. Поскольку  , следовательно  Таким образом,  Пример 3. Через участок тела животного проходит импульс тока, который изменяется по закону  А. Определить заряд, протекающий через тело животного за 0,2 с.Решение. Поскольку  , следовательно  Таким образом,  Пример 4. Известно, что после замыкания электрической цепи сила тока меняется по закону  мА. Какое количество электричества ( ) протекает через проводник за 1 с?Решение. Поскольку , следовательно  Таким образом,  Пример 5. Какая работа совершается при растяжении мышцы на L мм, если известно, что при нагрузке  мышца растягивается на  мм? Считать, что сила, необходимая для растяжения мышцы, пропорциональна ее удлинению.Пусть - удлинение мышцы, а  - прикладываемая сила. По условию Коэффициент пропорциональности  равен по условию Работа, совершаемая при растяжении мышцы, будет равна  Задания для самостоятельной работы с вариантами ответов
|
